Quanten.de Diskussionsforum  

Zurück   Quanten.de Diskussionsforum > Plauderecke

Hinweise

Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander!

Antwort
 
Themen-Optionen Ansicht
  #91  
Alt 04.04.12, 23:08
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Wie Richy zu seiner Fields Medallie kam
*****************************

Ok, bilden wir einfach die Umkehrfunktion von
x(t)=1/2*(1-cos(2^(t)*arccos(1-2*x0)));
...
1-2*x(t)=cos(2^t*arccos(1-2*x0));
arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi=2^t*arccos(1-2*x0)
cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi) )=(1-2*x0)
...
1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi)))=x0
Die Variablen vertauscht man nun ebenfalls :
x(t)=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+n*2*Pi)))

Dem spendiere ich eine Maple Darstellung, denn das wird heiss ! :-)



Die Fields of gold Medallie liegt schon in greifbarer Naehe :-)
Und ich werde im Gegensatz zu GRIGORI PERELMAN die Medallie natuerlich annehmen
Wie Perelman interessiert mich das Blech nicht, aber die 1000 000$

Rein formal sehen wir zunaechst, dass die Rueckwaertsiterierte formal fast voellig gleich ist wie die Vorwaertsiterierte. Lediglich der Ausdruck 2^(t) geht ueber in 2^(-t) und es kommen die Mehrdeutigkeiten in der Form n*2*Pi dazu.

Betrachten wir zunaechst den Fall n=0, x0=0.1



Naja wir sehen, dass fuer negative Zeiten die Funktion den Verlauf der Vorwaertsiterierten annimmt. @M.S. Richy hat also hier keinen Fluechtigkeitsfehler begannen he he.

Ansonsten strebt unsere Funktion recht langweilig fuer limit t->infinity gegen 0. Die Medallienkommission wird uns widerum nicht abkaufen, dass dies eine chaotische Funktion darstellen soll. Jetzt ziehen wir aber den Joker aus der Tasche :
"Meine Herren. Die DGL (die ich noch kurz herleiten muss) trifft keinerlei Aussage darueber, dass lediglich der Hauptwert der arccos() zu nehmen ist. Dies waere ein Anfaengerfehler. Es sind stets alle Loesungen zu betrachten !"
Nun gut. Berachten wir die ersten drei Nebenwerte :

> x_0(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+0*2*Pi))));
> x_1(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+1*2*Pi))));
> x_2(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+2*2*Pi))));
> x_3(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+3*2*Pi))));
> x_4(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+4*2*Pi))));



Auch dieses Ergebnis ist fuer mich ueberraschend und verblueffend. Der Hauptwert n=0 ist ein Spezialfall. Ansonsten schneidet die exponentielle Frequenzdaempfung anscheinend genau n Maxima aus der Kosinusfunktion.
Unabhaengig vom Startwert. Warum das denn ? Auf welchem mathematischen Zusammenhang basiert diese Phaenomen ?
Erfuellt nur n=0 den Anfangswert ? Nein natuerlich nicht :



Die Medallienkommission wird nun fragen :
"Welchen Nebenwert Wert sollen wir konkret betrachten ?"

richy : "Das steht ihnen voellig frei"

Die Medallienkommission wird nun argumentieren :

"Mein guter Herr, sie sehen doch, dass ein n-ter Nebenwert nur n Maxima der Kosinusfunktion widergeben kann. Zugegeben fuer hohe Werte von n koennen sie ein sehr grosses Zeitintervall uebersteichen, aber dann wird ihre angebliche chaotische Funktion monoton fallend gegen Null streben."

richy : " Zugegeben, das ist zutreffend. Aber es stehen beliebig viele Nebenwerte mit beliebig hohen n zur Verfuegung. Wir koennten trivialerweise nur Nebenwerte n-m mit limit n->infinity betrachten. Oder wir schliessen einfach jene Nebenwerte aus, die nach t_n ihre n Maxima erreicht haben"

Einen Informationsverlust sollte uebrigends bereits nach infinitessimal kleiner Zeit dt gegenueber t0 auftreten. D
Und eines steht auch schon fest. Dafuer gibt es wohl keine Fields Medallie :-)

Gruesse

Geändert von richy (30.05.12 um 18:44 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #92  
Alt 10.04.12, 07:58
Benutzerbild von mermanview
mermanview mermanview ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 05.09.2011
Beiträge: 271
Standard AW: Math Verhulst 1989

Moin,

uff, back from the Family_Front

die vergangenen zwei Wochen haben nicht viel Mathematisches ergeben,
bloß ein paar kleine interessante Veranschaulichungen und eine kleine Weisheit:

In folgendem Bild sieht man, wie die Zahl 2 und die Zahl Phi
-jeweils als Steigung (Quotienten)- miteinander verknüpft sind.




