Kollision trotz parallelem Kurs?

[zeitgenosse]

Zitat von Jogi

Von Anfang an gab es die Vermutung, daß es Geometrien gibt, in denen das fünfte Postulat nicht gilt, aber auch das konnte niemand beweisen.

Bolyai und unabhängig Lobatschewski haben die hyperbolische Geometrie begründet und damit das Parallelenpostulat auf die euklidische Geometrie verwiesen.

http://www-history.mcs.st-andrews.ac...es/Bolyai.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac...bachevsky.html

Gauß wusste bereits zuvor davon, publizierte aber nicht, weil er das 'Geschrei der Böotier' fürchtete.

Riemann hat die Gaußsche Flächentheorie auf beliebige Mannigfaltigkeiten erweitert und auch die nach ihm benannte elliptische Geometrie vorangetrieben, wo das 5-Postulat bekanntlich auch nicht gilt.

Die grundlegende Arbeit war folglich bereits im 19. Jh. getan.

Wenn es dich interessiert siehe unter:

- Wußing: 6000 Jahre Mathematik, Bd. 2 (Springer)

- Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie (Springer)

Gr. zg

[möbius]

Ich aber nicht...
Mögen Deine Fahrgäste immer nett und großzügig sein...
Gruß, möbius

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Ich bin AUCH Taxi-Fahrer ...

Ich dachte eher an einen Bäcker (wegen dem Kneten und den Batzen).

Gr. zg

[Jogi]

Zitat von zeitgenosse

Bolyai und unabhängig Lobatschewski haben die hyperbolische Geometrie begründet und damit das Parallelenpostulat auf die euklidische Geometrie verwiesen.

Aah, ja, danke für den Hinweis.
Jetzt weiß ich auch wieder, was mich an der Geschichte erstaunte:
Wieso formulierte man nicht schon viel früher eine hyperbolische Geometrie?
Hyperbolische Krümmungen sind ja nun keine abstrakten Kopfgeburten, es gibt sie in unserer Umwelt zu Hauf.

Gruß Jogi

[zeitgenosse]

Zitat von Jogi

Wieso formulierte man nicht schon viel früher eine hyperbolische Geometrie?

Die Zeit dafür war wohl nicht früher reif. Während Jahrhunderten beherrschten Platons gerade Linien und Aristoteles Kreisfiguren die Köpfe der Geometer.

Dazu kam, dass die uns vertraute Welt dem Menschen beständig die Gültigkeit der euklidischen Geometrie vor Augen führte. Mit dem Lot erstellte senkrechte Wände, mit der Libelle ausgerichtete Böden, rechte Winkel und der Satz des Pythagoras bekräftigten immerzu Euklids Postulate. Die euklidische Geometrie war dermassen tief im menschlichen Bewusstsein verankert, dass es einzelne Geometer - welche die universelle Gültigkeit des Parallelenaxioms anzweifelten - schwer hatten, damit ihre Zeitgenossen zu überzeugen. Vor Bolyai bspw. drang bereits Lambert nahe an die hyperbolische Geometrie heran. Gauß selbst war ohnehin bereits im Besitz dieses Wissens um die 'anti-euklidische Geometrie'.

Aber warum der Durchbruch erst im 19. Jh. gelang, ist letztlich nicht eindeutig zu beantworten.

Nachdem dann Riemann die Fundamente der Geometrie in einem umfassenderen Sinne als je zuvor neu ausrichtete, ging es leidlich rasch voran. Beltrami, Klein, Poincaré und Hilbert blieben nicht untätig. Es entstanden die bekannten hyperbolischen Ebenenmodelle sowie die ersten Bezüge zur Physik. Namentlich seien Helmholtz erwähnt und auch Clifford. Als durch Levi-Civita und Ricci auch die Differentialgeometrie ihren mächtigen Calculus erhielt, war der Weg frei für Einsteins Vorstoss in die von Tensoren geprägte gekrümmte Raumzeit mit ihrer Pseudo-Riemannschen Geometrie.

