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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander! |
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#11
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AW: Formen des Zufalls
Ok jetzt weiter im Versuch dessen Motivation ich nochmal kurz zusammenfasse :
Ich moechte ueber ein mathematisches Modell einen determinierten physikalischen Zufall beschreiben. Nun ist anzunehmen, dass jedliches physikalische System mit einem physikalischen Zufall behaftet ist. Mit einem Rauschprozess. Gell Kurt :-) Um diesen zu eleminieren betrachte ich diskrtisierte malroskopische Objekte : Raupen, Kuehe, Baeume, Planeten etc ... In einem einfachen Modell wird sich ein Baum nicht aufgrund der Quantenmechanik in zwei Baeume verwandeln. Es bleibt die Frage ob die Unterscheidung zwischen einem Baum und zwei Baeumen eigentlich eine physikalische oder abstrakte Unterscheidung ist. Das lasse ich aber mal aussen vor. Jetzt hat sich gezeigt. Die Verhulstgleichung als Prototyp des determinierten Zufalls (z.B. bei einer Raupenpopulation ) ist gar kein geeignetes Modell um den eigentlichen Vorgang bei diskreten Systemen zu beschreiben. http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung Im folgenden moechte ich diese in ihrer urspruenglichen Form numerisch simulieren. 1) y[i]:=a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1]) 2) y[i]:=a*y[i-1]-a/Pop_max*y[i-1]^2 Betrachten wir die Gleichung genauer, so sehen wir, dass das eigentliche Ziel damit auch nicht erreicht wird. Das Ziel sollte sein einen determinierter Zufall lediglich ueber natuerlich Zahlen zu beschreiben. In Gleichung 2 koennen wir dies beim ersten Summanden erreichen wenn a ganzzahlig ist. Im zweiten Summanden wird es aber schwierig. Der Ausdruck a/Pop_max*y[i-1]^2 muesste dazu ganzzahlig sein. a, Pop_max, y[i-1]^2 sind ganzzahlig. Wir koennen aber nicht erwarten, dass y[i-1]^2/Pop_max stets ganzzahlig ist. Dazu in einem determiniert chaotischen Prozess. Wir koennen nur aussagen, dass dieser Summand nicht irrational ist. Dies genauer zu untersuchen wird noch kniffelig werden. Zwischenbemerkung : Falls es mir nicht gelingt mit der vorgestellten Methode einen physikalischen determinierten Zufall herzuleiten kann dies auch einfach daran liegen, dass die Methode ungeeignet ist. Hat jemand eine bessere Idee ? Obwohl die Methode anscheinend noch mangelhaft ist, stelle ich einige Ergebnisse hier mal vor : Zunaechst laesst sich der der ganzzahligen Charakter ueber folgende Uebertragungsfunktion, Operator S{} erzwingen : a) S(y)=floor(y) b) S(y)=ceil(y)=(y-frac(y)) Diesen kann ich wie folgt anwenden : i) y[i]:=S{a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])} ii) y[i]:=S{a/Pop_max*y[i-1]}*(Pop_max-y[i-1]) iii) y[i]:=S{a/Pop_max}*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1]) Methode iii) wurde ein a>4 also im "Cantorbereich" erfordern Zur Veranschaulichung die Uebertragungsfunktionen fuer a=4,Pop_max=10 : Beobachtung beim numerischen Experiment : *********************************** Benutzt man die ceil() Funktion und den Parameter a=4, so kann die Population spontan "aussterben" Das ist verstaendlich, denn die Funktion kann y[i] nach pop_max runden und im naechsten Schritt bedeutet dies das Ende der Population. Als Tierfreund werde ich im folgenden daher floor(y) verwenden. Beobachtung : ************ Der Parameter a=4 fuehrt in der "analogen" Verhulst Gleichung zu chaotischem Verhalten. In der diophantischen floor Variante ist dies nicht der Fall ! Erst bei einer genuegend hoher Anzahl von natuerlichen Zahlen tritt chaotisches Verhalten auf. Das hatte ich eher nicht erwartet ! Systematisches Erfassen. ******************** Der Grad von Ordnung-Unordung,Chaos,Zufall laesst sich ueber den Ljapunov Exponenten bestimmen. Ueblicherweise wird dieser uber den Parameter a dargestellt. Im folgenden habe ich diesen ueber die maximale Populationsgroesse pop_max und a=4 dargestellt. Anmerkung: ********** Den Ljapunovexponenten (also unser Zufallsanzeigegeraet) kann man innerhalb der Simulation numerisch bestimmen. Dabei muss jedoch die Ableitung der Uebertragungsfunktion analytisch bekannt sein. http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le1.htm Man muesste aufgrund der unstetigen floor() Funktion hier die Distributionentheorie anwenden. Darauf habe ich in der folgenden Darstellung verzichtet. Diese ist daher auch fehlerhaft, aber dennoch bereits recht interessant. Wer haette so etwas erwartet ? Im naechstem Posting werde ich eine Methode vorstellen wie auch ohne Distributionentheorie der Ljapunovexponent fuer den konkreten Fall "fehlerfrei" berechnet werden kann. Und diesen natuerlich darstellen. Dazu muss ich noch bischen Programmierarbeit leisten. Denke in einer Stunde bin ich fertig. Ge?ndert von richy (17.11.08 um 11:18 Uhr) |