Wie man sieht ist mein sogenannter x-Faktor (1-a)*x = b = (1+a)/x, nichts anderes ist als die Steigung der "GegenSchräge".




Und hier eine Weisheit die sich in Symmetrien und Verwandtschaften im Einheitskreis widerspiegelt:

Ein Drittel ist stets die Hälfte vom Rest !


1/3 = Rest * 1/2


Das klingt banal, erklärt aber das häufige Vorkommen von irrationalen Zahlen
wie W(2) und ihren Ablegern (2*W(2), W(2)/2, W(2)+/-1...) als Faktor in Dreiecken.



So jetzt zur Fields-Medaille: ....

... Moment hier klappt mal wieder nichts..

tbc....

Ich berichte, was inhaltlich bei mir angekommen ist.

(Im Sinne der "stillen Post" ist der Weg "Betragsschreiber -> Beitragsleser" auch infinitesimal klein,
dennoch ist die Informationsentwicklung innerhalb dieses einen Schrittes u.U. unverhältnismäßig, äh, unvorhersagbar,
... und dennoch stellt 1 Leser eine infltionäre Verfielfältigung zu L0 dar,
... diese wiederum macht aber bloß einen sehr kleinen Anteil einer Medallie aus ;- )

Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte es die Fieldsmedallie für die Widerlegung des Postulates der 2. Ordnung für DGLs chaotischer Systeme geben !?

Die Widerlegung scheint noch nicht gelungen, aber zumindest erkennt man, laut deinen Aussagen, dass deine arccos-Funktion für Rückwärtsiterationen -als mathematische Darstellung für Entwicklungsverzeigungen bei umgekehrtem Zeitpfeil- schon im kleinsten Schritt chaotische Werte liefert.

Ähem, hoffe alles richtig verstanden zu haben

vorerst Gruß Merman

PS: apropos Diktatur: Mir hat mal ein Ungebildeter in inbrünstigem Ton des Wissenden erklärt:
"Diktatur, ... das ist doch, wenn alle dafür sind", .. ich konnte nur anerkennend nicken : )

Geändert von mermanview (16.04.12 um 12:53 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #93  
Alt 27.04.12, 19:00
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Hi merman
Danke fuer die Grafik.
Zitat:
Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte es die Fieldsmedallie für die Widerlegung des Postulates der 2. Ordnung für DGLs chaotischer Systeme geben !?
yepp aber das stelle ich mal zurueck. Ich muss erstmal einen Feldversuch durchfuehren was ein Oxycodon Junkie noch mathematisch zustande bringt. Spiele mal den eigenen Schueler und klar ist, dass im diskreten Fall in jedem Iterationsschritt die Mehrdeutigkeit auftritt und damit ein moeglicher Informationsverlust der die Umkehrung ohne zusaetzliche Information (Vorzeichen) verhindert. Tritt so etwas auch im kontinuierlichen Fall auf, so wird das etwas komplizierter und unerwarteter. Der Informationsverlust tritt bereits bei infinitesimal beliebig kleinen Werten auf. Wie kann das funktionieren ? Die Umkehrfunktion muss unendlich mehrdeutig sein. Richtig richy ?
Ich muss das selbst nochmals durchlesen. Es gab da etwas spannendes. Welche Nebenwertloesungen "waehlt" denn die Iteration tatsaechlich ? Das wolte ich zunaechst mal angehen. sollte doch wie der Info Code experimentell bestimmbar sein.