Lehrreich für den historischen Abriss ist z.B.:

- Pfeiffer, Dahan-Dalmedico: Wege und Irrwege - Eine Geschichte der Mathematik (Birkhäuser)

- Trudeau: Die geometrische Revolution (Birkhäuser)

Vermutlich muss man sich diese Titel über eine Tauschbörse beschaffen, weil sie vergriffen sind.

Wer sich umfassender in die Historiographie der Wissenschaften einlesen möchte, greife zu:

- Wußing: Die Grobe Erneuerung - Zur Geschichte der Wissenschaftlichen Revolution (Birkhäuser)

- Russo: Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens (Springer)

p.s.
Ich nenne solche Bücher - als nützliche Quellen des Wissens - ab und zu deswegen, damit sich der am Thema Interessierte ein eigenes Bild von der Geschichte machen kann. Denn ohne Fleiss kein Preis!

Gr. zg

[SCR]

Zitat von zeitgenosse

Ich dachte eher an einen Bäcker (wegen dem Kneten und den Batzen).

Jetzt ohne Flacks: Meine Nussecken waren früher einmal sehr begehrt.
Aber ich muß leider enttäuschen: Da ich sowieso nix richtig kann bin ich weder Bäcker noch Taxifahrer (War nur des böswilligen Scherzes zuliebe - Ich hoffe, möbius verzeiht mir ).

Zum Thema:
Also ein Batzen muß wenigstens eine Wölbung (im Sinne einer Kuppel oder eine entsprechend nach innen gerichtete Delle) aufweisen damit er positiv gekrümmt ist. Lasst Ihr das wenigstens durchgehen?

[Jogi]

Zitat von SCR

Jetzt ohne Flacks: Meine Nussecken waren früher einmal sehr begehrt.

Aha, dann bist du also Lotti Köhler, die Mutter des Meisters?

Also ein Batzen muß wenigstens eine Wölbung (im Sinne einer Kuppel oder eine entsprechend nach innen gerichtete Delle) aufweisen damit er positiv gekrümmt ist.

Lies doch wenigstens mal die Wiki-Einträge zu positiven und negativen, inneren und äußeren Krümmungen.
Wenn dein Batzen stellenweise nach außen (sphärisch) und an anderen Stellen nach innen (hyperbolisch) gedellt ist, ist seine Oberfläche mal positiv, mal negativ gekrümmt.
An anderen Stellen kann die Delle auch wie eine Halfpipe aussehen, dann hat sie dort keine innere Krümmung.

Deine Ursprungsfrage zielte doch auf die Krümmung(en) des Universums ab, oder?
Die Frage nach der globalen Krümmung des Universums ist nach wie vor nicht geklärt.
Die Tatsache daß das Parallelenpostulat im hyperbolischen Universum keine Gültigkeit hat, würde für deine beiden Raumschiffe bedeuten, daß sie im hyperbolisch, also negativ gekrümmten Universum nicht kollidieren werden (und im euklidisch Flachen auch nicht).
Nur das sphärische, also positiv gekrümmte Universum lässt die Raumschiffe in endlicher Zeit kollidieren, vorausgesetzt die Sphäre ist randlos.
Ansonsten kann es einem oder beiden Raumschiffen passieren, daß sie vor der Kollision über den Rand hinausschießen, und was dann passiert, steht nicht einmal in den Sternen...


Gruß Jogi

PS:
Kleine Aufgabe:
Der Batzen unten rechts, weist der eine innere oder äußere Krümmung auf?

[SCR]

Zitat von Jogi

Aha, dann bist du also Lotti Köhler, die Mutter des Meisters?

Nein: Aber Lotti hat das Rezept von mir

Zitat von Jogi

Lies doch wenigstens mal die Wiki-Einträge zu positiven und negativen, inneren und äußeren Krümmungen.

Ich habe neben wikipedia jetzt schon Etliches gelesen - und/aber in wikipedia steht z.B. bei der Gaußschen Krümmung ...

