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  #1  
Alt 07.06.07, 21:27
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
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Standard Math - Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi
Zu dem Thema Zufallszahlen habe ich eine mathematische Fragestellung.
Besser gesagt ein Artefakt auf den ich vor 20 Jahren im Rahmen der Chaostheorie gestossen bin und mir bis heute nicht recht erklaeren kann. Koennte sogar einen Bezug zur Quantenmechanik haben.
Das mathmatische Beiwerk in dessen Rahmen das Phaenomen auftritt ist etwas
komplizierter.
Vielleicht kann mir einer der Mathematiker hier weiterhelfen.

Mathematisches Beiwerk aus der sich das Artefakt ergibt :
*******************************************
Ausgangspunkt war hierbei die logistische Gleichung.
Insbesonders die vekettete Abbildung dieser. Man kann zeigen, dass man die
Nullstellen dieser Polynome erhaelt, wenn man die Iteration rueckwaerts durchlaeuft.

Nicht notwendige Details dazu hier :
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/lsg1.htm

Die inverse Funktion der logistischen Gleichung enthaelt eine Wurzel.
Damit ergeben sich pro Iterationsschritt zwei Loesungswerte.
Bei n Schritten somit ein Binaerbaum.
Die Werte koennen auch komplexwertig werden, so dass die Iteration
schlieslich die Nullstellen in der komplexenen Ebene anzeigt.

Nicht notwendige Details dazu hier :
http://home.arcor.de/richardon/richy...ic/nsalgo1.htm
http://home.arcor.de/richardon/richy...ic/nsalgo2.htm

Impelmentiert man das Programm und durchlaeuft den Binaerbaum vollstaendig erhalt man eine Grafik wie diese hier: Das sind die komplexen Nullstellen der verketteten Polynome der
einer logistischen Abbildung.
http://home.arcor.de/richardon/richy.../pole/pole.htm
In jedem Iterationsschritt verdoppelt sich der Grad des Polynoms, der Nullstellen.

Das Phaenomen:
************
Das Durchlaufen des Binaerbaumes ist muhesam und zeitintensiv.
Waehlt man deshalb z.B nur den Pfad durch den Binaerbaum z-B- mit nur positivem oder negativem Vorzeichen der Wurze erhaelt man aber nicht die komplette Grafik der Nullstellen sondern nur kleine Teilgebiete davon.
Auch wenn ich das Vorzeichen periodisch wechsle +-+-+-+-+-
oder eine andere Sequenz waehle erhalte ich nicht das Bild wie beim kompletten Binaerbaum.
Spasseshalber hatte ich das Vorzeichen mal per Zufallsgenerator
ausgewaehlt. Dann ergibt sich bei gleicher Anzahl Punkte das komplette Bild !
Ein sehr viel schnellerer Algorithmus.
Ich kann mir schlecht erkaeren warum.

Nochmal etwas allgemeiner:
Ich durchlaufe komplett alle Aeste eines Binaerbaums.
Daraus ergibt sich ein Bild A
Durchlaufe ich einen determinierten Pfad ergibt sich auch bei gleicher Anzahl Punkte nur ein geringer Teil des Bildes A
Waehle ich nun einen Zufallspfad durch den Binaerbaum ergibt sich das selbe Bild wie wenn ich den Binaerbaum komplett durchlaufe.

Kann mir jemand eine Erklaerung liefern ?
Hat es mit der logistischen Gleichung zu tun odergibt es eine allgemeinere Erklaerung ?
Viele Gruesse

Geändert von richy (07.06.07 um 21:38 Uhr)
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  #2  
Alt 09.06.07, 03:43
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hatte gehofft Hamilton koennte mir weiterhelfen :-(
Ok ich werde die Fragestelllung zu einem Spiel umbauen.
Bis dahin
ciao
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  #3  
Alt 09.06.07, 12:22
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi, ich habs erst jetzt gelesen, bin zum ersten mal in der Plauderecke..

