Math Verhulst 1989

[richy]

Metazeit
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Den Bezug zwischen der nichtlinearen logistischen Gleichung und dem physikalischen Aspekt der Zeit habe ich seit laengerem nicht mehr angesprochen. Dieser ist ueber die Kopplung der Richtung des Zeitpfeils an den Entropiegradienten gegeben. In der kopenhagener Version wuerde dies einem Informationsgradienten entsprechen.Von solchen Ueberlegungen uebernehme ich lediglich die Bedingung der Irreversibilitaet eines Vorgangs, wenn dieser die globale Entropie aendert. Dies fuehrt zu dem Aspekt, dass reversible Vorgaenge keine realen Vorgaenge darstellen koennen, denn die Realitaet ist zeitlich nicht reversibel. Dies spiegelt sich auch im Dekohaerenzprogramm und den Interpretationen wieder. Dekohaerenz tritt dann ein, wenn ein Prozess in die globale Entropie eingebunden wird (eine Informationsaenderung darstellt). In allen Interpretationen ist erst dann der Prozess als real zu betrachten. In der KD entspricht dies dem Wellenkollaps und die Konsequenzen sind noch weitreichender. Denn erst nach dem Wellenkollaps ist dort ein Prozess, Auftrittsmerkmal als physikalisch (damit auch real) zu betrachten. Davor existiert in der KD aus physikalischer Sicht nichts. Es darf dort lediglich eine abstrakte Existenz angenommen werden. Eine mathematische Eigenschaft stellt die Existenz einer abstrakten Eigenschaft / Groesse dar. Damit auch die Eigenschaft der Linearitaet und nichtbijektiven Nichtlinearitaet. Eine entscheidende Groesse bezueglich der Realisation eines Vorganges stellt die zeitliche Nichtumkehrbarkeit dar. Meiner Meinung nach ist fuer diese wiederum nicht die Nichtlinearitaet entscheidend, sondern die Nichtbijektivitaet. Diese ist immer nichtlinear, aber die Umkehrfunktion einer Nichtlinearitaet kann durchaus eindeutig, damit bijektiv sein.

Fuer die logistische (Verhulst) Abbildung habe ich in diesem Thread bereits einige Ursachen und Konsequenzen der Nichtbijektivitaet untersucht. Diese entspricht einem zunehmenden Informationsverlust mit jedem Iterationsschritt. Dieser Aspekt ist nicht neu und wird auch als Entropie einer Iteration bezeichnet.
Neu ist dagegen die Nichtbijektivitaet fuer den kontinuierlichen, nichtdiskreten Fall zu untersuchen. Die Loesung der r=4 Verhulstgleichung ist kaum jemandem bekannt und daher auch nicht deren Umkehrfunktion.
Hierzu ergeben sich auch neue Fragen.
Z.B. wie der Fall der punktuellen Loesungen zu betrachten, bewerten ist. Wenn nur fuer ganzzahlige Werte die analytische Umkehrfunktion dem (zeitlich) reversen Prozess entspricht. Man koennte es sich einfach machen und annehmen, dass die kontinuierliche Version der diskreten Version entspricht. Die zweideutigkeit der Wurzelfunktion ist aequivalent zur Zweier Periodizitaet der Cosinusfunktion. Numerisch passt dies alles ertstaunlich gut zusammen. Wuerde eine kontinuierliche Welt dann gar nicht existieren koennen ? Die Zeit muesste quantisiert sein ? Interessant ist hiezu auch, dass die Verhulst Umkehrfunktion im Gegensatz zu anderen diskreten Funktionen fuer nichtganzzahlige Werte nicht komplexwertig wird, sondern reell bleibt.
Hat jemand Vorschlaege dazu ?
Dabei stellt die punktuelle Loesung eher die Ausnahme dar. Fuer mich eher unerwartet existieren in den meisten Zahlenbereichen Loesungen fuer die eine eindeutige Umkehrfunktion fuer alle k element Reell existiert. Ein "solches k" (besser das System) wuerde ich als kontinuierliche Variable t interpretieren. t element R. Die punktuellen Loesungen koennte man vermeiden, indem einige Anfangswerte y0 abhaengig vom Zeitschritt (Beispiel war yo=0.1, 0.4, 0.8 fuer 4 Zeitschritte) ausgeklammert werden muessen. Allgemein, dass einige Systemzustaende eines chaotoischen Systems verboten sind. Abhaengig von einem absoluten Zeitwert.
Waere damit eine kontinuierliche Welt, Zeitkoordinate gerettet ? Nicht unbedingt.

