|
|
#61
05.03.12, 22:56
|
||||
|
||||
AW: Math Verhulst 1989
Zitat:
Puh, wie koennte hier ein einfaches Modell aussehen ? Schwierig. Aber eines ist klar. Egal wie stark der Raum auch gekruemmt ist. Zwei Kuehe bleiben zwei Kuehe. Die natuerlichen Zahlen und damit auch Fibonacci Zahlen sind somit Beobachtersysteminvariant. Genauso wie c0. Maßstaebe und die Zeit moegen sich gemaess der RT aendern wie sie wollen aber zwei Kuehe bleiben auch in der RT zwei Kuehe genauso wie C0. Zitat:
http://home.arcor.de/richardon/richy...lden/Chain.txt (Fuer regulaere Kettenbrueche gibt es eine einfachere Methode die man ohne Rechner, sondern im Kopf anwenden kann und ich im Beitrag vorstelle). Kettenbruch exp(1) ************** http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl Der regulaere Kettenbruch von exp(1) weist keine konstanten Koeffizienten auf. Typisch fuer eine transzendente Zahl. Dazu noch einige Hinweise, die nur einfachste Schulmathematik verwenden. Meine Darstellung hatte anfangs lediglich die Aufgabe die Mehrdeutigkeit der Wurzeln beim Uebergang von natuerlichen Zahlen zu nichtnatuerlichen Zahen zu visualisieren. Die Irrationalitaetsidee und damit Kettenbruchidee kam erst spaeter. Den Ausdruck "Kettenbruch" hatte ich dazu nicht genau definiert. Gemeint sind regulaere Kettenbrueche. Wie laesst sich ein allgemeiner Kettenbruch in der verketteten Denkweise zunaechst einfach erfassen ? Die Basis dazu bietet der Da Vinci Code :-) Das ist nichts weiter als eine Verallgemeinerung der Fibonacci Iteration : fib(0)=1, fib(1)=1 fib(k+1)=a*fib(k)+b*fib(k-1) | durch fib(k) fib(k+1)/fib(k)=a+b*fib(k-1)/fib(k) Das Einmalige an dieser DZGL zeigt sich darin, dass man fib(k-1)/fib(k) auch schreiben kann als eins durch fib(k)/fib(k+1) fib(k+1)/fib(k)=a + b/[fib(k)/fib(k-1)] Das ist das grosse Geheimnis :-) Denn nun sieht man : Die Substitution z(k+1)=fib(k+1)/z(k), entsprechend z(k)=fib(k)/fib(k-1) fuehrt auf die charakteristische Gleichung der verallgemeinerten Fibonacci Folge : Gl 1) z(k+1)=a+b*1/z(k), z(0)=1 ************** Das ist einfachste Schulmathematik. Einfache Substitution und dennoch der Schluessel dazu kompliziert erscheinende Dinge wie Kettenbrueche analytisch und damit einfach betrachten zu koennen. Nun verketten wir die Iteration ! Aus Gl 1) folgt trivial : Gl 2) z(k+2)=a+b*1/z(k+1) Na und fuer z(k+1) koennen wir aus Gl1) einsetzen : Gl 3) z(k+2)=a+b*1/(a+b*1/z(k)) Wir haben zwei Iterationen verkettet. Und koennen das Spielchen beliebig fortsetzen : z(k+3)=a+b*1/z(k+2) z(k+3)=a+b*1/(a+b*1/(a+b*1/z(k))) u.s.w. In der Asci Schreibweise sieht man es schlecht, aber das Ergebnis ist der allgemeine Kettenbruch. Und fuer den regulaeren Kettenbruch gilt b=1. Somit : Der regulaere Kettenbruch hat die Form : ****************************** Gl 4) z(k+1)=a+1/z(k) ************** in der Da Vinci Code Schreibweise Gl 5) fib(k+1)=a*fib(k)+fib(k-1) ******************* Yeah, thats easy : Hmm,alles einfach, schoen und gut.Aber gegen welchen Wert konvergiert die Iteration der Gleichung 4 ? Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen des Da Vinci Codes ? Daran denken : z(k)=fib(k)/fib(k-1) Auch hier genuegt einfachste Schulmathematik. "Konvergieren" bedeutet, dass sich der Iterationswert z(k+1) von z(k) immer weniger unterscheidet und deren Differenz z(k+1)-z(k) im Grenzfall schliesslich gleich null wird. z(k+1)-z(k)=0 z(k+1)=a+1/z(k) | auf beiden Seiten minus z(k) z(k+1)-z(k)=a+1/z(k)-z(k) soll gleich Null sein a+1/z(k)-z(k)=0 a+1/z-z=0 ******** Das ist eine einfache quadratische Gleichung und deren Loesung lautet ? : Gl 6) z=1/2*(a+-Wurzel (a^2+4)) ******************* ****************** Der einfachste Fall : a=1 ****************** (Im folgenden betrachte ich nur den Hauptwert, das positive Vorzeichen) z=1/2*(1+Wurzel (1^2+4)) z=1/2*(1+Wurzel (5)) Das ist der goldene Schnitt Phi ! Wenn sich z sich nicht mehr aendert, dann betraegt fuer a=1 dessen Wert Phi ! z(k) konvergiert gegen den goldenen Schnitt. Und z(k) war der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen. Deren Quotient konvergiert somit gegen den goldenen Schnitt. Und da eins die kleinste natuerliche Zahl ist, ist gemaess Louville der goldene Schnitt die irrationaste aller Zahlen. ************ Wir testen a=2 ************ Fuer a=2 sollten wir die zweitirrationalste aller Zahlen erhalten. Na schaun wir mal : z=1+1/2*Wurzel (8) Na wie denn wo denn was denn ? Was ist mit unserer guten alten Wurzel(2) ? Wenn schon nicht Pi, dann ist doch Wurzel(2) die zweitirrationalste aller Zahlen. Was funkt denn da eine Wurzel(8) dazwischen ? Schauen wir uns den Zahlenwert an : 1+1/2*Wurzel (8)=2.414213563 Ach so. Das ist Wurzel(2)+1 Logo, denn 1/2 kann man als Wurzel(1/4) in die Klamer ziehen und dann steht da : z=1+Wurzel(2) *********** Ja welcher Wert ist denn nun irrationaler Wurzel(2) oder 1+Wurzel(2) ? Und irrationaler in welchem Sinne ? Nur im Sinne von Louville ? Da bin ich mir noch nicht selbst ganz schluessig. Meine Grafiken, die manche vielleicht belaecheln werden, koennten hierzu jedoch einen Hinweis geben. Denn sie zeigen, dass fuer grosse Zahlenwerte die Struktur der Irrationalitaet immer weniger ersichtlich wird. Eine grosse Zahl hat es sehr viel schwerer irrational zu sein als eine kleine Zahl. Betrachten wir die ganze Vorgehensweise als ein Spiel. Fuer ein faires Spiel muessen Rahmenbedingungen geschaffen werden, die allen Teilnehmern des Spiels gleiche Chancen garantieren. (Fairness ist fuer mich uebrigends ein absolutes Grundprinzip.) Das Spiel muss somit fuer alle daran teilnehmenden Zahlen auf einem klar umrissenen Spielfeld ausgetragen werden. Um das Spiel des Grades der Irrationalitaet fair auszutragen muessen wir somit zunaechst ein Spielfeld vorgeben. Dies kann nur ein Intervall zwischen zwei natuerlichen Zahlen sein. Das heisst. Wir bewerten nur die Nachkommastellen einer Zahl. Es besteht keinerlei Zweifel daran, dass der goldene Schnitt die nobelste, irrationalste aller Zahlen darstellt. Der goldene Schnitt wird durch zwei Werte repraesentiert. 1/2*(1+wurzel(5)) sowie 1/2*(1-wurzel(5)). 