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  #1  
Alt 07.11.08, 00:01
Benutzerbild von Hamilton
Hamilton Hamilton ist offline
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Registriert seit: 02.05.2007
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Beitr?ge: 447
Standard Math - Einheitskugel

Ein interessantes Thema, auf das ich vor einiger Zeit gestoßen bin, ist folgendes Phänomen:
Es gibt einen Ausdruck für das Volumen einer Kugel in einem N-dimensionalem Raum. (N kann hier auch reell sein)

Zur Info:
Die Verallgemeinerung einer Kugel ist ja eine Menge von Punkten aus einem N-dim, euklidischen Raum, die alle den gleichen Abstand (die Oberfläche) bzw. einen kleinergleichen Abstand (Volumen) zu einem Zentrum haben, als ein vorgegebener Radius.
Dabei ist mit Abstand der euklidische gemeint, also z.b. R = (dx²+dy²+dz²)^(1/2)
Da es in beliebig vielen Dimensionen Abstände gibt, gibt es darin auch immer Kugeln, sog. Hyperkugeln.


Das, was mich jetzt fasziniert ist, dass der zahlenmäßige Betrag der Volumina der Einheitskugeln (also r=1) bei ca. n=5 ein globales Maximum hat.
Ich würde erwarten, dass das irgendeine Bedeutung hätte, also z.b. dass unser Universum 5-dimensional ist- das lässt sich aber einfach nicht feststellen.
Ich finde das sehr seltsam.

Im Anhang ist ein Plot der Funktion für das Hypervolumen:

für r=1, die Zahlen geben das Volumen in der Einheit 1^n an, also für n=2 ist das z.b. pi (die Kreisfläche), für n=3 ist das 4/3 pi (Kugelvolumen)

edit: die gepunktete Linie ist die erste Ableitung- die ist nur da um das Maximum besser zu finden.
Angeh?ngte Grafiken
Dateityp: jpg vol.jpg (55,1 KB, 8x aufgerufen)
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman
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  #2  
Alt 07.11.08, 01:31
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Einheitskugel

Zitat:
Zitat von Hamilton Beitrag anzeigen
Das, was mich jetzt fasziniert ist, dass der zahlenmäßige Betrag der Volumina der Einheitskugeln (also r=1) bei ca. n=5 ein globales Maximum hat.
Ja, das ist in der Tat höchst interessant!

Aehnliches finden wir bei der Sphäre, also der Verallgemeinerung der Kugeloberfläche auf beliebig viele Dimensionen:

S_n-1 = dV_n/R

Ab n > 7 geht die Ausdehnung (Surface area) rapide zurück um dann gegen Null zu streben:

http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html

Nach Poincaré (aber auch nach Hawking) könnten wir gut und gerne in einer 3-Sphere leben. Diese wäre - etwas laienhaft ausgedrückt - die dreidimensionale Umrandung einer Hyperkugel. Leider besitzen wir für Kugeln und Bälle mit n > 3 kein empirisches Bewusstsein. Im Existenzbereich der 3-Sphäre bestünde trotzdem kein wesentlicher Unterschied zu einer 3-Mannigfaltigkeit - lokal etwa einem euklidischen kubusförmigen Raum -, weil die 3-Sphäre dazu homöomorph ist.

Gr. zg

Ge?ndert von zeitgenosse (07.11.08 um 01:34 Uhr)
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  #3  
Alt 07.11.08, 01:49
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Einheitskugel

Komisch
Ich wollte im Extremwertthread schon die Aufgabe stellen :
Warum sind Himmelskoerper bevorzugt rund ?

Liegt doch sicherlich an der minimalen Oberflaeche.
Aendert sich daran etwas im n-Dimensionalen Raum ?
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  #4  
Alt 07.11.08, 02:22
Hermes Hermes ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Einheitskugel

Wie lautet eigentlich die allgemeine vollständige Gleichung zur Volumensberechnung einer n-dimensionalen Hyperkugel?
Gibt es einen Link?
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  #5  
Alt 07.11.08, 03:10
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beitr?ge: 529
Standard AW: Einheitskugel

Zitat:
Zitat von Hermes Beitrag anzeigen
Wie lautet eigentlich die allgemeine vollständige Gleichung zur Volumensberechnung einer n-dimensionalen Hyperkugel?


