Kollision trotz parallelem Kurs?

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Das sollte absolut keinen Angriff auf zg darstellen

Keine Bange, dermassen empfindlich bin ich nun auch wieder nicht.

Die innere Krümmung berechnet sich wie folgt:

K = k1 * k2 = (1/R1)(1/R2)

(R1, R2 sind die Radien der Schmiegekreise am betrefffenden Punkt der Krümmung)

Das im Kontext massgebende 'Theorema egregium' besagt;

Die Gaußsche Krümmung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hängt nur von der Weg- und Winkelmessung in der Mannigfaltigkeit ab.

Somit:

Relativ zum umgebenden euklidischen Ortsraum besitzt ein (Kreis)-Zylinder zwar eine gekrümmte Mantelfläche; doch diese gehört der äusseren Krümmung an.

Die äussere Krümmung kann nur festgestellt werden, indem die Lage des Raums im umgebenden, höherdimensionalen Raum, die so genannte Einbettung, betrachtet wird.

Entscheidend bezüglich der Geometrie ist nur die innere Krümmung. Rollt man bspw. die Mantelfläche eines Kreiszylinders auf einer euklidischen Ebene ab, bleibt die Isometrie erhalten. Es verändern sich weder Längen- noch Winkelverhältnisse. Deshalb haben wir eine euklidische Metrik vorliegen. Objekte dieser Art haben eine verschwindende innere Krümmung k = 0.

Bei einer Kugeloberfläche ist das anders. Man denke dabei nur einmal an die Winkelsumme im Dreieck oder an Parallelen. Auf einem Zylinder ist das Parallenaxiom erfüllt, auf der Sphäre hingegen nicht. Ein anderer Test, um herauszufinden, ob es sich um eine euklidische Metrik handelt oder nicht, ist der Paralleltransport eines Vektors entlang eines geschlossenen Weges.

Der Vektor bleibt dabei immer tangential zur Oberfläche:



Auf einer Kugeloberfläche gehen wir bspw. vom Nordpol entlang des Nullmeridians bis zum Aequator, wandern dort eine zeitlang in östlicher Richtung, um schliesslich auf einem beliebigen Meridian zurück zum Nordpol zu gelangen; dabei entsteht eine Drehung des Vektors. Die Sphäre ist somit nichteuklidisch. Misst man zudem die Winkelsumme eines Dreiecks, wird schnell klar, dass es sich um eine positiv gekrümmte Fläche handeln muss.

Wenn du den Paralleltransport auf einem Zylinder durchführst, wirst du verstehen, worin der Unterschied liegt.

In medias res:

Du solltest dich zuerst mit der Gaußschen Flächentheorie vertraut machen, bevor du dich an höherdimensionale Mannigfaltigkeiten heranwagst. Das würde dir möglicherweise einige Sackgassen ersparen.

Gr. zg

[SCR]

Hallo zg,

Zitat von zeitgenosse

Keine Bange, dermassen empfindlich bin ich nun auch wieder nicht.

Das freut mich.
Es steht außer Frage dass der ZylinderMANTEL euklidisch ist.

[möbius]

Zitat von Bauhof

Hallo Möbius,

ein armer nichts-wissender Dr. phil.!

Sei nicht so bescheiden. Wenn alle so bescheiden wären wie du, hätten wir Moderatoren
weniger Probleme...

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Eugen Bauhof!

Ernsthaftes Philosophieren führt nun mal zur Bescheidenheit... - aber ernsthaftes Physikalisieren auch!
In einem Brief vom 15. März 1922 schrieb Meister EINSTEIN seinem Freund Paul EHRENFEST:
"Wie armselig steht der theoretische Physiker vor der Natur und vor - seinen Studenten!"

Gruß, möbius

[EMI]

Zitat von SCR

Es steht außer Frage dass der ZylinderMANTEL euklidisch ist.

Die ganze Zylinderoberfläche SCR!