1/2*(1+wurze(5))=1.618.. liegt im Intervall 1..2 und daher wuerde ich als Spielfeld aller "Irrationalitaetsfragen" dieses Intervall zur Beurteilung vorschlagen. Das Intervall 1..2 wird damit zum eigentlichen Irrationalitaets Sparring Ring aller Zahlen. Zur Beurteilung deren Nachkommastellen. Mein hohler Bauch sagt mir gerade das das intervall 0..1 besser waere und der Hauptwert des goldenen Schnittes nicht 1.618... sondern 0,618... ist aber einigen wir uns zunaechst auf das Spielfeld 1..2 Und darin ist nun Wurzel(2) die zweitirrationalste Zahl und nicht 1+Wurzel(2), denn 2.414213563 liegt ausserhalb des Spielfeldes. Ebenso wie Pi. Im Sinne des Spieles muss Pi-2 untersucht werden und bezueglich deiner Ausgangsfrage exp(1)-1. Gruesse Ge?ndert von richy (06.03.12 um 06:02 Uhr) 
|
|
#62
06.03.12, 05:16
|
||||
|
||||
|
AW: Math Verhulst 1989
Zusammenfassung
************** Gegeben sei folgende Differenzengleichung : fib(0)=1, fib(1)=1 fib(k+1)=a*fib(k)+fib(k-1) Der Wert fib(k+1)/fib(k) konvergiert gegen den Wert folgender Iteration : z(k+1)=a+1/z(k), z(0)=1 und damit gegen z=1/2*(a+-Wurzel (a^2+4)) Fuer a=2 somit zum Beispiel gegen 1+Wurzel(2) Nehmen wir an wir sind Handwerker. Was haben wir davon ? Wir moechten als Handwerker Wurzel(2) berechnen. Wir betrachten dazu folgende einfache Iteration : w2(0)=1, w2(1)=1 w2(k+1)=2*w2(k)+w2(k-1) Ok. lets go Im Kopf ohne PC : 1 1 3 7 17 41 99 239 577 Testen wir 577/239 577/239 = 2.414225941 Wurzel(2)=1.414213562 Ok, natuerlich haben wir 1+Wurzel(2) berechnet, aber das koenen wir von unserem Bruch natuerlich abziehen. 577/239-1 = (577-239)/239 = 338/239 338/239 1.414225941 Wurzel(2)=1.414213562 Es gibt uebrigends keine genauere Bruchdarstellung von Wurzel(2) als die Kettenbruchdarstellung. Ok, jetzt werfen wir doch den PC an und approximieren 1+Wurzel(2) noch genauer ueber den Da Vinci Code. Was nehmen wir da ? y[2] := 3 y[3] := 7 y[4] := 17 y[5] := 41 y[6] := 99 y[7] := 239 y[8] := 577 y[9] := 1393 y[10] := 3363 y[11] := 8119 y[12] := 19601 y[13] := 47321 y[14] := 114243 y[15] := 275807 y[16] := 665857 y[17] := 1607521 y[18] := 3880899 y[19] := 9369319 y[20] := 22619537 oder noch genauer : y[99] := 39243058951466341909004733505464609607 y[100] := 94741125149636933417873079920900017937 Ich mag die Mathematik und Physikgeschichte uebrigends sehr und bewundere die Aegypter, Babylonier, Inder, Griechen ... Ok, modifizieren wir den Zaehler zu y(k)-y(k-1) um die Geschichte der Zahl Wurzel(2) zurueckzuverfolgen : Wir erhalten folgenden theoretischen Rueckblick : 10/7 1.428571429 1.414213562 24 -- 17 1.411764706 1.414213562 58 -- 41 1.414634146 1.414213562 140 --- 99 1.414141414 1.414213562 338 --- 239 1.414225941 1.414213562 816 --- 577 1.414211438 1.414213562 1970 ---- 1393 1.414213927 1.414213562 4756 ---- 3363 1.414213500 1.414213562 11482 ----- 8119 1.414213573 1.414213562 .... 161564 ------ 114243 1.414213562 1.414213562 Jetzt schlagen wir bei Wiki nach : http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_2 Zitat:
Der moderne richy setzt dem entgegen evalf(816/577-sqrt(2))=-.2124 10^-5 Wahnsinn diese Inder :-) Ich habe uebrigends keine Erklaerung dafuer. Viele Gruesse Ge?ndert von richy (06.03.12 um 19:21 Uhr)
|
|
#64
07.03.12, 09:26
|
|||
|
|||
|
AW: Math Verhulst 1989
Zitat:
665857/470832 passt dann auch schon wirklich gut - weicht erst in der 12. Stelle von sqrt(2) ab.