#12
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AW: Formen des Zufalls
Zitat:
auch Rauschen ist 100% Zufallsfrei. Kurt |
#13
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AW: Formen des Zufalls
Zitat:
Kurt |
#14
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AW: Formen des Zufalls
@JGC
Ich habe noch eine Bitte. Ich moechte erstmal die numerischen Experimente hier durchziehen. Und so wie es aussieht scheinen diese recht interessante Aspekte zu liefern. Den H20 Thread hatte ich mir auch anders vorgestellt. Wobei ich aber auch selber dazu beigetragen habe diesen voellig Off Topic laufen zu lassen. Ich haette da gerne weiter Anomalien des Wassers und Erklaerungsversuche zusammengestellt. (@JGC folgendes betrifft nicht dich alleine sondern alle, inclusive meiner Person) Man kann sich die Thread Ueberschriften im Forum hier eigentlich sparen. Denn fast jeder Thread endet in einem allgemeinen Palaver, dass mit dem Ausgangsthema meist nichts mehr zu tun hat. Das sollten wir unbedingt verbessern ! Meist genuegt hier ein inertiales Posting um das Thema auseinanderlaufen zu lassen. Dein letzter Thread hat zwar etwas mit Zufall zu tun, aber nicht mit der Methode wie ich diesen hier gerade abgrenzen moechte. Er koennte daher einer dieser Off Topic Initialisierungs Postings darstellen. Ich moechte in diesem Thread das Thema in meiner Betrachtungsweise aber zunaechst durchziehen. Dazu passt dein Posting nicht. Vergessen wir das also zunaechst. Wir koennen spaeter gerne weiter dazu diskutieren. An dieser Stelle aber noch nicht. Vergessen wir auch dieses Posting hier meinerseits. Wenn du darauf eingehen moechtest dann eroeffne bitte einen neuen Thread. Und falls es dir noch nicht aufgefallen ist. Ich bin gerade dabei hier eine gewisse Systematik zu erarbeiten, die auch deine Sichtweise der Dinge zum Teil rechtfertigen wuerde. Aber wenn wir darueber diskutieren wollen. Bitte nicht hier sondern in einem neuen Thread. @Kurt Zitat:
In deinem Rauschthread kannst du dann auch einen analytischen Ausdruck fuer diese dargestellte Funktion angeben : Ge?ndert von richy (17.11.08 um 11:28 Uhr) |
#16
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AW: Formen des Zufalls
Ok, was hatte ich verspochen.
Eine Berechnung des Ljapunovexponenten fuer die bereits bekannte Aufgabenstellung ohne Beruecksichtigung der Distribitutionentheorie. Ok wie geht es weiter ? Ich habe vor ein paar Jahren einen Algo geschrieben mit dem es moeglich ist den Ljapunovkoeffizienten einer DZGL rein numerisch zu bestimmen : http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le3.htm Wofuer dieses Verfahren noch gut sein koennte, darueber habe ich mir damals eher keine Gedanken gemacht. Naja, jetzt ist es gut fuer etwas. Man kann damit rein numerisch den Ljapunovexponenten einer DZGL erster Ordnung bestimmen. Auch einer DZGL mit unstetigher Uebertragungsfunktion. Schauen wir uns das Ergebnis einfach mal an : In der numerischen Simulation habe ich einen Vorlauf von 50 Iterationen gewaehlt. a=4 200 Iterationen fuer jeden Parameter pop rot=Ljapunov ohne Beachtung der Distributionen. Die gruene Kurve stellt die rein numerische Approximation des Ljapunovexponenten dar. Es sieht so aus, als ob man noch nichteinmal sagen kann, wann der determinierte Zufall eine Rolle spielt. Aber fuer gewisse Populationsgroessen gaebe es ihn. Die Paeks gegen Null sind interessant. Hier tritt in dem Bereich, der im kontinuierlichen Fall Chaos darstelllen wuerde eine Ordnung (Periodizitaet) auf. Davon abgesehen dass die logistische Gleichung auch in dieser Form noch keine rein ganzzahlige Glechung darstellt.. Bewiesen ist also noch nichts. Ge?ndert von richy (17.11.08 um 12:29 Uhr) |
#18
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AW: Formen des Zufalls
Konvergiert der Ljapunovexponent der ganzahligen Variante der Verhulst Gleichung fuer grosse Populationen gegen die kontinuierliche Verhulst Gleichung ?