Zitat von wikipedia

In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.

... was mir wenig bezüglich des Verständnisses Eurer Argumentation weiterhilft (da es ja eher meine Ansicht untermauert).

Ich nehme eben z.B. eine Kugel, ziehe sie am Äquator auseinander (so bilde ich den Zylindermantel) und delle / ebne die Halbkugeln an beiden Enden ein - Fertig ist ein zerreissfrei hergestellter Zylinder: Ein Zylinder ist in meinen Augen dementsprechend nichts anderes wie eine "gerichtete" Kugel mit einem "breiten Äquator", seine Kreismittelpunkte an beiden Enden bilden weiterhin die (Kugel-)Pole. Naja, diese verformte Kugel hat ansonsten "ein paar Kanten" - Aber die stören nicht weiter.
Starten nun nämlich zwei Ameisen vom Äquator aus in Richtung Zylinder-Nordpol, verläuft ihr Weg zunächst parallel (da der "breite Äquotor" = Zylindermantel ungekrümmt ist). Kommen sie über die Kante aber auf den Kreis ändert sich das schlagartig: Sie bewegen sich immer mehr aufeinander zu und treffen sich am Kreismittelpunkt (= Pol).
Insgesamt ist da in meinen Augen die positive Krümmung der Ausgangskugel dabei nicht verschwunden - Sie hat sich lediglich an den Kreisflächen des Zylinders konzentriert.

Zitat von zeitgenosse

Bei einer Kugeloberfläche ist das anders. Man denke dabei nur einmal an die Winkelsumme im Dreieck oder an Parallelen. Auf einem Zylinder ist das Parallenaxiom erfüllt, auf der Sphäre hingegen nicht. Ein anderer Test, um herauszufinden, ob es sich um eine euklidische Metrik handelt oder nicht, ist der Paralleltransport eines Vektors entlang eines geschlossenen Weges.
Der Vektor bleibt dabei immer tangential zur Oberfläche:

Auf einer Kugeloberfläche gehen wir bspw. vom Nordpol entlang des Nullmeridians bis zum Aequator, wandern dort eine zeitlang in östlicher Richtung, um schliesslich auf einem beliebigen Meridian zurück zum Nordpol zu gelangen; dabei entsteht eine Drehung des Vektors. Die Sphäre ist somit nichteuklidisch. Misst man zudem die Winkelsumme eines Dreiecks, wird schnell klar, dass es sich um eine positiv gekrümmte Fläche handeln muss.
Wenn du den Paralleltransport auf einem Zylinder durchführst, wirst du verstehen, worin der Unterschied liegt.

Auch hier gleiches Spiel:
Ich gehe von einem Pol/Kreismittelpunkt los, sobald ich ein Stückchen auf dem Zylindermantel (= "breiter Äquator") gelaufen bin wende ich mich 90° nach links. Nach einem viertel des Zylinder-Umfangs wende ich mich abermals um 90° nach links.
Irgendwann treffe ich wieder auf meinen Ausgangspunkt, dem Kreismittelpunkt.
Das ist identisch mit dem Beispiel an einer Kugel: Die Winkelsumme dieses beschrittenen Dreiecks beträgt auch beim Zylinder 270°.
Und wikipedia schreibt ja auch zur inneren Krümmung:

Zitat von wikipedia

Die innere Krümmung lässt sich anhand der Geometrie im gekrümmten Raum selbst feststellen. Beispielsweise können Dreiecke auf der Kugeloberfläche eine Innenwinkelsumme von mehr als 180 Grad (bis zu 540 Grad) haben [...]

Womit ein Zylinder als positiv gekrümmt gelten müsste.

Zitat von Jogi

PS: Kleine Aufgabe:
Der Batzen unten rechts, weist der eine innere oder äußere Krümmung auf?

Gemäß der Topologie des langen Quadrats ist jeder Batzen ohne Löcher positiv gekrümmt (= innere Krümmung).
Er scheint zudem verbogen -> äußere Krümmung vorhanden.