Zitat:
"Mein guter Herr, sie sehen doch, dass ein n-ter Nebenwert nur n Maxima der Kosinusfunktion widergeben kann. Zugegeben fuer hohe Werte von n koennen sie ein sehr grosses Zeitintervall uebersteichen, aber dann wird ihre angebliche chaotische Funktion monoton fallend gegen Null streben."

richy : " Zugegeben, das ist zutreffend. Aber es stehen beliebig viele Nebenwerte mit beliebig hohen n zur Verfuegung. Wir koennten trivialerweise nur Nebenwerte n-m mit limit n->infinity betrachten. Oder wir schliessen einfach jene Nebenwerte aus, die nach t_n ihre n Maxima erreicht haben"
Gruesse

Geändert von richy (27.04.12 um 19:07 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #94  
Alt 27.04.12, 20:39
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Ok, ich lasse es mal ganz langsam angehen (Bin mit Laptop unterwegs). Das Thema Informationsverlust habe ich bereits auf meiner HP dokumentiert.
http://home.arcor.de/richardon/richy...nfoverlust.htm
Simuliere ich erstmal r=4 also chaotische Vorwaertsiteration und Rueckwaertsiteration mit richtigem Vorzeichen :
Das war einfach dieser Quellcode :

Zitat:

restart;
N:=100; # Laenge Infostring
N_s:=100; # Anzahl Anfangswerte 0..1
r:=1+sqrt(9);
ds:=1/N_s; s:=0;
for j from 1 to N_s do
#fuer alle Anfangswerte
++++++++++++++++++

k:=0; s:=ds*j;
sp[j]:=s; # Anfangswert von j

for i from 1 to N do
#Fuer alle N Iterationen
+++++++++++++++++++

s_alt:=s;
# VORWAERTSITERATION
*******************
s:=evalf(r*s*(1-s));
# SOFORTIGE BERCHNUNG RUECKITERATIONEN S0 und S1
*******************************************
s0:=evalf(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
s1:=evalf(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));

Speichern fuer jeden Anfangswert und jede Iterationsnummer
*********************************************
(s0-s_alt)^2 < (s1-s_alt)^2 then inf[j][k]:=0;
else inf[j][k]:=1; fi; k:=k+1;
od:
od:
with(plots):
p := seq(seq(plots[polygonplot]([[i, j], [i+1, j], [i+1, j+1], [i, j+1]], color = COLOR(RGB, inf[i][j],0,0)), i = 1 .. N_s-1), j = 1 .. N-1):
plots[display]([p]);
Ok und jetzt will ich wissen wie sich die Rueckwaerstiterierte verhaelt. Konkret welcher Loesungszweig sich ergibt.

Geändert von richy (27.04.12 um 20:42 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #95  
Alt 29.04.12, 03:08
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Im Infocode-Quellcode wird die logistische Gleichung iterativ berechnet s(k+1)=r*s(k)*(1-s(k)) sowie die beiden inversen Iterationen dazu :
s0:=evalf(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
s1:=evalf(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));

Von Interesse wird die mehrdeutige Loesung der Umkehrfunktion sein :
> s_0(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+0*2*Pi))));
> s_1(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+1*2*Pi))));
> s_2(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+2*2*Pi))));
> s_3(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+3*2*Pi))));
> s_4(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+4*2*Pi))));


geht gleich weiter ...
Eine Verkettung von Iterationen geht analog ueber in jeweils einen Nebenwert. Anders ausgedrueckt : Jeder Funktionswert entspricht auch einem Nebenwert (Oder mehrere Gleiche).

Einfachster Fall ; Startwert s0 fuer t=0:

restart;t:=0;n:=1 (2,3,4...);

> s_n:=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+n*2*Pi))));

s_n := s0

Geändert von richy (10.05.12 um 10:05 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #96  
Alt 14.05.12, 23:51
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Verhulst r=4 diskret :
- Eindeutige quadratische Vorwaertsiteration.
- Zweideutige Rueckwaertsiteration
- Keine Periodizitaet des Vorzeichens => Informationsverlust waechst mit jeder Iteration

Verhulst r=4 kontinuierlich :
- Eindeutige Funktion.


- Mehrdeutige Umkehrfunktion
- Bereits ein infinitesimales t ist mehrdeutig => Die Umkehrfunktion ist unendlich mehrdeutig. Es koennen jedoch verschiedene mehredeutige Zweige zu gleichen Loesungen fuehren.

Welche Loesung "richtig" ist laesst sich aus der Vorwaertsfunktion ermitteln. Sowohl diskret als auch nichtdiskret. Wir befinden uns im chaotischen stark nichtlinearen Bereich. Daher muss jeder Wert moeglichst genau erfasst werden.