|
|
#66
09.03.12, 14:01
|
||||
|
||||
|
AW: Math Verhulst 1989
... sorry war ne Weile "weg",
der SRT wegen, ...musste nachts rechnen, nun ist es vollbracht, so kann ich mich wieder den Zahlenräumen widmen. Mir fällt im Moment aber nur soviel dazu ein : Die Wurzel(2) fällt zumindest bei Kreisbogenberechnungen optisch als auch mathematisch auf: Die Hälfte von Wurzel(2) bzw. die Wurzel ihres Kehrwertes stellt im Kreisbogen den Mittelpunkt und somit den Umkehrpunkt für Steigungsverhältnisse dar. sin(45°)=Wurzel(1/2) ebenso: tan (45°-45°/2) = Wurzel(2)-1 tan(45°+45°/2) = Wurzel(2)+1 In graphischen Darstellungen wird also höchste Irrationalität u.U. zu Symmetrie. Gruß Merman Ge?ndert von mermanview (10.03.12 um 00:18 Uhr)
|
|
#67
10.03.12, 19:06
|
||||
|
||||
|
AW: Math Verhulst 1989
Hi Merman.
Interessant zum Kehrwert ist auch folgendes. Bildet man den Kehrwert einer Zahl und die Nachkommastellen bleiben gleich, so ist die Zahl irrational. (Ausgenommen 1.0) Das ist keine offizielle Aussage, sondern ich habe dies am komplexen Einheistkreis ueber einen einfachen Widerspruchsbeweis bezueglich Periodizitaeten hergeleitet. Mein Satz folgt aus dem Hauptsatz der Algebra den ich fuer Brueche im Exponenten formuliert habe. Zitat:
Beispiel : 1+Wurzel(2) 1+Wurzel(2)=2.4142135623730950488 1/(1+Wurzel(2))=0.4142135623730950488 Nochmals : 1 / 2.4142135623730950488 = 0.4142135623730950488 Lustig gell. Das selbe gilt fuer den goldenen Schnitt und laesst sich einfach ueber die charakteristische Gleichung der DZGL begruenden. Mit der im Thread vorgestellten Methoden. Zitat:
Es muss zum Beispiel gelten : 1/tan(45°+45°/2) = tan(45°+45°/2)-2 Die Landkarte zur Irrationalitaet um exp(1) folgt noch. Gruesse Ge?ndert von richy (10.03.12 um 19:38 Uhr)
|
|
#68
11.03.12, 22:03
|
||||
|
||||
|
AW: Math Verhulst 1989
Betrachten wir mal die symmetrischen Eigenschaften von Wurzel_Zwei in der SRT:
Merman_Erklärung der SRT: Wenn c konstant ist , dann scheint c' im Raumschiff um (c+v)/c gedehnt und ebenso scheint c'' vor dem Raumschiff (abstrahlend) um (c-v)/c gestaucht. Die tatsächliche Dilatation muss dazwischen liegen. Es muss einen gemeinsamen Faktor geben, welcher von c-v zum Dilatationsfaktor führt und vom Dilatationsfaktor zu c+v führt. (c-v) * Faktor = Dilatationsfaktor = (c+v) / Faktor => (c-v) * Faktor = (c+v) / Faktor => Faktor² = (c+v)/(c-v) => Faktor = Wurzel((c+v)/(c-v)) .. und das funktioniert: bei c=1 und v=0,8 Faktor = Wurzel((1+0,8)/(1-0,8)) = Wurzel(1,8/0,2) = Wurzel(9) = 3 0,2*3 = 0,6 = 1,8/3 Dilatationsfaktor bei v=0,8 ist 0,6 ! Umgekehrt lässt sich v und die ZD auch aus einem vorher gewählten gemeinsamen Faktor x berechnen: v = (x²-1)/(x²+1), ZD = (1-v) *x: Beispiel von oben: Faktor = 3 ...v = (3²-1) / (3²+1) = 0,8 ZD = (1-0,8) * 3 ......