VORAUSSCHAU .
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Es wird sicherlich noch zu weiteren Komplikationen bei den nichtpunktuellen, (reellen, deckungsgleichen ) starken Loesungen kommen. Dies folgt aus meinem Thread zur graphischen Darstellung der irrationalitaet der reellen Zahlen. Hier zusammengefasst:
http://home.arcor.de/richardon/richy...irrational.htm
An den ganzzahligen Stuetzstellen weist die kontinuierliche Funktion bezueglich der Mehrdeutigkeit, Information, Entropie die von der diskreten Version, der Iteration bekannten "vernuenftigen" Eigenschaften auf. Diese basieren bei Verhulst auf einer Mehrdeutigkeit hervorgeufen durch Periodizitaet.
Fuer nichtganzzahlige Werte t ist nun zu erwarten, dass die Eigenschaften abhaengig ist vom Charakter der Zahl t. Eine physikalische Strukturierung aufgrund des Charakters von Zahlen ist zwar nichts Neues (man denke an den goldenen Scbintt als Nichtresonator oder natuerliche Zahlen als Resonator, Moden-Quantenzahlen), aber an dieser Stelle waere dies schon ungewoehnlich.
Sodele jetzt muss ich kurz wie jeden Abend unter den Linearbeschleuniger LB3 in Neuenfeld

Gruesse aus Rohrbach
richy

Edit : Begriff "schwache Loesung" geaendert in "punktuelle Loesung"

[amc]

Zitat von richy

Dekohaerenz tritt dann ein, wenn ein Prozess in die globale Entropie eingebunden wird (eine Informationsaenderung darstellt).

So ist es wohl. Und das ist wohl auch der Grund, warum Zeilinger Aussagen trifft wie: Die Wirklichkeit und Information seien dasselbe.

Grüße, AMC

[richy]

Hi amc
Und wenn der home.arcor server ausfaellt, dann fehlen meine Graphiken in den Beitraegen und damit jede Menge Information. Hoffe arcor funzt wieder :-)
Ansonsten :
In den populaerwissenschaftlichen Beitraegen verwendet Zeilinger zwar den Begriff der Information aber ich meine genau genommen meint er damit etwas anderes. Naemlich eine abstrakte Form der Entropie. Von Neumann Entropie.
Und dann koennte vereinfacht deine Annahme zutreffen.

Zitat von amc

Und das ist wohl auch der Grund, warum Zeilinger Aussagen trifft wie: Die Wirklichkeit und Information seien dasselbe.

Ich meine auch, dass dem so ist. Allerdings legt sich Zeilinger hier populaerwissenschaftlich wohl extra nicht so genau fest.

Ich kann mir uebrigends vorstellen, dass man meinen letzten Beitraegen nur etwas widerwillig folgen kann. Ich habe diese Umkehrfunktion so dokumentiert, wie sich die Aufgaben im Ablauf fuer mich stellten. Ich hoffe einige Eigenschaften die ich gefunden habe gehen dabei nicht unter. So sitze ich gerade vor zwei Grafiken, die zwar genau das Erfuellen wie ich es erwartet habe, aber warum diese Loesungsfunktion solch teilweise seltsame Eigenschaften aufweist ist fuer mich ein Raetsel.

Den Aspekt zur Zeit moechte ich vor lauter Verwunderung ueber die mathematischen Eigenschaften nicht in Vergessenheit geraten lassen.

Viele Gruesse
richy

[richy]

Zusammenfassung einiger Saetze :
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Wie bereits erwaehnt ueberraschen auch mich momentan einige mathematischen Zusammenhaenge. Ich kann diese zwar nicht erklaeren, aber dennoch lassen sich daraus Vorhersagen erstellen, die man dann numerisch ueberpruefen kann.

Einige empirisch ermittelte Eigenschaften der analytischen Verhulst Umkehrfunktion :
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A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));

1) In Gleichung A gibt der Wert von n an wieviele Maxima die Funktion im Intervall t=( 0 .. unendlich) enthaelt.
2) Die Kosinusfunktion A) ist frequenzmoduliert. Im Gegensatz zu einer Amplitudenmodulation weisen die Maxima gleiche Werte (y=1) auf.

Anwendung :
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Folgendes numerisches Versuchsergebnis (k=0..4) zeigt, dass der Parameter n einer Loesung (in R) abhaengig ist vom Anfangswert.


=>
Der Anfangswert yo1 bestimmt mit die Anzahl Maxima fuer ein festes Zeitintervall.
Numerische Ueberpruefung :
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Man sieht, dass die Funktionen tatsaechlich n Maxima mit dem Wert 1 aufweisen. Man sollte sich nochmals verdeutlichen, dass der Ausdruck A lediglich eine Kosinusfunktion darstellt. Der Arccos-Term stellt ebenso wie der n-Term einen konstanten Ausdruck dar. Die Besonderheit liegt darin, dass die Zeit t nicht linear sondern ueber 2^(-t) in den Kosinus eingeht. Man koennte aus den Schaubildern den Eindruck gewinnen, dass z.B fuer n =3 nur drei Maxima im Intervall t>0 auftreten, weil die restlichen Maxima (t>6) in der Amplitude ausgedaempft werden. Dies waere ein Trugschluss.



