Quanten.de Diskussionsforum  

Zur?ck   Quanten.de Diskussionsforum > Schulphysik und verwandte Themen

Hinweise

Schulphysik und verwandte Themen Das ideale Forum für Einsteiger. Alles, was man in der Schule mal gelernt, aber nie verstanden hat oder was man nachfragen möchte, ist hier erwünscht. Antworten von "Physik-Cracks" sind natürlich hochwillkommen!

Antwort
 
Themen-Optionen Ansicht
  #11  
Alt 05.07.07, 02:06
fransmanegeng fransmanegeng ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 03.07.2007
Beitr?ge: 6
Standard AW: z^(m/n)-z0=0

Hallo richy,
die Gleichung x^2 = 1 ist sinnvoll, weil (.)^2 eine Funktion ist. Für jede Zahl x ist x^2 eine Zahl. Die "mehrdeutige Abbildung" ist keine Abbildung, deshalb muss man z^1/n definieren, wenn man es schreibt. Man kann eindeutig definieren durch Einschränkung des Definitionsbereichs, also nicht überall definiert. Oder mehrdeutig, also, z^1/n ist eine Menge für jede beliebige Zahl z, nämlich die Lösungsmenge der Gleichung x^n = z. Man kann aber nicht behaupten, dass die Menge (1,2,3) und die Zahl 2 gleich sind, nur weil 2 in der Menge enthalten ist.
Wurzel(2) irrational beweist man indirekt. Angenommen Wurzel(2) = p/q,
p und q teilerfremd. Daraus folgt p^2 = 2q^2, also p^2 durch 2 teilbar, also p durch 2 teilbar, p = 2r. 2q^2 = p^2 = (2r)^2 = 4r^2, also q^2 = 2r^2, also q^2 durch 2 teilbar und somit auch q. Das ist ein Widerspruch, da p und q teilerfremd sind.
Mit Zitat antworten
  #12  
Alt 05.07.07, 02:38
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beitr?ge: 4.170
Standard AW: z^(m/n)-z0=0

Hi
Den Beweis kenne ich. Das ist der von Euklid. Die frac Methode ist aber schneller.
Wurzel(2) ist irrational weil frac(1/sqrt(2))=frac(sqrt(2))
Fuer die Bedingung ist die Zahl eins eine Ausahme.

Deine obigen Aussagen kann ich ueberhaupt nicht nachvollziehen.

> die Gleichung x^2 = 1 ist sinnvoll, weil (.)^2 eine Funktion ist.

z^(a/b) ist ebenfalls eine komplexe Funktion. Denke nur nicht holomorph.

>
Man kann aber nicht behaupten, dass die Menge (1,2,3) und die Zahl 2 gleich sind, nur weil 2 in der Menge enthalten ist.
>

Die Mehrdeutigkeit hast du auch bei x^2=1
Die Loesungsmenge ist x={-1,1} Es wuerde aber doch kein Mensch auf die Idee kommen zu sagen, dass die Gleichung x^2=1 sinnlos ist, weil links eine Loesungsmenge {-1,1} steht und rechts eine Zahl (1).
Also das ist schon sehr zweifelhaft was du da schreibst.

Ge?ndert von richy (05.07.07 um 02:44 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #13  
Alt 05.07.07, 13:59
fransmanegeng fransmanegeng ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 03.07.2007
Beitr?ge: 6
Standard AW: z^(m/n)-z0=0

Hallo richy,
du verwechselst anscheinend
1. nicht injektive Abbildung mit Relation = "mehrdeutige Abbildung"
2. Urbild einer Abbildung mit Umkehrabbildung.
(.)^n ist für eine ganze Zahl n ein Homomorphismus von der multiplikativen Gruppe C ohne Null in sich, surjektiv für n ungleich Null, nicht injektiv für n ungleich +1,-1. Der Kern der Abbildung ist die n-te Einheitswurzel, e^2(pi)ik/n.
Die Lösungen der Gleichung z^1/n = z0 sind die Urbilder von z0 bezüglich der Abbildung (.)^n. Die Lösung ist i.A. wegen der Nichtinjektivität nicht eindeutig, das heißt, es gibt mehrere Lösungen. Ist w eine Lösung der Gleichung z^1/n = z0, dann sind w.e^2(pi)ik/n alle Lösungen der Gleichung, sie sind die Urbilder von z0 bezüglich der Abbildung (.)^n.
Das Symbol (.)^1/n habe ich oben für Urbild verwendet, es ist wohldefiniert (= widerspruchfrei). Du musst das Symbol bei deiner Gleichung zuerst definieren,sonst kommst du nicht weiter.
a) Ist es eine Abbildung in C, dann musst du für jede z genau eine Zahl w aus der Lösungen der Gleichung x^n = z auswählen und deklariert z^1/n = w.
Dann musst du noch (.)^m/n definieren, ist das ((.)^m)^1/n oder ((.)1/n)m, denn bei dem Auswahlverfahren sind sie nicht immer gleich.
b) Steht (.)^1/n für Urbild, dann ist sie eine Abbildung in die Potenzmenge von C, und die Gleichung z^m/n = z0 ergibt ohne weitere Definitionen keinen Sinn.
Mit Zitat antworten
  #14  
Alt 05.07.07, 14:37
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beitr?ge: 4.170
Standard AW: z^(m/n)-z0=0

