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  #11  
Alt 27.07.07, 00:08
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Kleiner Exkurs und Rekapitulation:

@richy

Irgendwie scheint mir, dass ich dich zuvor nicht richtig verstanden habe. Leider ist der zugrundegelegte Sachverhalt selbst in ansonsten guten Lehrbüchern (z.B. Heusser, "Gewöhnliche Differentialgleichungen") nicht immer eindeutig und unmissverständlich beschrieben.

So lese ich gerade in einem anderen Skript, dass die logistische Dgl. von VERHULST zur Untersuchung der Populationsdaynamik entwickelt wurde.

Diese Dgl. lautet in der allereinfachsten Form:

(d/dt) x --> y = (a - 1)x - ax^2

Daraus lässt sich dann die logistische Differenzengleichung ableiten:

x_n+1 = ax_n(1 - x_n)

Wenn ich es nun richtig verstanden habe, ist das die erforderliche Diskretisierung. Daraus lassen sich auch Iterationsvorschriften gewinnen.

Um eine logistische Funktion zu erhalten, schreibe ich folglich mit kühner Kreide:

y = a/(1 + b*e^(-k*x))

Als Graph bekomme ich dann eine Sigmoide:

sig(t) = 1/(1 + e^-t)

Damit verwandt ist übrigens die Gompertz-Funktion. Sie kann als Weiterentwicklung der logistischen Funktion angesehen werden.

Alternativ könnte ich auch schreiben (es kommt auf dasselbe hinaus):

f(x) = e^x/(1 + e^x)

Oder noch etwas allgemeiner:

f(x) = G * e^(kx)/(1 + e^(kx))

Um den Graph nach rechts zu verschieben - und so den Nullpunkt in den Koordinatenursprung zu verlegen - ergänze ich mit:

f(x) = G * e^(k(x - a))/(1 + e^(k(x - a)))

Der Parameter k bestimmt die Steilheit des Anstieges. Zu Beginn ist das Wachstum gering; am Wendepunkt im mittleren Kurvenabschnitt ist es am stärksten; danach nimmt es wieder ab. Letztendlich streben alle Kurvenbüschel gegen einen Sättigungswert - aber unterschiedlich schnell. Der Mathematiker wird sagen, dass die Lösungsfolge der logistischen Differenzengleichung monoton gegen den Sättigungswert K konvergiert.

Damit habe ich ein realistisches Wachstumsmodell bei begrenzten Ressourcen gefunden. Solches lässt sich u.a. sehr anschaulich an einer Käferpopulation verfolgen.

Zusammenfassend kann man somit sagen:

Es gibt eine logistische Differentialgleichung (Verhulstgleichung), die nicht mit der (diskreten) logistischen Gleichung verwechselt werden darf. Letztere nämlich ist eine Differenzengleichung. Dieser feine Unterschied war mir früher nicht bewusst.

Interessant ist nun aber, dass bei einem r > 1 gedämpfte Oszillationen resultieren. Bei einer Wachstumsrate 2 < r ensteht ein zyklisches Wachstum. Der Funktionsgraph pendelt nun zwischen zwei Extremen hin und her. Es bildet sich ein Zweierzyklus heraus. Bei r = 2.5 ensteht ein Viererzyklus (Periodenverdopplung). Je näher man dem mirakulösen Wert von 2.57 kommt, um so mehr Verdopplungen sind die Folge. Bei einem r > 2.57 ensteht erstes chaotisches Verhalten.

Trägt man sämtliche Lösungskurven ein, entsteht schliesslich das bekannte Feigenbaum-Diagramm. Sehr schön sind daraus die Bifurkationen abzulesen. Die Bifurkationsintervalle werden um so kleiner, je näher man dem Wert r = 2.57 kommt. Das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Intervalle bildet eine Konstante, die sog. Feigenbaumkonstante: δ = 4.6692...

Bei r > 2.57 sind nicht länger nur einzelne Häufungspunkte zu erkennen. Die einzelnen Funktionswerte erscheinen zufällig verteilt; dennoch handelt es sich um einen deterministischen Vorgang. Auch bleibt die Lösungsfolge endlich; denn alle Pukte liegen innerhalb eines scharf abgegenzten Bereiches.

Gibt es vielleicht Verbindungen zur Quantenmechanik? Unterliegt das statistische Verhalten einem strengen Mechanismus - gesteuert aus höherdimensionalen Räumen über komplexe Fourierreihen? Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.