Also, hab leider keine Zeit mich wirklich damit intensiv zu beschäftigen. Aber ich habe die Vermutung, dass wenn du dein Vorzeichen periodisch wechselst, eine unbeabsichtigte Synchronisation mit deinem Nullstellenalgorithmus auftritt, der dafür sorgt, dass die Punkte immer in den selben Bereichen liegen.
Du bekommst doch immer andere Bilder, wenn du +-+-+-, oder ++--++--, etc. vorgibst, oder?
Bei zufälligen Vorzeichen kann das natürlich nicht passieren, da bist du in jedem Bildbereich irgendwann mal drin.
Aber das ist jetzt nur eine Vermutung, ohne dass ich den Algorithmus, den Du benutzt wirklich verstanden habe.
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman
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  #4  
Alt 09.06.07, 19:44
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

doppelt ......

Geändert von richy (09.06.07 um 20:19 Uhr)
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  #5  
Alt 09.06.07, 19:54
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi Hamilton

Zum Algo in Kurzfassung :

"Vorwaertsiteration"
**************
Die logistische Gleichung lautet
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))=p(y(k))
Fasse ich z.B. zwei Iterationen Zusammen, so entspricht dies einer Verkettung der Iterationsfunktion.
y(k+2)=p(p(y(k)))
Fuer n Iterationen erhalte ich ein Polynom p_n(y), 2^n ter Ordnung
y(k+n)=p_n(y(k))) mit 2^n komplexwertigen Nullstellen.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/ana6.htm
Beispiel (mit schlechter Bezeichnung)


Die Verkettung der Iterationsfunktion ist eine gaengige Methode zur Untersuchung von Differenzengleichungen. Dabei weisen die Polynome p_n(y)
charakteristische (teils verblueffende) Eigenschaften auf.
Dazu gehoert auch:

"Rueckwaertsiteration"
****************
Die Schnittpunkte der Polynome mit y=c erhaelt man indem man vom Startwert y0=c Die Iteration Rueckwaerts laufen laesst. (Bin mir nicht sicher,ob c irgedwelchen Bedingungen genuegen muss. Denn seltsamerweise ergibt jeder Startwert ein aehnliches Bild,was aber
durchaus erklaerbar waere. Komplexe Nullstellen sin ja keine echten Schnittpunkte)

Die Rueckwaertsiteration liefert also jeweis zwei Werte (+-)
In n Iterationen die 2^n Nullstellen des Polynoms p_n(y).

Kurzzusammenfassung
****************
Die "Vorwaertsiteration" nach n Schritten kann durch ein verkettetes Polynom
p_n(y) der Ordnung 2^n beschrieben werden .
Dessen 2^n Nullstellen liefert eine "Rueckwaertsiteration".
Die Nullstellen sind teilweise komplex (Ausnahme a=2 und 4 ?) und bilden eine Juliamenge.



RANDBEMERKUNG
*************
BTW: Im Fall a=2 ist das Bild ein Punkt. Es gibt nur die 2^n fache Nullstelle y=1/2.
Das p_n Polynom strebt sehr schnell gegen eine Rechteckfunktion, die die Gerade y=1/2
immer in dem Punkt (1/2,1/2) dem Attraktor tangiert.


Fuer den Fall laesst sich die Verhulst Gleichung dann natuerlich analytisch loesen :-)



ist die Loesung der Verhulst Gleichung x(n+1)=2*x(n)*(1-x(n))

Zitat:
Du bekommst doch immer andere Bilder, wenn du +-+-+-, oder ++--++--, etc. vorgibst, oder?
Ich meine ja. (Ausserfuer a=2 natuerlich). Bischen kniffelig.
Irgendwie aehnlich zum Doppeltspaltversuch, Scharmittel=Zeitmittel
Wenn ich nach 20 Iterationen alle 2^20 (etwa 1 Million) Nullstellen betrachte sieht
das Bild genauso aus wie wenn ich eine Million Iterationen verwende aber bei jeder
nur eine Nullstelle hinzugefuegt wird. Aber eben nur wenn das Vorzeichen zufaellig ist.