= 0,6 So, nun können wir mit Wurzel_Zwei experimentieren: (im Folgenden bedeutet W(2) = wurzel(2), ZD Zeitdilatation, v steht für den Anteil an c, für c wird c=1 angenommen) bei gemFaktor = W(2) ergibt für....... v = 1/3*c und für........ZD = W(2)*2/3 = W(8/9) = W(2³/3²) bedeutet: ...(1-1/3) * W(2) = W(2³/3²) = (1+1/3) / W(2) Anderes Beispiel: v=W(2)-1, was bedeutet dass c+v = W(2): (Die v-Differenz über und unter c beträgt W(2)-1 = 0,41421356237309504880) v = w(2) - 1 = 0,41421356237309504880 ZD = Wurzel((1-v) / (1+v)) ..... = W(2) / W(1+W(2)) ..... = 1,414213.. / Wurzel(1+1,414213..) Aussagen zur Symmetrie: Zumindest scheinen sich hier viele Faktoren zu wiederholen (ähnl. Phi). Zur Symmetrie müsste man die Punkte in einem Kreisbogen untersuchen, ist aber schon zu spät für heut. Gruß, sehr zufriedener Merman Ge?ndert von mermanview (11.03.12 um 22:16 Uhr)
|
|
#69
14.03.12, 11:23
|
||||
|
||||
|
AW: Math Verhulst 1989
Zur Symmetrieuntersuchung irrationaler Zahle im Viertelkreis:
Bild plus Daten:  Ein paar Daten gemessen am Mittelwertfaktor F, nach der Berechnung (c-v) * F = ZD = (c+v) / F (v=c*x, ZD=Zeitdilatation) (Natürlich hat die untersucung mehr mit dem Kreisbogen und Pythagoras zu tun, als mit der SRT, es könnte auch c=Hypothenuse, v=Ankathete und ZD = Ggenkathete heißen.) Mittelwertfaktor:.... Phi v :......................... Wurzel(0,2) ZD:....................... Wurzel(0,8) Steigung m:........... 2 Mittlewertfaktor:.... Wurzel(2) v:..........................1/3 ZD:....................... Wurzel(2^3/3^2) Steigung m:........... 2*Wurzel(2) Mittelwertfaktor:.... 1+Wurzel(2) v:.......................... Wurzel(1/2) ZD:....................... Wurzel(1/2) Steigung m:.......... 1 Ich weiß nicht ob man diese Werte tatsächlich als Anzeichen für eine Symmetrie betrachten kann, erstaunlich sind zumindest Verwandtschaften zwischen irrationalen Zahlen, z.B. Phi und Wurzel(2) und 1+Wurzel(2). Es stellte sich z.B heraus, dass der halbe Winkel der Steigung m=2 (63,4249/2=31,71747..), dass dieser Winkel eine Steigung von m=Phi-1 hat. tan(arctan(wurzel(2)/2)) = Phi -1) .. dass der Multipliationsfaktor F=Phi, die Steigung 2 hat während der Multiplikationsfaktor Wurzel(2)+1 hat die Steigung 1 Gruß Merman Ge?ndert von mermanview (15.03.12 um 17:47 Uhr)
|
|
#70
16.03.12, 10:04
|
||||
|
||||
|
AW: Math Verhulst 1989
Hi merman