Interessant ist, dass bei Kugel wie auch Sphäre die Gammafunktion auftaucht. Diese spielt auch der ζ-Funktion (siehe die "Riemannsche Vermutung") eine wichtige Rolle.

p.s.
Die Riemannsche Vermutung drückt aus: Der Realteil jeder nicht-trivialen Nst. ist 1/2. Der Beweis steht noch immer aus. Es winkt ein hohes Preisgeld!

Gr. zg

Ge?ndert von zeitgenosse (07.11.08 um 03:46 Uhr)
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  #6  
Alt 07.11.08, 03:23
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Einheitskugel

Die Gammafunktion ist dabei die verallgemeinerte Fakultaet n!
D.h. sie erweitert die Fakultätsfunktion auf die positiven reellen Zahlen.

So wie ich das bei den Fibonacci Zahlen gerade getan habe.
Und die Riemannsche Zeta Funktion zeta(1) ist die Normierungsfunktion der Zipf Verteilung.

Eine Naeherung fuer zeta(1) ist :


Dabei ist Gamma die Euler-Mascheroni-Konstante. Etwa 0,5772156649.
Man kann den ln einer Zahl also ueber eine einfache Summe mit einer Korrekturkonstante annaehern. Koennte ab und zu nuetzlich sein.

Ge?ndert von richy (07.11.08 um 03:30 Uhr)
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  #7  
Alt 07.11.08, 03:33
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Einheitskugel

Nimm doch einfach zum Beispiel diese Tabelle™ zum kopieren :-)
http://www.torsten-horn.de/techdocs/ascii.htm
Hier das griechische Alphabet
http://www.webmaster-eye.de/ASCII-Da...4.artikel.html
Als kleines Geschenk noch ein Integral
Groesse kann man ueber html Tag [size="+n"]Vergroessertes Objekt [/size] steuern
Fast alle HTML Tags funktionieren hier.
Aber statt Ascii Escape Sequenz ist es einfacher das Zeichen zu kopieren.

Ge?ndert von richy (07.11.08 um 03:48 Uhr)
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  #8  
Alt 07.11.08, 03:53
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Einheitskugel

Hab noch einen Link hinzugefuegt. Da ist nun auch das ζ mit dabei.
Test &Omega &#946
Escape Sequenz grad so hinschreiben geht net. Wie gehts richtig ?
[font]&#921[/font]
Ja Bitume Sack Zement
[font size="+2"]&#921[/font]
&#921
[&#921]

Also das Integralzeichen ist ... moment
Escape Sequenz 8747

Kann man hier kopieren. Mit der Liste haben wir nun wirklich alles beisammen.
Die Liste ist vollstaendiger als die ersten :
http://www.homepage-total.de/html/unicode-tabelle.php
Ach so :
Tiefer und hoeher stellem sub und sup
ap
[sup]HOCH[/sup] und [/sub]TIEF[/sub] - Bau
Geht hier anscheinend nicht.

Ge?ndert von richy (07.11.08 um 04:22 Uhr)
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  #9  
Alt 07.11.08, 13:07
Hermes Hermes ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 16.07.2007
Beitr?ge: 1.138
Standard AW: Einheitskugel

Auf die Gefahr hin die Mathematikexperten bei der Arbeit aufzuhalten.




Das R steht doch normalerweise für die Menge aller reelen Zahlen. Wie kommt das in die Formel? Das große kleine "r" im Nenner ist aber schon das r für Radius?
Was mache ich mit dem R wenn ich das Volumen einer 4D-Kugel und dem Radius r=1cm beispielsweise berechnen will?

@EMI: Einige Sonderzeichen finden sich auch in Word bzw Open Office unter "Einfügen -->Sonderzeichen". Läßt sich rauskopieren aus einem Dokument.

Ge?ndert von Hermes (07.11.08 um 13:09 Uhr)
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  #10  
Alt 07.11.08, 13:48
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Beitr?ge: 529
Ausrufezeichen AW: Einheitskugel

Zitat:
Zitat von Hermes Beitrag anzeigen
Auf die Gefahr hin die Mathematikexperten bei der Arbeit aufzuhalten.
In der Gl. für das Kugelvolumen



ist R der Radius.

Im Nenner steht nicht R bzw. r, sondern Γ (Gamma)!

Γ ist die sog. "Gammafunktion":



Beispiel:

Das Volumen der Einheitskugel (R=1) in n=3 beträgt:

V_3 = 4Pi/3 ≈ 4,19

Für eine 3-Kugel mit R = 10 cm resultiert somit:

V ≈ 4,19 * (10cm)^3

Gr. zg

Ge?ndert von zeitgenosse (07.11.08 um 13:59 Uhr)
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