Einfaches Experiment :
Erfassen von 10 Iterationswerten. Willkuerlicher Startwert s0=0.2 :

> restart;
> y[0]:=0.2;
> for i from 1 to 10 do
> y[i]:=y[i-1]*4*(1-y[i-1]);
> od;

y[1] := .64
y[2] := .9216
y[3] := .28901376
y[4] := .8219392260
y[5] := .5854205392
y[6] := .9708133260
y[7] := .1133392482
y[8] := .4019738520
y[9] := .9615634972
y[10] := .1478365522

Welche Umkehrfunktion mit t=1 bildet den Wert 0.64 auf den Wert 0.2 ab ?
k:=1; n:=?
y_inf:=(1/2*(1-cos(2^(-1)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));

n=0,2,4,6,8,..... loesen die Aufgabe.



(hier ueber 10 Zeitschritte



Im naechsten einzelnen Iterationsschritt ergibt sich eine andere Wahl :
Welche Umkehrfunktion mit t=1 bildet den Wert 0.9216 auf den Wert 0.64 ab ?
k:=1; n:=?
y_inf:=(1/2*(1-cos(2^(-1)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));

n=1,3,5,7,9 ... loesen die Aufgabe.
Ob geradzahlige oder ungeradzahligen Indizes die Aufgabe loesen sollte zufaellig sein (graphischen Nachweis nachliefern) .
Die diskrete und nichtdiskrete Version unterscheiden sich fuer jeweils einen Iterationsschritt (t=1) vom Prinzip her nicht. Fuer beliebige nichtganzzahlige t sollte sich das Verhalten drastisch aendern.

Weitere ganzahlige Beispiele :Zwei verkettete Iterationen t=2 fuer verschiedene Startwerte :
'************************************************* *******************

yinf[n]:=(1/2*(1-cos(2^(-2)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
Welche Umkehrfunktion mit t=2 bildet den Wert 0.9216 auf den Wert 0.2 ab ?
Numerisch ermittelt : n=3,7,11....
Welche Umkehrfunktion mit t=2 bildet den Wert 0.28901376 auf den Wert 0.64 ab ?
Numerisch ermittelt : n=1,5,9....
... Fuer den jeweils kleinsten Index erhaelt man die chaotische Reihe :
3,1,2,3,1,1,2,0,3.....
****************
Die vier zufaelligen Vorzeichenkombinationen zweier verketteter Iterationen (plus/plus, plus,minus, minus/plus, minus/minus) fuehren in der kontinuierlichen Version zu vier zufaelligen Umkehrfunktionen n=0,1,2,3
y_invers[n]:=(1/2*(1-cos(2^(-2)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));

Geändert von richy (18.05.12 um 18:24 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #97  
Alt 19.05.12, 22:06
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Einfacher Fall : (Es wird noch weitaus spannender)
Umkehrfunktion der analytischen Loesung (r=4) fuer diskrete ganzzahlige Abtastwerte.
************************************************** *************
Beispiel :
Zehn Iterationen mit dem Startwert 0.2.
y[0] := .2
y[1] := .64
y[2] := .9216
y[3] := .28901376
y[4] := .8219392261228
y[5] := .5854205387340
y[6] := .9708133262496
y[7] := .1133392473032
y[8] := .4019738492956
y[9] := .9615634951124

Umindizierung fuert auf die Umkehrfunktion :

yi[0] := .9615634951124
yi[1] := .4019738492956
yi[2] := .1133392473032
yi[3] := .9708133262496
...
yi[9] := .2

Die Reihe soll durch die Umkehrfunktion der analytischen Loesung erzeugt werden :
yi[k]:=(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*y[0])+n*2*Pi))));
k gibt den Zeitschritt an
n gibt den Loesungszweig an. Fuer den k ten Iterationsschritt wird die Funktion n=2^k mehrdeutig sein.
Bsp:
Ist die Funktion 2 deutig so kann gelten n=0 (2,4,6..) oder n=1 (3,5,7..)
Ist die Funktion 4 deutig so kann gelten n=0 oder n=1 oder n=2 oder n=3.
Der Index n stellt eine fehlende Information dar. Der Informationsverlust steigt wie in der rein diskreten Anschauung ueber das Vorzeichen mit jeder Iteration. Sehr schnell wird die Funktion hochgradig mehrdeutig sein. (Im kontinuierlichen Fall wird der Sachverhalt noch erstaunlicher und komplexer sein)