Ein weiterer Aspekt beginnt sich mit zunehmender Wachstumsrate herauszuschälen. Im chaotischen Bereich bilden sich "Inseln der Ordnung" heraus. Es entstehen schmale Streifen mit deutlich erkennbaren Häufungspunkten. Logistisch gesehen ist es aber wenig sinnvoll, Bereiche für r > 3 zu betrachten; denn von hier an divergiert die logistische Differenzengleichung für fast alle Startwerte.

Naja, jetzt bin ich doch weiter vorgestossen, als ich es eigentlich vorhatte.

Gr. zg
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  #12  
Alt 27.07.07, 01:15
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richy richy ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi Zeitgenosse

Warum sollte Verhulst fuer die Beschreibung einer diskreten Populationsgroesse den Umweg ueber eine Differentialgleichung gehen ?

Zitat:
So lese ich gerade in einem anderen Skript, dass die logistische Dgl. von VERHULST zur Untersuchung der Populationsdaynamik entwickelt wurde.
Diese Dgl. lautet in der allereinfachsten Form:
A) (d/dt) x --> y = (a - 1)x - ax^2
Daraus lässt sich dann die logistische Differenzengleichung ableiten:
B) x_n+1 = ax_n(1 - x_n)
Das scheint mir sehr suspekt und die DGL nachtraeglich konstruiert.
Ich versuche im Folgenden die Konstruktion fuer dich aufzudecken:

Numerisch laesst sich die Differentation dx/dt (besser Integration ueber t)
z.B durch eine einseitige Differenz 1.Ordnung: approximieren:
dx/dt etwa (x(n+1)-x(n))/dt. t=n*dt
Einseitig und nicht zetral um ein explizites Verfahren zu erhalten.
(Eine Integration 4.ter Ordnung nach Adams Bashford waere sachgemaess)

Aber bleiben wir bei dem einfachen Ansatz: dx/dt etwa (x(n+1)-x(n))/dt mit dt=1
************************************************** ***********
in A)
x(n+1)-x(n)=a*x(n)-1*x(n)-a*x(n)^2

Wozu der Term -1*x(n) auf der rechten Seite ? Na der ist da hinkonstruiert damit -x(n) auf der linken Seite rausfaellt. Physikalisch hat der kaum einen Sinn. Diese Konstruktion habe ich dir an anderer Stelle aber auch schon vorgeschlagen. So wie ich sehe, konntest du damals nicht wissen worauf ich damit hinaus wollte.

Ansonsten ergaebe sich nicht die logistische Abblidung :
x_n+1 = a * x_n * (1 - x_ n)
sondern eben (ehemals deine Form)
x_n+1 - x_n = a*x_n*(1 - x_n)
x_n+1 = x_n + a*x_n*(1 - x_n)

Daher meine Vermutung, d.h. es ist so ziemlich sicher, dass die DGL A) lediglich ein nachtraegliches Konstrukt ist. Der Term -x(t) der rechten Seite.
Waere interessant wenn du mal bischen naeheres zur wahren Geschichte von Verhulst recherchieren koenntest. Es gibt da nur wenig Material.

Ich wuerde vorschlagen, die diskrete Form als logistische / Verhulst- Gleichung, Abbildung zu bezeichnen. So ist dies auch allgemein ueblich.
Und wenn die kontinuierliche Form gemeint ist den Begriff (DGL) hinzuzufuegen.
Z.B. Logistische / Verhulst Differentialgleichung.
Beide weisen voellig unterschiedliche Loesungsverhalten auf. Wobei die DGL nur eine untergeordnete Rolle spielt Sie ist analytisch loesbar kann auch kein oszillierendes oder gar chaotisches System beschreiben, da sie 1.Ordnung ist.

Waehrend die Differenzengleichung nicht loesbar ist fuer gewisse Parameter oszilliert und chaotische Loesungen enthaelt.
Obwohl sie nur 1.Ordnung ist !
Die logistische Abbildung ist analytisch nicht loesbar ! Bis auf die Loesung fuer r=2 die ich diesem Teufelswerk nach 15 Jahren Rumprobieren und Nachdenken zufaellig entreissen konnte :

Ueber Laplace Fourier oder Z-Transformation kann man diese Loesung nicht gewinnen.
Aber ueber gesunden Menschenverstand mit etwas Schulmathematik.