Richtig ist, dass aufgrund der sinkenden Frequenz kein Maxima mehr erreicht wird. Dies mathematisch nachzuweisen waere wohl nicht allzu schwierig. So strebt 2^(-t) gegen Null und der Kosinus von Null gegen eins. Man muss noch zeigen ab welchem Wert die Funktion A monoton fallend ist. (Weitere Eigenschaften folgen)

[richy]

- Warum ist eine exakte Erfassung der Eigenschaften der chaotischen Verhulst Umkehrfunktion schwierig ?

Die chaotische inverse Loesung lautet :
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A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));


Es existiert folgendes Additionstheorem :
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cos(x +- y)=cos(x) cos(y) -+ sin(x) sin(y)


Gleichung A) laesst sich umformen :
yi:=1/2*(1-cos( 2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi ))) =
yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0) + 2^(-t)*n*2*Pi )

Man sieht hier bereits, dass der Faktor 2^(-t) eine direkte Vereinfachung mittels des Additionstheorems verhindert. Es ergeben sich zwei verschiedene Problematiken, die ich mit (rot,blau) gekennzeichnet habe. Anwenden des Additiontheorems :

yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*cos (2^(-t)*n*2*Pi )+1/2*sin( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*sin( 2^(-t)*n*2*Pi )

BLAUES ARGUMENT
Fuer den Sinus und Kosinus des Arguments 2^(-t)*n*2*Pi=2*Pi * n/2^(t) lassen sich fuer ganzzahlige t und insbesonders fuer grosse n
noch einige Vereinfachungen angeben. Dies sind jedoch sehr spezielle Faelle.
In der Vorwaertsiteration wuerde man 2^(t) statt 2^(-t)=1/2^(t) betrachen. Damit ergeben sich dort einfachere Faelle.

ROTES ARGUMENT
Fuer das rot gekennzeichnete Argument ist das Handling nochmals schwieriger. Der Term ist nicht nur vom Anfangswert y0i abhaengig, sondern ebenfalls von der Variablen t (Zeit). Fuer t wird man auch hier ganzzahlige Werte annehmen muessen, die Iterationsvariable k element N. Fuer cos(2^(-t)*arccos(1-2*yi0)) ist selbst fuer ganzzahlige Werte von t mir keine Vereinfachung bekannt. Auch hier stellt der Faktior 2^(k) der Vorwaertsiteration anstatt 2^(-k) der inversen Itreration den "einfacheren" Fall dar. Hier waere tatsaechlich eine "Vereinfachung" moeglich, die ich im naechsten Beitrag kurz darstellen moechte.
Warum ich bisher nur empirische Gesetze anhand numerischer Versuche verwendet habe, sollte bereits verstaendlich sein.

[richy]

Die "Arccos Polynome" der chaotischen Verhulst Gleichung
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Es existiert folgende Aequivalenz :

arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x|

http://www.matha.rwth-aachen.de/lehr...na2/formel.pdf

Dieser Zusammenhang ist der Schluessel fuer die Loesung der Verhulst Gleichung und laesst sich mittels Verkettung
fuer 2^k*arccos|x|, k element N verallgemeinern.

Beispiel einer Verkettung :

2*arccos|x|=arccos|2*x^2-1|
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Substitution (Verkettung) : x=2*z^2-1
2*arccos|2*z^2-1|=arccos|2*(2*z^2-1)^2-1|
4*arccos|z|=arccos|8*z^4 - 8*z^2 + 1|
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Es ergeben sich fuer z>0 zwei Faelle :

z>Wurzel(2)/2
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4*arccos|z|=arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)

z<Wurzel(2)/2
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4*arccos|z|=2*Pi-arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)



Die Anzahl der Fallunterscheidungen waechst leider unangenehmerweise mit der Anzahl der Verkettungen. Dennoch koennte es lohnend sein die verketteten Polynome von x^2-1 etwas genauer zu untersuchen. Die k-fach verketteten Polynome lassen sich durch die Arccos Funktion auf die Form 2^k*arccos|x| "linearisieren" (Lineares Argument) Diese Untersuchung laesst sich ohne den Zusammenhang zur Verhulst Gleichung durchfuehren. "Just for fun". Damit erkennt man auch folgende Verwandtschaft :

Vergleich mit dem Polynom x^2 und dem Logarithmus.
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Die k-fache Verkettung des Polynoms x^2 lautet x^(2^k). Es gilt :
ln|x^(2^k)|=2^k*ln|x|

Im Komplexen existiert zwischen dem arccos und dem ln folgender Zusammenhang :



Siehe auch Herleitung arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x| im Komplexen :
http://www.quanten.de/forum/showpost...65&postcount=4