Man schneide die Oberfläche eines Körpers auf und "walzt" diese glatt.

1. Reisst diese dabei ein, war sie positiv gekrümmt. (z.B. Kugel)
2. Knittert sie dabei, war sie negativ gekrümmt. (z.B. Sattel)
3. Bleibt sie glatt, war sie ungekrümmt. (z.B. Zylinder)

Der aufgeschnittene und "gewalzte" Zylinder ergibt ein langes Quadrat mit recht und links je ein Kreis (rundes Quadtat) dran.

Gruß EMI

[SCR]

Zitat von EMI

mit recht und links je ein Kreis (rundes Quadtat)dran.

-> 2x

Der/Die Kreis(e) bewirken aber eine positive Gesamtkrümmung eines Zylinders - Guckst Du:

->
@EMI: Du darfst die Kreise nicht einfach links und rechts neben die Mantelfläche legen - Sonst würdest Du ja oben und unten einreissen und die Kreise hingen nur noch an einem Punkt am Mantel (siehe mittleres Bild).
Sollen die Kreise rissfrei berücksichtigt werden kommt man nicht umhin zu "kneten" (unteres Bild).
Laut der Topologie von SCR ist nur eine leere Klopapier-Rolle ungekrümmt.
Selbstverständlich alles IMHO - Widerspricht ja auch fast jedem Lehrbuch .

Zitat von möbius

Ich besitze auch kein Mathematik- oder Physik-Diplom - und bin nur ein armer nichts-wissender Dr. phil.! Aber auch damit kann man(n) durchs Leben kommen...

Ja - Und das trifft sich gut: Ich bin AUCH Taxi-Fahrer ...

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Es steht außer Frage dass der ZylinderMANTEL euklidisch ist.

Der ganze Zylinder, notabene. Parallelen bleiben Parallelen, egal wo sie gezogen werden. Das Innere eines massiven Körpers, das Zylindervolumen in diesem speziellen Fall, ist dazu nicht massgebend. Etwas anders sähe es bei einem Hohlzylinder aus, wo ich zudem die Innenfläche berücksichtigen müsste. Einem 'Beltramischen Flächenwesen' mit elastischen Körperteilen wäre dies zwar weitestgehend egal. Es würde sich zwar wundern, dass eine Wanderung in seiner Welt zuweilen einen unliebsamen Knick beinhaltet; doch ob es daraus die richtigen Schlüsse ziehen könnte, bleibt eine offene Frage. Seine Welt ist nun einmal die Fläche. Ungeachtet dessen bliebe die Gesamtfläche aus bekannten Gründen euklidisch.

Krümmungen misst man entlang einer geschlossenen Fläche (Kugel, Torus etc.) oder auch bei Flächen mit Rand (näherungsweise ein Reitsattel oder eine Zeltbespannung). Bei der uns vertrauten Kugel ist die massgebende Entität die Sphäre. Gewissermassen die Haut des Körpers. Das nächsthöhere Analogon ist die Hypersphäre (siehe dazu die Poincaré-Vermutung). Eine 'dreidimensionale Haut' sozusagen, in der wir uns wie im gewohnten 3-Raum bewegen können.

Insgesamt geht es bei der Krümmungsfrage auch um Physik. Auf der Erde bewegen wir uns für gewöhnlich auf ihrer Oberfläche. Gingen wir ins Innere, wäre überhaupt keine Krümmung definierbar. Adäquates gilt im Kosmos. Die in Frage kommenden Geometrien betreffen die 'Oberfläche der Welt'. Ihr Inneres ist uns prinzipiell verschlossen. Sollten wir uns tatsächlich in einer Hypersphäre befinden - wie z.B. Hawkings lehrt -, bewegten wir uns nur in der 'Umrandung einer 4-Kugel', nie aber in deren Innerem. Die 'Unterwelt' selbst könnten wir nicht erforschen. Damit muss man sich abfinden können.