Ein fundamentaler Unterschied zwischen DGL und DZGL !
Daher unterscheidet sich auch Heims diskretes Modell fundamental von einem kontinuierlichen. Die Grundgleichungen der ART sind nichtlinear.

Das Loesungsverhalten der Verhulst DZGL kann man dem Feigenbaumdiagramm oder dem Ljapunov Exponenten entnehmen. Neuerdings auch dem Zipfelsinn :-)
Zitat:
Damit habe ich ein realistisches Wachstumsmodell bei begrenzten Ressourcen gefunden. Solches lässt sich u.a. sehr anschaulich an einer Käferpopulation verfolgen.
Ja, aber realistisch ist nur die DZGL, die DGL ist nicht in der Lage das dynamische Verhalten der Kaeferpopulation zu beschreiben. Z.b die real auch auftretenden Oszillationen oder chaotische Kaeferdynamik.


In der Chaostheorie ist auch ausschliesslich die DZGL von Interesse.
Die DGL spielt in der Choastheorie keine Rolle.
Die Rueckwaertsiterierte, Nullstellen der verketteten Abbildung liefert sogar eine Juliamenge wie bei der DZGL der Mandelbrotmenge.


Zitat:
Im chaotischen Bereich bilden sich "Inseln der Ordnung" heraus. Es entstehen schmale Streifen mit deutlich erkennbaren Häufungspunkten.
Und die letzte grosse Insel der Ordnung erhaelt man fuer r=1+Wurzel(8)
Die Zufallswerte bei diesem Parameterwert sind dann fast ideal zipfverteil.
Allgemein spielen gerade diese Grenzbereiche zwischen chaos und Ordnung (Ljapu=0) eine uebergeordnete Rolle. In der Mandelbrotmenge bilden diese genau diese fraktale Grenzschicht die wir dann auf den huebschen Bildchen bewundern. Ebenso ist eine Aussage der Chaostheorie, dass sich "Leben", Selbstorganisation genau an dieser fraktalen Grenzschicht entwickelt. Insbesonders auch immer weitab vom thermodynamischen Gleichgewicht.

Zitat:
Gibt es vielleicht Verbindungen zur Quantenmechanik?
Dazu muesste man nach Nichtlinearitaeten in der Schroedingergleichung suchen.
Und diese als DZGL nicht als DGL formulieren.
Zitat:
Unterliegt das statistische Verhalten einem strengen Mechanismus - gesteuert aus höherdimensionalen Räumen über komplexe Fourierreihen? Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.
> einem strengen Mechanismus -gesteuert aus höherdimensionalen Räumen
Ja, das entspricht meiner Vorstelung. Die Unschaerfe ist bedingt durch die Abbildung des 6-D
auf unseren 4-D Raum. Vergleichbar mit einem 2-D Photo, dass niemals alle Teile des 3-D Raumes scharf abbilden kann.

> über komplexe Fourierreihen?
Diesen messe ich hier keine so grosse Rolle zu. Die FT ist ein Loesungsverfahren. Diese Geschichte mit dem vesrtaubten Mathematikbuch und den mehrdimensionalen Fourierreihen gefaellt mir ueberhaupt nicht.

> Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.
Warum das denn ? Ja, der 6 D Raum waere vielleicht determiniert. Aber kennen wir alle Moeglichkeiten ? Haben wir prinzipiell Zugang zu diesen erweiterten Dimensionen ?
Also bleibt dies fuer uns Menschlein zufaellig.

Kleine Korrektur:
Zitat:
Logistisch gesehen ist es aber wenig sinnvoll, Bereiche für r > 3 zu betrachten; denn von hier an divergiert die logistische Differenzengleichung für fast alle Startwerte.
Du meinst Bereiche r > 4=1+Wurzel(9)
Die Nullstelen der verketteten Funktion sind dann alle reell. Zudem zerfallen sie in Cantorstaub. Es laesst sich auch zeigen, dass die dann noch stabilen Anfangswerte mit steigendem r ebenfalls zu Cantorstaub zerfallen.

Dass es ueberhaupt stabile Anfagswerte fuer r>4 gibt ist aber auch nur den wenigsten bekannt.