Das komplette Bild ist nicht unscharf. Es ist genau determiniert, denn es sind ja die Nullstellen eines Polynoms. Das Bild ist aber auch fraktal.
Deine Frage war gut, denn jetzt kann ich es anders ausdruecken.

Durchlaufe ich nicht den kompletten Binaerbaum, dann erhalte ich nur einen Teil der Nullstellen.

Ist das Vorzeichen, dass ich dabei waehle nicht zufaellig. dann zeigt sich graphisch nur ein Teilausschnitt des Bildes.
Wie geht das ? Dieser Teilausschnit wird feiner aufgeloest. Der Ausschnitt geht in die fraktale Tiefe.

Ist das Vorzeichen zufaellig werden alle Bildteile in der komplexen Ebene dargestellt, dafuer in grober Aufloesung.

Vergleich
*******
Du hast 100 Pinselstriche frei um ein Bild abzumalen.
Entweder du zechnest damit das ganze Bild grob nach oder du zeichnest nur einen Auschnitt, dafuer detaillierter.

Seltsam, dass dies hier der "Grad der Zufaelligkeit" enscheidet.
Zitat:
Bei zufälligen Vorzeichen kann das natürlich nicht passieren, da bist du in jedem Bildbereich irgendwann mal drin.
Ganz so einfach kann man es nicht begruenden denke ich. Du beschreibst
bereits die Konsequenz.
Es ist eben die Frage. Warum wirkt sich die Wahl des Vorzeichens dieser Gleichung
im jeweiligen Iterationsschritt

in der Form auf den Auschnitt des Bildes aus, wenn ich nicht alle Faelle betrachte ?
Das Ergebnis fuer alle Faelle (Referenz) kenne ich. Dieses PRG war ja der Ausgangspunkt.
Ich gebe also keine Koordinaten sondern nur das Vorzeichen vor.

Zum Spiel:
Ich dachte dabei man gibt das Vorzeichen durch Mausklicks beim Programmablauf vor. Je "zufaelliger" diese sind, umso groesser sollte der Auschnitt sein den man erhaelt.
Nebenbei liefert diese Zufallswahl einen superschnellen Juliamengengenerator :-)

Viele Gruesse

Geändert von richy (09.06.07 um 22:42 Uhr)
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  #6  
Alt 24.07.07, 11:50
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soon soon ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hallo Richy,
mit der Rückwärtsiteration schlage ich mich auch gerade herum.

Ich versuche mal die Problematik in einer Exceltabelle zu verdeutlichen.Die Gleichung f(x) = 4x*(1-x) wird iteriert. Der Startwert z.B. 0,4 kommt in die Zelle A1. Ich iteriere runter bis zur Zelle A40, da steht dann 0,76502... .Den Wert kopiere ich in die Zelle B40. Von hier aus soll rückwärts hoch bis zur Zelle B1 iteriert werden, da soll dann wieder 0,4 stehen. f(x) = 4x*(1-x) wird in die Form x^2+px+q = 0 gebracht, damit ich die Lösungsformel für quadratische Gleichungen benutzen kann. Für jeden Rückwärtsiterationschritt gibt es jetzt zwei Möglichkeiten +Wurzel und –Wurzel. Welche richtig ist, um wieder zu 0,4 zu gelangen, kann ich in diesem Fall aus der Spalte A ablesen. Rechne ich nur mit + Wurzel so läuft die Folge gegen 0,75 , bei nur –Wurzel gegen 0. Nehme ich immer das Gegenteil zur richtigen Möglichkeit erhalte ich in Zelle B1 0,6.
Gibt es ein Kriterium für die Entscheidung ob + oder – Wurzel bei jedem Rückwärtsschritt ?