Ohne den physikalischen Klimbim waere der Sachverhalt vielleicht noch deutlicher zu sehen. So etwas kann man dann ja spaeter noch untersuchen. Wenn man erkannt hat ob sich hier ueberhaupt etwas bemerkenswert Neues ergibt. Das ist in den seltensten Faellen zu erwarten. Aber was man immer erwarten kann ist, dass man fuer lang bekannte Zusammenhaenge eine neue Sichweise erhaelt. Zum Beispiel in der Form, dass du den Kreis den Betrachtungen hinzugefuegt hast und damit Zusammenhaenge zu den trigonometrischen Funktionen mit einbezogen hast. Rein aus Erfahrung wuerde ich meinen, dass man mit deiner Erweiterung nun widerum ein besseres Verstaendnis fuer das Sechseck und damit die dichteste Kugelpackung erreichen koennte. Denn dass beim Sechseck sich der Radius genau sechs mal am Umfang als Sehne abtraegen laesst liegt genau an einem Zusammenhang zwischen Transzendenz und Irrationalitaet. (Uebrigend eine schoene Uebungsaufgabe) Mir faellt gerade auf. Die Sehne hast du schon berechnet. In der menman DZGL. Und das Sechseck und die dichteste Kugelpackung ergibt dann den Anschluss an die Physik, denn diese verkoerpern Optimierungsprinzipien. Aber das bringt ausser fuer einem selbst meist wenig, da die wenigsten Physiker in der Form einen Zugang zur Natur haben. Kopernikus war eine der genialsten Ausnahmen. Einen noch tieferen Einblueck wuerde ich mir davon versprechen, wenn man die Frac Regel (Falls frac(x)=frax(1/x) dann ist x irrational) direkt geschickt anwendet. D.h. die Eigenschaften der gleichen Dezimalstellen z.B. auf einen fundamentalen anwenden. Zuvor etwas ueben und Erfahrund damit sammeln. Dann koennte man diesen in einer anderen Sichtweise verstehen. Das wuerde zu Reihensummen fuehren. Die Dezimalstellen waeren die Koeffizienten der Reihe. Davon koennte ich mir aus dem hohlen Bauch heraus sogar etwas versprechen. Voellig Neu ist so etwas nicht aber halt im Ramanuj Stil und daher wenig gebrauchlich. Wie du siehst geht einem mit der Mathematik nie das Spielzeug aus. :-) Die Zusammenhaenge bei deinem konkreten Beispiel sehe ich leider noch nicht so ganz genau. Kannst du die Steigung mal als konkrete Gleichung der anderen Variablen angeben ? Mit v=0.2 meinst du sicherlich v=0.2*c0. Man koennte c0 auch praktischeweise zu 1 normieren. Kannst du das Beispiel mit dem goldenen Schnit mal mit Grafik und mathematischer Variablenbezeichnung kurz durchrechnen ? Dann liefere ich auch die Exp(1) Landkarte nach. Ich wollte eigentlich fuer diese zuerst einige Vorhersagen erstellen. Nicht ganz einfach weil der Kettenbruch nichtregulaer ist. Aber aufgrund gewisser Vorkomnisse beschaeftige ich mich momentan lieber mit der italienischen Sprache anstatt Mathematik. Von Physik ganz zu schweigen. Gruesse Ge?ndert von richy (16.03.12 um 11:09 Uhr)
|
 |
| Lesezeichen |
|
|
Linear-Darstellung