Viele Gruesse

(Diese Beitrag wurde gesponsert von USCHI, die 3 Stunden telephonieren kann :-)

Geändert von richy (28.07.07 um 00:15 Uhr)
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  #13  
Alt 27.07.07, 02:18
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Warum sollte Verhulst fuer die Beschreibung einer diskreten Populationsgroesse den Umweg ueber eine Differentialgleichung gehen?
Unter der Verhulst-Pearl-Gleichung versteht man eine Differentialgleichung der Form:

dN/dt = rN(1 - N/K)
[wird in der Literatur auch als "logistische Gleichung" bezeichnet]

Gleichungen vom Typ := N_t+1 - N_t = delta N --> f(N_t)

hingegen sind Differenzengleichungen.

Dazu siehe:
http://www2.hu-berlin.de/biologie/th...d/4/Syst11.pdf

Ein weiterer Autor schreibt (Seite 3ff., Rekursive Gleichungen):

"...gehen wir von der Differentialgleichung in eine Differenzengleichung über, die uns nur über diskrete Zustände Auskunft gibt. Das machen wir, indem wir die Zeit t durch die diskrete Variable n ersetzen und die Gleichung in eine rekursive Form bringen:

x_n+1 = rx_n(1 - x_n) --> f(x) = rx(1 - x)
[wird im Kontext ebenfalls als "logistische Gleichung" bezeichnet]

Dazu siehe:
http://www.kim-bostroem.de/Material/...ence/Chaos.pdf

Gr. zg
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  #14  
Alt 27.07.07, 03:05
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi zeitgenosse
Zu spaeter Stunde.
(Uschi telephoniert wohl immer noch *fg. Seit 24 Uhr, Frauen halt *lol )
Darf man denen nicht uebel nehmen :-)

Die logistische Differentialgleichung
dN/dt = rN(1 - N/K) (ne bischen umnormierte Variante)
geht ueber die Diskretisierung, Approximation von dN/dt zu etwa N_t+1 - N_t NICHT ! in die logistische (DZGL) ueber.
Der Term -N_t verhindert die von Verhulst formulierte Form.
Daher die Midifikation der DGL auf der rechten Seite um den Term -N_t besser N_k zu kompensieren. Die modifizierte logistische DGL kompensiert diesen Term N_k,
ohne physikalische Hintergrund. DGL und DZGL sind ungleiche Geschwister.

Die logistische Gleichung und das ist die Ausgangsbasis lautet:
x(k+1)=r*x(k)*(c-x(k))
c gibt den Wertebereich an in denen sich fuer r=0..4 die Loesungen bewegen.
Die uebliche Form ist normiert zu c=1.
Wuerde ich c= 100 waehlen erhielte ich Werte zwischen 0 und 100.

Es ist eben so, dass hier etwas unueblich die diskrete Form die Ausgangsbasis ist. Die logistische Abbildung ist keine Diskretisierung der als solchen bezeichneten logistischen DGL, sondern umgekehrt die modifizierte DGL mit dem physikalisch sinnlosen Term -x(k) eine kontinuierliche und auch unbedeutsame Konstruktion AUS DER logistischen Gleichung.

Diese beiden Paare gehoeren also (numerisch Taylor FehlerOrdnung 1) zusammen:
x(k+1)=r*x(k)*(c-x(k))
dx(t)/dt=r*x(t)*(c-x(t))-x(t)
Minus x(t) also !

Zusammengefasstl :
Die diskrete logistische / Verhulst Gleichung ist die Basis und stellt nicht die Diskretisierung
der losgistischen DGL dar dx(t)/dt=r*x(t)*(c-x(t)).
sondern der Gleichung :
dx(t)/dt=r*x(t)*(c-x(t))-x(t)
Ziemlich verwirrend nicht ?
ciao
richy

Geändert von richy (28.07.07 um 00:11 Uhr)
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  #15  
Alt 30.07.07, 09:56
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soon soon ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hallo,
bei der Untersuchung der + und – Wurzelverteilung bei der Rückwärtsiteration bin ich an Frage nach der Rechengenauigkeit des Computers hängengeblieben.

bemerkenswert :

x := 0;
for n := 1 to 100 do x := x + 0.1;
memo1.lines.add(floattostr(x));

also 100 mal 0,1 addieren

Ergebnis : x = 9,99999999999998

Integerrechnerei ist auch nicht viel besser: 1E15 + 1 = 1E15

Das ein Computer prinzipiell nicht genau rechnen kann ist klar, da der Speicherbereich für eine Zahl immer auf irgendeine Anzahl von Bits begrenzt ist. Aktuelle Prozessoren können mit maximal 64 Bit Binärzahlen umgehen .