Gruss
soon
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  #7  
Alt 24.07.07, 14:52
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richy richy ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi soon
Gibt es ein Kriterium ob 1*1=1 oder -1*-1=1 ? Bleibt dir wohl nicht viel anderes uebrig als alle Loesungen zu berechnen. Die werden in der Regel komplex. Ergibt dieses Bild oben. Wenn du nicht alle Loesungen berechnest, sondern bei jeder Itearation zufaellig das Vorzeichen waehlst erhaeltst du fast das selbe Bild.
Das sind die Nullstellen z1,z2,z3 .... der Funktion (z-z1)(z-z2)(z-z2) .... die Wiederum das verkettete Polynom der Vorwaerts Iteration darstellt.
Warum rechnest du rueckwaerts ?
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  #8  
Alt 24.07.07, 20:28
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

@richy

Eine Zwischenfrage - nur am Rande (bin eben nochmals darauf gestossen, als ich deine Iterationen betrachtete):

Du hast früher (AC) gesagt, dass es einen Unterschied zwischen der logistischen Gleichung und der Verhulstgleichung gibt. Auf deiner Website bezeichnest du aber die auch von mir als logistische Gleichung angeführte Dgl. ebenfalls als Verhulstgleichung. Weshalb eigentlich?

Zumindest erkenne ich keinen formalen Unterschied zwischen deiner und meiner Notation (der Verständlichkeit wegen setze ich bei deiner Gleichung "underlines" ein):

lt. richy:
y_k+1 = a * y_k * (1 - y_ k) --> logistische Abbildung oder Verhulstgleichung

lt. zg:
p_n+1 = p_n + a*p_n(1 - p_n) = (1 + a)p_n - a*p^2_n

Wenn du mich fragst, ist das doch dasselbe. Oder habe ich ein Brett vor dem Kopf?

Gr. zg
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  #9  
Alt 25.07.07, 01:53
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Waehle ich nun einen Zufallspfad durch den Binaerbaum ergibt sich das selbe Bild wie wenn ich den Binaerbaum komplett durchlaufe.
Man könnte sich diesen Sachverhalt so erklären, dass der Zufallsgenerator nach denselben Prinzipien arbeitet, die auch der logistischen Gleichung zugrunde liegen. Möglicherweise gibt es ein erkennbares gemeinsames Muster.

Gr. zg
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  #10  
Alt 25.07.07, 19:36
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richy richy ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi Zeitgenosse
(Logistischer Gleichung und Verhulst Gleichung sind das Selbe)
Der Unterschied zwischen logistischer Gleichung und logistischer DGL ist die Diskretisierung. Wobei ausgehend von der DGL die Diskretisierung 1.Ordnung auf deine Form fuehrt.
1) p_n+1 = p_n + a*p_n(1 - p_n)
Das ist nun aber nicht die ueblicherweise als logistische Gleichung bezeichnte Differenzengleichung. Mit der Variablen p_n (Ich habe p_n eingefuehrt um zu verdeutlichen, dass dies Polynome sind) waere diese :
2) p_n+1 = a*p_n(1 - p_n)
Hier tritt ein Summand p_n auf der rechten Seite weniger auf. Deine Gleichung 1 ) verhaelt sich anders als die logistische Gleichung 2) Ob es ueberhaupt stabile Bereiche gibt muesste man mal untersuchen. Falls ja, gaebe es vom Charakter her keinen grossen Unterschied. Man spricht ueberhaupt bei solchen Gleichungen z.B. von quadratischem Charakter. Auch die Mandelbrotmenge ist von quadratischem Charakter.
Mit logistischer / Verhulst Gleichung Abbildung ist aber stets Gleichung 2) gemeint. Historisch gesehen ist sie also nicht als Diskretisierung der logistischen DGL hervorgegangen, sondern eben ueber ein diskretes Populationsmodell.
Viele Gruesse
richy

Geändert von richy (25.07.07 um 20:06 Uhr)
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