-> Aber lasst's einfach gut sein: Ich blick's anscheinend nicht und werde es wohl nie blicken.

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Ein Zylinder ist in meinen Augen dementsprechend nichts anderes wie eine 'gerichtete' Kugel mit einem 'breiten Äquator';, seine Kreismittelpunkte bilden die (Kugel-)Pole.

Du musst lernen, um zu unterscheiden!

Ein Zylinder ist topologisch homöomorph zu einer Kugel. Etwas unnatürlich sind nur seine Stirnflächen, weil wir beim Übergang auf den Zylindermantel einen rechtwinkligen Knick vollziehen müssen; doch bezüglich seines Geschlechts ist er mit der Kugel eng verwandt.

Geometrisch sind die Objekte hingegen grundverschieden, weil sie nicht dieselbe Metrik besitzen. Die Kugel ist sphärisch, der Zylinder euklidisch.

Lass' mich offen zu dir sein: Irgendwie ist dein räumliches Vorstellungsvermögen ungenügend entwickelt (nimm es mir nicht übel) - denn:

Die 'Kugelpole' befinden sich doch nicht an den Stirnflächen, sondern an gegenüberliegenden Punkten inmitten der Mantelfläche! Denn gemäss deiner Vorgehensweise sind die Stirnflächen (zumindest entlang der Mittellinie) Teil des Aequators. Somit werden sich die Ameisen auf ihrer parallelen Wanderung zum 'Nordpol' nie begegnen. Nach einer Umrundung werden sie aber wieder den Ausgangspunkt erreichen. Doch selbst dann, wenn sie sich über die Zylinderkante begeben müssten, konvergieren sie nicht; denn Parallelen bleiben auf der gesamten Zylinderoberfläche parallel. Wenn du davon nicht überzeugt bist, spanne meinetwegen Fäden über den Zylinder oder zeichne Linien ein. Danach wirst du mir beipflichten müssen.

Der Rest deines Beitrages ist mehr oder weniger Bull**** (deine Lernresistenz zwingt mich zu solchen Ausdrücken; glücklicherweise setzt das System automatisch *** als Platzhalter ein).

Fazit:

Deine geistige Schwerfälligkeit in dieser Sache hat m.E. mit min. zwei Aspekten zu tun. Erstens fehlen dir gewisse elementare Kenntnisse der Geometrie, zweitens liegt es an deinem Vorstellungsvermögen, das dich ständig in die Irre führt. Für das Zweite kannst du nichts dafür (räumliches Sehen lässt sich zwar bis zu einem gewissen Grad trainieren); doch bezüglich dem ersten Punkt liegt es nun an dir, diese Defizite endlich wett zu machen. Soviel zumindest erwarte ich von dir.

Gr. zg

[SCR]

Zitat von zeitgenosse

Du musst lernen, um zu unterscheiden!

Versuche ich.

Zitat von zeitgenosse

Lass' mich offen zu dir sein: Irgendwie ist dein räumliches Vorstellungsvermögen ungenügend entwickelt (nimm es mir nicht übel)

Kein Problem.

Zitat von zeitgenosse

- denn: Die 'Kugelpole' befinden sich doch nicht an den Stirnflächen, sondern an gegenüberliegenden Punkten inmitten der Mantelfläche!

Nein, dieser Fall auf der Mantelfläche ist doch klar und darüber erübrigt sich jegliche Diskussion. Ist spreche konkret hiervon:

Und da komme ich eben in beiden Fällen bei einem Dreieck "1/4 Umfang Äquator - Nordpol" auf Winkelsummen von 270°:

Und bei Innenwinkelsummen > 180° hätte ich doch eine positive Innenkrümmung zu unterstellen.

Jetzt sage mir doch bitte einmal konkret in diesem Beispiel wo hier der Betrachtungsfehler liegt (Ich denke da evtl. an die Kanten - Liegen da vielleicht zwei zusätzliche Innenwinkel von je 135° vor? ) - Danke!