Was ich bisher nicht wusste ist, dass z.B. 0,1 binär gesehen eine periodische Zahl ist!

Erstaunlich ist auch, wie schnell eine „chaotische“ Folge nicht mehr chaotisch ist, wenn man mit der Rechengenauigkeit noch etwas heruntergeht, also nach 10 oder 8 Nachkommastellen abschneidet.

Hat aber vermutlich nichts mit der Fragestellung zu tun.

Gr. soon
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  #16  
Alt 31.07.07, 01:41
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Zusammenfassend:

Verhulst Gleichung:
p_n+1 = p_n + ap_n (1 - p_n) = (1 + a)p_n - a(p_n)^2

Normierte logistische Gleichung:
x_n+1 = rx_n(1 - x_n) ; 0 < r < 4

In äquivalenter Schreibweise:

x_n+1 = rx_n - r(x_n)^2

Offensichtlich handelt es sich hier um eine Differenzengleichung (DzGl). Damit werden auch Iterationen erst möglich.

Historisch interessant ist der Umstand, dass sich bereits Poincaré mit dem deterministischen Chaos (kritischer Orbit) befasste, obwohl die Chaostheorie noch nicht geboren war. Er fand heraus, dass es sowohl stabile Punkte als auch instabile Repellor's gibt (siehe dazu auch "Banach'scher Fixpunktsatz"). Intermittenz kündigt die nahende Ordnung an. Der Lyapunov-Exponent kann als Indikator der Ordnung betrachtet werden.

Gr. zg
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  #17  
Alt 31.07.07, 08:24
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hallo Zeitgenosse

x_n+1 = rx_n(1 - x_n) ; 0 < r <= 4

Mit der 4 wird es ja erst richtig interessant

Gruss
soon
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  #18  
Alt 31.07.07, 17:42
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hi
EDIT
****
>
Verhulst Gleichung:
p_n+1 = p_n + ap_n (1 - p_n) = (1 + a)p_n - a(p_n)^2
>

Kannst du eine Quelle fuer diese Gleichung und Bezeichnung nochmals angeben ?
Ich bin damit nicht so ganz einverstanden. Auch nicht sicher ob diese Form ueberhaupt konvergente Bereiche aufweist. Um ein geeigetes Paar DGL DZGL zu finden es ist auch viel einfacher die logistische DGL zu modifizieren. Wie oben bereits beschrieben.

@soon
Und sogar fuer r>4 gibt es stabile Bereiche. Deine Beobachtungen zur Rechenungenauigkeit habe ich auch schon gemacht. Iteriere ich einen komplexen Punkt 100 oder 1000 mal vorwaerts oder rueckwaerts hin und her, landet der ueberall, aber sicherlich nicht bei seinem Anfangswert. Abhaengig vom Ljapunovexponenten, also wie chaotisch, sensibel das System reagiert.
Das ist auch die Kernaussage ueber chaotische Systeme. Empfindlich gegenueber den Ausgangswerten und damit auch gegenueber den Rechenungenauigkeiten. Es gibt daher in den chaotischen Bereichen gar keine spezielle Mandelbrotmenge. Ab und zu wird darauf auch hingewiesen, dass das Ergebnis abhaengig ist von der Genauigkeit des Prozessors oder Compilers.
Sachgemaesser waere eine Darstellung des Ljapunovexponenten. So etwas gibt es auch fuer die Mandelbrotmenge.

>
Was ich bisher nicht wusste ist, dass z.B. 0,1 binär gesehen eine periodische Zahl ist!
>
Genau mit der Problematik hatte ich schon mal bei einem Programm in Form von unerwarteten Instabilitaeten zu kaempfen. Ohne Anregung schaukelte sich das Feld auf und divergierte. Ursache war hier tatsaechlich die Rechenungenauigkeit der Nachkommastellen. 0.5 ist eben weitaus genauer darstellbar als 0.1. Ausser kuenstlich numerisch bedaempfen , Viskositaet fand ich dafuer auch keine Loesung. BCD Zahlen waeren vielleicht eine Alternative.