Beispielcode fuer manuelle Suchen von n :

> for k from 0 to 4 do
> ziel:=yi[k];
> for n from 0 to 8 do
> test:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi))));
> printf(`%g `,test);
> od; od;

Ausdruck :
Zitat:
ziel := .9615634951124
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563

ziel := .4019738492956
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973

ziel := .1133392473032
.113339 .817007 .886660 .182992 .113339 .817007 .886660 .182992 .113339

ziel := .9708133262496
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057 .029186

ziel := .5854205387340
.007350 .077540 .212045 .390389 .585420 .767447 .908757 .987837 .992649
Einfache automatisierte Suche fuer den Index n :
restart;

Digits:=13;
> M:=7;
> y[0]:=0.2;
> for i from 1 to M-1 do
> y[i]:=y[i-1]*4*(1-y[i-1]);
> od:
> for i from 0 to M-1 do
> yi[i]:=y[M-i-1];
> od;
>
> for k from 0 to M-1 do
> ziel:=yi[k];
> for n from 0 to 2^k do
> test:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi))));
> if ceil(1000000*ziel)=ceil(1000000*test) or
> floor(1000000*ziel)=floor(1000000*test)
> then
> printf(`n=%g test=%1.13g`,n,test);
> index[k]:=n;
> n:=2^k;
> fi;
> od; od;

Das bereits etwas verblueffende Ergebnis :

Zitat:
ziel := .9615634951124
n=0 test=.9615634951125

ziel := .4019738492956
n=0 test=.4019738492958

ziel := .1133392473032
n=0 test=.1133392473032

ziel := .9708133262496
n=4 test=.9708133262496

ziel := .5854205387340
n=4 test=.5854205387340

ziel := .8219392261228
n=20 test=.8219392261227

ziel := .28901376
n=52 test=.2890137600000

ziel := .9216
n=52 test=.9216000000000

ziel := .64
n=180 test=.6399999999998

ziel := .2
n=436 test=.2000000000000
Indizes des Beispiels :
0,0,0,4,4,20,52,52,180,436
1,2,4,8,16... fach

Der Wert 2^k waechst exponentiell. (2^9=512). Bereits fuer 20 Iterationen wird die Indexsuche recht zeitaufwaendig. Hier die Indizes fuer 18 Iterationen :
0 0 0 0 0 0 0 64 64 64 576 1600 3648 3648 11840 11840 11840 53695

Geändert von richy (22.05.12 um 15:33 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #98  
Alt 20.05.12, 18:31
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Die zuletzt vorgestellte Losung liefert den richtigen Wert fuer x0 sowie fuer einen Wert x(k) mit k=0.1.2.3.4.....
Eine willkuerliche (jeweils kleinstes n) stueckweise Angabe der vollstaendigen Loesung ergibt keine stetige Funktion :



> test:=piecewise(t>0 and t<1,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[0]*2*Pi)))),
> t>1 and t<2,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[1]*2*Pi)))),
> t>2 and t<3,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[2]*2*Pi)))),
> t>3 and t<4,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[3]*2*Pi)))),
> t>4 and t<5,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[4]*2*Pi)))),
> t>5 and t<6,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[5]*2*Pi)))),
> t>6 and t<7,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[6]*2*Pi)))),
> t>7 and t<8,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[7]*2*Pi)))),
> t>8 and t<9,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[8]*2*Pi)))),
> t>9 and t<10,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[9]*2*Pi))))
> );
> plot(test,t=0..10);

Geändert von richy (21.05.12 um 19:42 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #99  
Alt 21.05.12, 22:29
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Die Kosinusfunktion reicht von minus unendlich bis unendlich und weist in diesem Intervall unendlich viele Perioden auf. Damit existieren unendlich viele ganzzahlige Werte n der Umkehrfunktion arccos(x+n*2*Pi), die identische Werte liefern. Die arccos-Funktion ist "unendlich mehrdeutig".

