Math Verhulst 1989

[richy]

Beispiel fuer den Sonderfall n_m(k2)<n_m(k1) fuer k2>k1
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yi0=0.2

k=0 n_min=0 y_invers=.2000000000000

k=0 n_min=0 y_invers=.6399999999999
k=1 n_min=0 y_invers=.1999999999999

K=0 n_min=0 y_invers=.9216000000000
k=1 n_min=1 y_invers=.6399999999998
k=2 n_min=3 y_invers=.2000000000000

k=0 n_min=0 y_invers=.2890137599998
k=1 n_min=1 y_invers=.9216000000001
k=2 n_min=1 y_invers=.6400000000000
k=3 n_min=1 y_invers=.2000000000000

k=0 n_min=0 y_invers=.8219392261232
k=1 n_min=0 y_invers=.2890137600003
k=2 n_min=2 y_invers=.9215999999999
k=3 n_min=2 y_invers=.6400000000001
k=4 n_min=2 y_invers=.2000000000001

Fuer n_m(m) erhaelt man die Reihe n_m(m)=0,0,3,1,2, die nicht monoton wachsend ist (wegen ...3,1... )
Die Tabelle zeigt, dass dennoch alle Werte die Iteration an der Stuetzstelle k erfuellen.
Der Index n gibt "zufaelligerweise auch die Anzahl der Maxima an, die die Funktion widergibt. Diese Anzahl kann beim Hinzufuegen einer Iteration nicht abnehmen. Der Uebergang ...3,1... ist damit widerspruechlich.
Insgesamt wird die Umkehrfunktion die urspruengliche Funktion an allen Stellen als Umkehrung daher nicht richtig widergeben.

Welche der Indizes 0,0,3,1,2 sind nun "richtig" ?
Die richtigen Abtstwerte an den Stuetzstellen :

yi[0] := .8219392260
yi[1] := .28901376
yi[2] := .9216
yi[3] := .64
yi[4] := .2

Vorbemerkung :
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Es scheint tatsaechlich Faelle zu geben, in denen die Umkehrfunktion nicht fuer alle Werte mit der reversen Originalfunktion uebereinstimmt, sondern nur an den ganzzahligen Stutzstellen.

Graphische Beisiele dazu
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Alle Funktionen werden fuer die Darstellung an N_max Stellen abgetastet (gesampelt). Die Vergleichsfunktion wird durch Umindizierung, Umkehrung der analytischen Loesung der Vorwaertasiteration gewonnen .

> restart;
> N_max:=100; #Anzahl Abtastwerte
> ta:=0; te:=3;
> dt:=(te-ta)/(N_max-1);
> t:=ta;
> for i from 0 to N_max-1 do
> y[i]:= evalf(1/2*(1-cos(2^(t)*arccos(1-2*0.2))));# Analytisch Vorwaerts
> t:=t+dt;
> od:
> t:=ta;
> for i from 0 to N_max-1 do
> yi[i]:=y[N_max-1-i]; #Invertieren der Vorwaertsiteration
> yi0[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+0*2*Pi))));
> yi1[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+1*2*Pi))));
> yi2[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+2*2*Pi))));
> yi3[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+3*2*Pi))));
> yi4[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+4*2*Pi))));
> yi5[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+5*2*Pi))));
> yi6[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+6*2*Pi))));
> yi7[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+7*2*Pi))));
> yi8[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+8*2*Pi))));
> yi9[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+9*2*Pi))));
>
> t:=t+dt;
> od:
>
> druck_yi:=seq([i, yi[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi0:=seq([i,yi0[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi1:=seq([i,yi1[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi2:=seq([i,yi2[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi3:=seq([i,yi3[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi4:=seq([i,yi4[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi5:=seq([i,yi5[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi6:=seq([i,yi6[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi7:=seq([i,yi7[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi8:=seq([i,yi8[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi9:=seq([i,yi9[i]],i=0..N_max-1):

> plot([[druck_yi],[druck_yi9]]);

Graphische Ergebnisse im naechsten Beitrag