Math Verhulst 1989

[richy]

Zusammenfassung einiger Saetze :
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Wie bereits erwaehnt ueberraschen auch mich momentan einige mathematischen Zusammenhaenge. Ich kann diese zwar nicht erklaeren, aber dennoch lassen sich daraus Vorhersagen erstellen, die man dann numerisch ueberpruefen kann.

Einige empirisch ermittelte Eigenschaften der analytischen Verhulst Umkehrfunktion :
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A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));

1) In Gleichung A gibt der Wert von n an wieviele Maxima die Funktion im Intervall t=( 0 .. unendlich) enthaelt.
2) Die Kosinusfunktion A) ist frequenzmoduliert. Im Gegensatz zu einer Amplitudenmodulation weisen die Maxima gleiche Werte (y=1) auf.

Anwendung :
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Folgendes numerisches Versuchsergebnis (k=0..4) zeigt, dass der Parameter n einer Loesung (in R) abhaengig ist vom Anfangswert.


=>
Der Anfangswert yo1 bestimmt mit die Anzahl Maxima fuer ein festes Zeitintervall.
Numerische Ueberpruefung :
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Man sieht, dass die Funktionen tatsaechlich n Maxima mit dem Wert 1 aufweisen. Man sollte sich nochmals verdeutlichen, dass der Ausdruck A lediglich eine Kosinusfunktion darstellt. Der Arccos-Term stellt ebenso wie der n-Term einen konstanten Ausdruck dar. Die Besonderheit liegt darin, dass die Zeit t nicht linear sondern ueber 2^(-t) in den Kosinus eingeht. Man koennte aus den Schaubildern den Eindruck gewinnen, dass z.B fuer n =3 nur drei Maxima im Intervall t>0 auftreten, weil die restlichen Maxima (t>6) in der Amplitude ausgedaempft werden. Dies waere ein Trugschluss.



Richtig ist, dass aufgrund der sinkenden Frequenz kein Maxima mehr erreicht wird. Dies mathematisch nachzuweisen waere wohl nicht allzu schwierig. So strebt 2^(-t) gegen Null und der Kosinus von Null gegen eins. Man muss noch zeigen ab welchem Wert die Funktion A monoton fallend ist. (Weitere Eigenschaften folgen)