@zeitgenosse
Man koennte Poincare sogar als Vater der Chaostheorie ansehen ?
Das Unangenehme am Ljapunovexponenten ist, dass es notwendig ist die Systemgleichungen zu kennen um diesen zu berechnen. Aus Messdaten ist mir hierfuer bisher keine Methode bekannt.
Vielleicht verstehst du, warum ich meine, dass der Zusammenhang zu der Abweichung der Zipf Verteilung bemerkenswert ist Die Verteilung, damit die Abweichung von der Zipf Verteilung, der von mir als "goldenes Guetemaß" bezeichnete Wert, kann ich alleine aus den Meßwerten ermitteln. Ich bin eher zufaellig darauf gestossen.
Weiss bisher selber nicht warum dem so ist. Dazu muesste sich ein profesioneller Mathematiker mal mit dem Zusammenhang beschaeftigen.

Den Grad von Ordnung und Chaos kann ich leider aus dem Informationsmaß noch nicht ermitteln.
Das waere aber hochinteressant und nuetzlich. Jedoch sind die Nullstellen und Peaks des goldenen Guetemaßes miteinander korelliert. Und immerhin sind ja auch diese von besonderem Interesse. Dazu nochmal mein numerisches Experiment hier :
http://home.arcor.de/richardon/richy...zipf/verh1.htm
Die Ergebnisse dort sind keineswegst selbstverstaendlich.

Auch dieses Bild ist mir bisher eher unerklaerlich:

Zitat:
KUERZBESCHREIBUNG :
In der Grafik stellt jeder Punkt der Funktionen das Ergebnis einer numerischen Simulation der logistischen Glcihung ueber den Parameter r dar. Genauso wie beim Feigenbaumdiagramm.
Die BLAUE Funktion zeigt wie gewohnt den Ljapunovexponenten L der Gleichung ueber r.
L<0 "Ordnung" L=0 Birfukation L>0 "Chaos"

Die ROTE Funktion ist verknuepft mit dem semantischen Informationsgehalt. Wobei dieser fuer den Wert 0 am groessten ist. Numerisch ist jeder Funktionswert wie folgt recht einfach ermittelt:
Das Intervall 0..1 diskretisiere ich zunaechst in Haeufigkeitsklassen und ermittle wie oft die Ausgangsfolge in die entsprechenden Klassen faellt. Also die Verteilung der Ausgangsfolge.
Ein einfaches Abzaehlen. Als Referenz verwende ich nun die Zipfsche Verteilung, der ein maximaler semantischer Informationsgehalt zugesprochen wird. Um ein Guetemaß (einen Punkt der roten Funktion ) zu erhalten wende ich nun auf die gemessene Verteilung und die Referenz (Zipf Verteilung) die Methode der kleinsten Quadrate, das Gaussche Fehlerintegral an. Ich summiere einfach die Quadrate der Abstaende, Differenz beider Verteilungen.
Klingt kompliziert ist aber ueberhaupt nicht aufwendig,
Wie koennte ich diese mit den Nullstellen des Ljapu (blau) korrelierten Peaks (rot) am guenstigsten erfassen ? Welche Korrelation gibt es fuer die Bereiche 0>L>0 (blau) in der roten Kurve ? Gibt es die Ueberhaupt ?
Der Lohn waere ein numerisches Verfahren, anhand dessen ich den Grad der Ordnung / Unordnung des Systems ohne Kenntnis der Systemfunktion MESSEN koennte. Durchaus erstrebenswert.
Fuer die Birfukationsstellen sicherlich auch jetzt schon relativ einfach realisierbar.
(Ableitung der Funktion ? )
Fuer Systeme 1.Ordnung habe ich einen Algo entworfen, der den Ljapu nur anhand der
Messwerte ueber numerische Differentation bestimmen kann.

http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le3.htm
Die Voraussetzung 1.Ordung ist aber nun mal in der Praxis sehr einschraenkend.
BTW: Anhand einer DZGL hoeherer Ordnung habe ich die Korrelation leider auch noch nicht getestet. Das waere natuerlich unbedingt notwendig. Auch fuer ein System nichtkonstanter Koeffizienten.
Auf analytischem Wege eine Ursache dieser Korrelation zu ermitteln sicherlich auch eine interessante aber auch anspruchvolle Aufgabe.

Anwendungsbeispiel A ...
Ahem, doch lieber geloescht.

Viele Gruesse
richy

@soon
Rechnest du die Rueckwaertsiterierte komplexwertig ?
Welches Ziel verfolgst du ?
Sind meine Ausfuehrungen hier verstaendlich ? Was koennte ich verbessern ?
Haettest du Lust und Zeit die bisherigen Ergebnisse mit weiterzuentwickeln ?
Konkretes momentanes Ziel :
Wie kann ich die blaue Funktion auf die rote Abbilden ?
Hilfsmittel and die ich denke FFT DFT
Info: Die Rueckwaertsiterierten stellen die Nullstellen des verketteten Polynoms dar.