Hi fransmane

An einigen Stellen im www bin ich schon auf den Hinweis gestossen, dass die Funktion z^(m/n) nur mit auesserster Vorsicht anzuwenden ist. Auch dass die Potenzgesetze im Komplexen teilweise nicht gueltig sind.Ich denke mal deine Argumentation geht in diese Richtung. Verstehe sie aber noch nicht ganz.

Zitat:
Dann musst du noch (.)^m/n definieren, ist das ((.)^m)^1/n oder ((.)1/n)m, denn bei dem Auswahlverfahren sind sie nicht immer gleich.
Das ist wohl der entscheidende gewoehnungsbeduerftige Punkt, der im reellen
keine Rolle spielen wuerde, aber wohl im Komplexen.
Meine Loesung fuer z^(m/n)=z0 waere
|z0|^(n/m)*e^(arg(z0)+i(n/m)*2*Pi*k,k=0,1,2..3)=
|z0|^(n/m)*cos(arg(z0)+i(n/m)*2*Pi*k)+i*sin(arg(z0)+i(n/m)*2*Pi*k,k=0,1,2..3)

Ich sehe aber nicht an welcher Stelle des Loesungsweges ich die Auswahl ((.)^m)^1/n oder ((.)1/n)m treffe.
Kannst du mir weiterhelfen ?

Welcher Auswahl entspricht diese Loesung ?
Welche Loesung ergaebe sich bei der alternativen Wahl ?
Meine Loesungen erfuellen in der Probe die Gleichung.
Verstehe ich dich richtig ? Es gibt also nochmal solch eine Menge von Loesungen ? Kann man die Problematik auch in etwas anschaulicher Form darstellen ? Haengt dies mit der analytischen Fortsetzung der komplewertigen Log Funktion zusammen ?
Vielen Dank im Voraus
Viele Gruesse
Mit Zitat antworten
  #15  
Alt 05.07.07, 22:18
fransmanegeng fransmanegeng ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 03.07.2007
Beitr?ge: 6
Standard AW: z^(m/n)-z0=0

Hi richy,
bevor wir fortfahren, möchte ich betonen, dass ich in diesem Gebiet kein Experte bin.
Das Problem ist die Definition von (.)^1/n.
a) Nehmen wir aus C die negativen Zahlen und die Null weg, dann kann man jedes z eindeutig in Koordinaten schreiben z = (r,t), wenn z = re^it,
t aus (-pi,+pi). Man kann hier z^1/n = (r,t)^1/n = (r^1/n,t/n) setzen. Es gilt
(z^1/n)^n = z. Betrachten wir jetzt z^m/n für z = i = (1,pi/2), m = 3, n = 2.

(i^3)^1/2 = (-i)^1/2 = (1,-pi/2)^1/2 = (1,-pi/4)
(i^1/2)^3 = ((1,pi/2)^1/2)^3 = (1,pi/4)^3 = (1,3pi/4)

b) Nehmen wir die Urbildmenge für z^1/n, also die Lösungsmenge der Gleichung x^n =z. In diesem Fall gilt: (z^m)^1/n = (z^1/n)^m.
Die Aufgabe lautet dann: Die Menge aller z mit der Eigenschaft, z0 ist ein Element aus z^m/n.
Sie ist äquivalent mit der Gleichung z^m = z0^n.
Ist z0 = (r,t), wobei t jetzt beliebig ist, dann sind w = (r^n/m,tn/m) die Lösungen. (r,t + 2pi/n) bezitzt die gleiche Lösung.
Muss man bei deiner Lösung:
1) arg(z0) mit n/m multiplizieren
2) arg(z0) bei e mit i multiplizieren
3) i bei cos und sin weglassen?

Man kann a) so modifizieren, dass man immer genau eine Lösung bekommt, sie ist in b) enthalten.

Grüsse fm
Mit Zitat antworten
Antwort

Lesezeichen

Themen-Optionen
Ansicht

Forumregeln
Es ist Ihnen nicht erlaubt, neue Themen zu verfassen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, auf Beitr?ge zu antworten.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Anh?nge hochzuladen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Ihre Beitr?ge zu bearbeiten.

BB-Code ist an.
Smileys sind an.
[IMG] Code ist an.
HTML-Code ist aus.

Gehe zu


Alle Zeitangaben in WEZ +1. Es ist jetzt 15:02 Uhr.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8 (Deutsch)
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc.
ScienceUp - Dr. Günter Sturm