Unschärferelation für Gauß-Pakete

[stefan123]

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht gelöst kriege.
Schon den ersten Schritt bekomme ich nicht hin.



Vieleicht kann mir jemand helfen, wäre sehr nett

Danke im Voraus,

Stefan

[Bauhof]

Zitat von stefan123

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht gelöst kriege. Schon den ersten Schritt bekomme ich nicht hin.

Hallo stefan123,

erkläre bitte erst mal, was "Gauß-Pakete" sind.

M.f.G. Eugen Bauhof

[stefan123]

Ich meinte natürlich ein Gauß'sches Wellenpaket. Also eine Welle überlagert mit einer Gauß-Funktion.
Sowas:

[Matz]

Also im ersten Schritt musst du das Integral für Ψ(p,t) ausrechnen; das machst du, indem du in die gegebene Formel Ψ(x,t) einsetzt. Der Exponent bei der e-Funktion ist dann -a²/2 · (x² + 2ipx/a²ħ). Das kann man quadratisch erweitern zu -a²/2 · (x + ip/a²ħ) - p²/2a²ħ². So kann man dann das angegebene Integral benutzen und kriegt Ψ(p) ~ exp(-p²/2a²ħ²).
Allerdings ist meiner Ansicht nach bei der Angabe irgend was nicht in Ordnung, denn wenn man nun die Unschärfen berechnet, hätte man
exp(-p²/2a²ħ²) = 1/2 => Δp = p2 - p1 = 2√(2a²ħ²·ln2)
und
exp(-a²x²/2) = 1/2 => Δx = 2√(2·ln2 / a²)
Zusammen hätte man also Δp·Δx = 8ħ·ln2.
Oder hab ich mich verrechnet?

[stefan123]

Hm, ich scheiter wohl mal wieder an der Mathematik.
Ich verstehe leider nicht deine quadratische Erweiterung. Wie genau machst du diesen Schritt?

Also:
-a²/2 · (x² + 2ipx/a²ħ) = -a²/2 · (x + ip/a²ħ) - p²/2a²ħ²

Danke schonmal bis hierher...

[Matz]

Zitat von stefan123

-a²/2 · (x² + 2ipx/a²ħ) = -a²/2 · (x + ip/a²ħ) - p²/2a²ħ²

OMG, sorry, da hab ich doch glatt was vergessen:
Es muss heißen:
-a²/2 · (x² + 2ipx/a²ħ) = -a²/2 · (x + ip/a²ħ)² - p²/2a²ħ²
Dieses x² + 2ipx/a²ħ wird hier erweitert zu x² + 2ipx/a²ħ + (ip/a²ħ)² - (ip/a²ħ)² (ja, es wird addiert und wieder abgezogen) und dann aus den ersten drei Termen (x + ip/a²ħ)² gebildet.

[stefan123]

Ah ok, die quadratische Ergänzung ist dann klar.

Trotzdem weitere Fragen...:
1.
Wenn ich das durchrechne komme ich auf
1/√(2πħ) * Ψo * √(2π)/a * exp(-p²/(2ħ²a²))
Laut Aufgabenstellung soll man aber auf:
1/√(2πħ) * exp(-p²/(2ħ²a²))
kommen.

2.
Warum setzt du
exp(-a²x²/2) = 1/2
?
Kommt das irgendwie aus
ΔxΔp ≥ 1/2 * ħ
?
Ich sehe es nicht...
Und offensichtlich benutzt du hierfür ja die Exponenten aus den Wellengleichungen. Die Vorfaktoren [Ψo und 1/√(2πħ)] lässt du weg?

Wieso?

Nochmal danke für deine Mühe!

[Matz]

Zitat von stefan123

1.
Wenn ich das durchrechne komme ich auf
1/√(2πħ) * Ψo * √(2π)/a * exp(-p²/(2ħ²a²))
Laut Aufgabenstellung soll man aber auf:
1/√(2πħ) * exp(-p²/(2ħ²a²))
kommen.

2.
Warum setzt du
exp(-a²x²/2) = 1/2
?
Kommt das irgendwie aus
ΔxΔp ≥ 1/2 * ħ
?
Ich sehe es nicht...
Und offensichtlich benutzt du hierfür ja die Exponenten aus den Wellengleichungen. Die Vorfaktoren [Ψo und 1/√(2πħ)] lässt du weg?

Wieso?

Also, zu (1):
Auf das komme ich auch. Aber das macht ja nix; ich denke, dass man die Ausgangsfunktion noch normieren müsste, also ∫dx |Ψ(x,t)|² = 1 setzen, und dann wird man vermutlich Ψo = a/√(2π) erhalten, so dass sich das wegkürzt. Bin aber grad zu faul es auszuprobieren , weil es eh nichts macht - damit kommen wir nämlich zu (2):
Hier hab ich wohl auch wieder einen Fehler gemacht; war wohl echt nicht mein Tag Ich wollte die Breite der Gauß-Funktion rausfinden, indem ich die sog. Halbwertsbreite ausrechne, d.h. die Breite des "Peaks" in der Höhe, wo der Wert auf die Hälfte des Maximalwerts abgefallen ist. Wenn man also Ψ(x,t) = 1/2 · Ψ(0,t) setzt, kommt man auf exp(-a²x²/2) = 1/2.
Das stimmt aber wohl nicht ganz... um die Breite auszurechnen, muss man natürlich <x²> bestimmen, also Δx = ∫dx x²|Ψ(x,t)|² ausrechnen; das selbe gilt dann für Δp = <p²>. Soweit ich weiß, kriegt man bei einer Gauß-Funktion exp(-bx²) die Unschärfe (Δx)² = 1/(4b). Mit den angegebenen Funktionen haben wir also (Δx)² = 1/(2a²) und (Δp)² = a²ħ²/2; insgesamt also ΔxΔp = ħ/2, wie es sein soll.

[stefan123]

Hallo Matz,

sehr schön, ich denke damit hab ich jetzt alles verstanden.

Also dann nochmal vielen Dank für die Hilfe!