Geändert von richy (05.08.07 um 04:41 Uhr)
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  #19  
Alt 01.08.07, 05:31
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richy richy ist offline
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Hi zeitgenosse
Vorschlag zu den Bezeichnungen.
Der Begriff "Verhulst" ist eigentlich unueblich. Ich verwende den Begriff dennoch gerne um damit den Namen dieses grossartigen Biologen nicht vergessen zu machen. Roentgenstrahlen werden im amerikanischen Sprachgebrauch als x-rays bezeichnet. Warum ist klar und ich finde das saudoof.
"x" entspricht "Roentgen" wie "Verulst" "logistisch" entspricht.
Ich bin dennoch damit einverstanden den Begriff "Verhulst" nicht mehr zu verwenden um weitere Missverstaendnisse zu vermeiden.

a) Die logistische (Differenzen) Gleichung lautet:
y(k+1)=r*y(k)*(c-y(k)), normiert c=1

b) Die logistische Differentialgleichung lautet:
dy(t)/dt =r*y(t)*(c-y(t)), normiert c=1

b besitzt eine analytische Loesung. a ist fuer r<>2 analytisch unloesbar

Wir mochten b auf dem digitalen Rechengeraet numerisch simulieren.
Diskretisieren wir b also mittels einer einseitigen Differenz 1.ter Ordung !
dy(t)/dt = ( etwa, in weitestem Sinne :-) (y(k+1)-y(k))/dt, t=k*dt,
Sachgemaesser waere es die Gleichung :
dy(t) = r*y(t)*(c-y(t)) dt numerisch zu integrieren.
Fuer eine Taylorfehlerordnung 1 kommt dabei aber das selbe raus.
Fehlerordnung 1 da die logistische DZGL auch lediglich eine (DZ) GL 1.ter Ordnung ist
Normiert mit dt=1 erhalten wir letzendlich die Naeherung:

dy(t)/dt =y(k+1)-y(k)), k=t
*********************
Setzen wir diese Naeherung in b ein
dy(t)/dt =r*y(t)*(1-y(t))
******************************
erhalten wir die DZGL ?
.....
Fuer die Loesung lasse ich auch ein Weissbier springen :-)
Entspricht diese diskretisierte Form der logistischen Abbildung ?
Was ist einfacher :
Eine modifizierte Form der logistischen DGL oder DZGL zu untersuchen ?
Auch fuer diese Antworten ein Weissbier :-)
ciao
richy

den letzten Thread habe ich noch etwas editiert

Geändert von richy (01.08.07 um 13:54 Uhr)
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  #20  
Alt 02.08.07, 13:30
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Standard AW: Zufallszahlen in der Chaostheorie

Hallo,
nochmal abschliessend zur Rechengenauigkeit:

wenn man die Rechengenauigkeit des Computers merklich erhöhen will, muss man von den vorgegebenen Zahlentyen (integer,single,extended usw.) auf eigene ausweichen.

z. B.
var
x : array[1..100000] of boolean;
y : array[1..100000] of boolean;
ergebnis : array[1..100000] of boolean;

Für die Zahlen x,y, usw. stehen damit jeweils 100000 Bits zur Verfügung statt 64.

Dann muss man noch die Prozeduren für die Rechenoperationen (Addition, Multiplikation , usw.) selber schreiben. Man emuliert also softwaremässig den mathemathischen Coprozessor.

Die Ungenauigkeit wird dabei kleiner, bleibt aber prinzipiell erhalten. Bei einer Erhöhung der Rechengenauigkeit durch Zuweisung von mehr Speicherplatz für eine Zahl, kommt noch eine gegenläufige Grösse mit ins Spiel: die zur Verfügung stehende Rechenzeit.

Eigentlich reicht es auch festzuhalten : Wenn man mit dem Computer iterative Prozesse untersucht, handelt es sich nicht um eine rein mathematische Angelegenheit , vielmehr hat man es mit einem ‚natürlichen System‘ zu tun, bestehend aus mathematischer Gleichung und physikalischer Hardware.
Und es gilt : Ungenauigkeit resultiert aus Begrenztheit.

Gr. soon

@Richy
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