Die Umkehrfunktion der r=4 Verhulst Gleichung lautet :
1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)));
welche Periodizitaet weist diese Funktion fuer ein festes t und variables n auf ?
Annahme :
Die Funktion ist 2^k periodisch.
Im Moment kann ich dies leider auch mit Maple nicht begruenden.
Gl1)
solve(cos(2^(-k)*(arccos(1-2*0.2)+n*2*Pi))=cos(2^(-k)*(arccos(1-2*0.2)+m*2*Pi)),m);
Die Annahme folgt aus dem bisherigen Beispiel und graphischer Auswertung obiger Gl1) fuer einige k.:
Beispiel :
k=0
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563
k=1
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973
k=2
.113339 .817007 .886660 .182992 .113339 .817007 .886660 .182992
.113339 .817007 .886660 .182992 .113339 .817007 .886660 .182992 .113339
k=3
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057 .029186
k=4
.007350 .077540 .212045 .390389 .585420 .767447 .908757 .987837
.992649 .922459 .787954 .609610 .414579 .232552 .091242 .012162 .007350

Den jeweils kleinsten Index n als Losung zu verwenden stellt eine willkuerliche Wahl dar. Die Grafik der unstetigen Loesung zeigt, dass diese nicht optimal ist. In jedem Abschnitt k-1...k stellt nicht nur n0 sondern jedes n0+m*2^k eine Loesung dar. m element N.
Die Grafik der Vorwaertsiterierten zeigt, dass die inverse Iteration mit hoher Frequenz, grossem n beginnen muss. Abhaengig von der Gesamtlaenge der Funktion :

Ausschnitt


Jeweils kleinster Index :

n=0 test=.9708133260000
n=1 test=.5854205391000
n=1 test=.8219392260000
n=1 test=.2890137601000
n=9 test=.9216000000000
n=9 test=.6400000000000
n=9 test=.2000000000000

Geändert von richy (21.05.12 um 23:05 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #100  
Alt 22.05.12, 13:44
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: Math Verhulst 1989

Zufall oder herleitbare notwendige Systematik ?
***********************************
Fuer die sieben Iterationswerte der Grafik des letzten Beitrags ergeben sich folgende kleinste Indizes n :

k=0, n=0 y_i =.9708133260000; 0 periodisch
k=1, n=1 y_i =.5854205391000; 2 periodisch
k=2, n=1 y_i =.8219392260000; 4 periodisch
k=3, n=1 y_i =.2890137601000; 8 periodisch
k=4, n=9 y_i =.9216000000000; 16 periodisch
k=5, n=9 y_i =.6400000000000; 32 periodisch
k=6, n=9 y_i =.2000000000000; 64 periodisch

Ein TestPlot der Funktion zeigt, dass im Bereich k=0 bis k=1 der Funktionszweig n=9, statt n=0, n=1, die Funktion offenbar an allen Stellen richtig wiedergibt :


Die Vorwaertsiteration zum Vergleich :


Die Uebereinstimmung laesst sich auch algebraisch begruenden :

k=0. (n_min=0)
Fuer jedes n erhaelt man die gleiche Loesung. Damit sowohl fuer n=0 als auch fuer n=9.

k=1 (n_min=1)
Jeder 2 te Wert ist gleich : n_min+2*m. m element N. Gleiche Loesungen erhaelt man fuer die Werte n=1,3,5,7,9,11 ... Neun ist in der Liste enthalten.

k=2 (n_min=1)
Jeder 4 te Wert ist gleich : n_min+4*m. m element N. Gleiche Loesungen erhaelt man fuer die Werte n=1,5,9,13 ... Neun ist in der Liste enthalten.

k=3 (n_min=1)
9=n_min+m*2^k, 9=1+1*8

k=4,5,6 (n_min=9)

Die inverse Loesungsfunktion des Beispiel ist damit nicht nur abschnittsweise angebbar, sondern durch einen einzigen Loesungszweig n=9 :

Plot der Funktion 1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*y0)+9*2*Pi)));


Die Vorwaertsiteration zum Vergleich :
Mit Zitat antworten
Antwort

Lesezeichen

Themen-Optionen
Ansicht

Forumregeln
Es ist Ihnen nicht erlaubt, neue Themen zu verfassen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, auf Beiträge zu antworten.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Anhänge hochzuladen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Ihre Beiträge zu bearbeiten.

BB-Code ist an.
Smileys sind an.
[IMG] Code ist an.
HTML-Code ist aus.

Gehe zu


Alle Zeitangaben in WEZ +1. Es ist jetzt 13:56 Uhr.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8 (Deutsch)
Copyright ©2000 - 2020, vBulletin Solutions, Inc.
ScienceUp - Dr. Günter Sturm