So wirklich sicher bin ich mir da nicht. Selbst fuer Populationsgroessen mit 10 000 Induvidien stellt die logistische Abbildung auf jeden Fall nur bedingt das Verhalten einer diskreten Raupenpopulation dar. Ge?ndert von richy (17.11.08 um 12:44 Uhr) |
#19
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AW: Formen des Zufalls
@richy
Da du auf diskrete Systeme anspielst: Gäbe es eine Möglichkeit, mit hoher Wahrscheinlichkeit zu entscheiden, ob die Stellen einer irrationalen Zahl wie PI durch echten Zufall entstanden sind oder algorithmisch generiert wurden ? Ich weiss es ehrlichgesagt, nicht, wie PI auf solche Zufallstests anspricht. Auf jeden Fall sind in Pi alle denkbaren endlichen Ziffernfolgen enthalten. ( Man könnte soweitgehen und sagen: Der Zustand des Universums, sofern er denn beschreibbar wäre, ist schon in PI kodiert. Aber ich will nicht vom Thema ablenken ... ) Intuitiv würde ich also sagen, man würde PI's Ziffernfolge wahrscheinlich für zufällig halten, wenn man es denn nicht besser wüsste. edit: ok, Pi ergibt sich aus geometrischen Überlegungen, so dass man daraus die Erkenntnis gewinnen könnte, dass man es mit PI zu tun hat, aber man könnte ja auch eine beliebige andere irrationale Zahl nehmen oder einfach die ersten i Stellen von PI abschneiden und den Rest durch einen Verschlüsselungsalgorithmus laufen lassen. Das wäre dann immer noch eine algorithmisch erzeugte nicht-periodische Folge. Ge?ndert von Sino (17.11.08 um 13:48 Uhr) |
#20
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AW: Formen des Zufalls
Hi sino
Zitat:
Zitat:
Und hier geht in die Feistrukturkonstante neben ganzen Zahlen nur PI ein. http://www.quanten.de/forum/showthre...5?t=869&page=3 Wie kann man einem determinierten Zufall die Determiniertheit nehmen ? Indem man einen Teil von Information prinzipiell unzugaenglich macht. Genau koennen wir Pi niemals angeben. Es wird uns also stets ein Teil der Information von PI fehlen. Aber ich meine das ist nicht ausreichend um die von mir geforderte Aufgabensstellung zu loesen. Ein Programm zu schreiben, dass nichtdeterminierte Zufallszahlen erzeugt. Damit meine ich nicht gewisse statistische Eigenschaften dieser Zahlen, sondern nur eine Eigenschaft, dass die Zahlen eben nicht determiniert sind . Das scheint mir von vornerein unmoeglich, denn ein Programm selbst ist stets etwas determiniertes. Letztendlich laesst sich die ganze Aufgabenstellung auf eine Zufallszahl reduzieren. Den Seed Wert. Und sinnigerweise verwendet man dafuer bei Randomgeneratoren eine physikalische Zufalssgroesse, wie Datum und Uhrzeit. Das ist natuerlich auszuschliessen. Es gibt aber eine weitere Moeglichkeit diesen Seedwert nichtdeterminiert zu waehlen. Man laesst den Programmbenutzer irgendeinen Wert eintippen. Nach welchen Kriterien waehlt er diesen Wert ? Wohl aus dem hohlen Bauch. Mit dem freien Willen. Also eine emotionale Eingabe. Auf solch einen Zufall will ich ja gerade hinaus. Das geistige Gegenstueck zum physikalischen Zufall finden. Die Mathematik reicht dazu alleine nicht aus. Jetzt koennte natuerlich jemand argumentieren : Ha wir sind nur Roboter, Marionetten die rein physikalisch funktionieren. Diese freie Zahlenangabe ist gar nicht frei, sondern basiert letztendlich auf der physikalischen, chemischen Funktionsweise des Menschen. Und daher basiert dieser Zufall letztendlich auf dem physikalischen Zufall. Daran sieht man, dass meine Bemuehungen wohl zu keinem sicheren Ergebnis fuehren koennen, denn ansonsten waere ja gezeigt, dass der Mensch mehr ist als Physik und Chemie. Ge?ndert von richy (28.04.09 um 17:07 Uhr) |
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