In summe habe ich somit genug zum Thema gesagt, um mich allmählich auszuklinken.

Gr. zg

[SCR]

Hallo zg,

Zitat von zeitgenosse

Der ganze Zylinder, notabene. Parallelen bleiben Parallelen, egal wo sie gezogen werden. [...] In summe habe ich somit genug zum Thema gesagt, um mich allmählich auszuklinken.

Wenn dem so sein sollte: Dann kannst Du mir aber zuvor sicher noch abschließend erklären was ich bei der Zeichnung in meinem letzten Beitrag falsch gemacht habe -
Ich wäre Dir sehr zu Dank verpflichtet!

Ich habe hier einmal einige exemplarische Links zusammengestellt:

Zitat von http://www.math.tu-cottbus.de/~froehner/sonstiges/skripte/node4.html

Als einfaches Beispiel kann man sich ein Quadrat vorstellen. Klebt man die beiden vertikalen Kanten zusammen, entsteht ein Zylinder. Werden nun obere und untere Kante noch verklebt, so entsteht ein Torus, d.h. der Zylinder geht in einen Torus über.

Wie aus der Beschreibung ersichtlich ist ausschließlich der ZylinderMANTEL Gegenstand der Betrachtungen - Er wird fälschlicherweise als Zylinder bezeichnet.

Uni Hannover: Seite 13 - Bezeichnung ebenfalls "unsauber" als Zylinder, es wurde aber eine korrekte grafische Darstellung verwendet

Zitat von http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_t04.html

Kugel, Ellipsoid, Zylinder und Quader gehören derselben topologischen Klasse an, weil man sie durch Drücken und Verbiegen ineinander überführen kann.

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Wie aus der Beschreibung ersichtlich ist ausschließlich der Zylinder-MANTEL Gegenstand der Betrachtungen - Er wird fälschlicherweise als Zylinder bezeichnet.

Es geht im Kontext (Krümmungsfrage) eben nur um die Oberfläche!

Im vorliegenden Beispiel handelt es sich simpel gesagt um einen Hohlzylinder ohne Boden und Deckel. Am Kern der betreffenden Aussage verändert sich dadurch nichts.

Gr. zg

[SCR]

Hallo zg,

jetzt verwirrst Du mich: Worin besteht der konkrete Unterschied zwischen einem Hohlzylinder ohne Boden und Deckel und einem Zylindermantel?
Und auf welches Beispiel bezieht sich Deine letzte Aussage - auf "meines", auf "Deines" oder auf den Link?
Und wie lautet die Kernaussage - Dass der Zylindermantel ungekrümmt ist? Darüber brauchen wir nicht zu disuktieren.


Deshalb frage ich am Besten wohl noch einmal ganz simpel: Welche Krümmung weißt denn jetzt ein Vollzylinder auf?
Wobei Vollzylinder = Unten und oben eine Kreisfläche, beide mit einem Zylindermantel verbunden und - damit es keine Missverständnisse bezüglich der Oberfläche gibt - vollständig gefüllt: Eben ein Batzen der über eine Wurst / ein Brot zu einem Vollzylinder geformt wurde.
Das war schließlich der Ausgangspunkt der Diskussion.

Und darauf gibt es nur drei Antwortmöglichkeiten:
a) ungekrümmt
b) positiv gekrümmt
c) negativ gekrümmt

c) wird wohl ausscheiden -> Also a) oder b), zg?

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Deshalb frage ich am Besten wohl noch einmal ganz simpel: Welche Krümmung weißt denn jetzt ein Vollzylinder auf?

Ob Vollzylinder oder Hohlzylinder ändert nichts an dessen 'innerer' Krümmung. Diese wird im vorliegenden Beispiel anhand der Mantelfläche bestimmt; demzufolge ist K = 0. Allenfalls vorliegende Stirnflächen sind bereits euklidisch flach und müssen daher nicht gesondert berücksichtigt werden.

Gr. zg