Lorentz-Transformation (Herleitung)

[Gwunderi]

Zitat von Bauhof

du kannst zwar hoffen, aber nur mit Volksschul-Mathematik wärst du hier natürlich verloren. Unter "Schulmathematik" verstehe ich Mathematik bis zum Abitur.

Ja, die habe ich, auch wenn es schon gut 20 Jahre her ist und ich manches wohl auffrischen müsste. Die "gewöhnliche Koordinatentransformation im euklidischen Raum in Skizze 1" z.B. habe ich gleich begriffen, obwohl ich sie zum ersten Mal sehe (in Trigonometrie war/bin ich eh gut).

Aber mit imagninären Zahlen zu rechnen hatten wir nie gelernt (i2 = -1), habe aber schon Berechnungen damit gesehen, und da schien mir, man kann das i einfach ignorieren (in gewisser Weise) glaube ich - habe jetzt grad etwas Zeit und sehe mal, ob ich aus diesen Drehungen im Minkowski-Raum schlau werde.

Der imaginäre Drehwinkel (iß) repräsentiert somit - über den Tangens dieses Winkels - die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Inertialsystemen S und S' als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit.

Tönt schon mal gut ...

Zitat von Bauhof

Wenn du Fragen zu den Inhalten der Arbeitsplattform hast, kannst du sie hier im Forum stellen.

Werde gerne darauf zurückkommen. Danke Dir nochmals

Grüsslein, Gwunderi

[Marco Polo]

Hallo Gwunderi,

die Verbindung von Raum und Zeit, die Gegenstand der Lorentz-Transformation ist, lässt sich sehr einprägsam anhand von Minkowski-Diagrammen darstellen.

Mann muss nur bereit sein, schiefwinklige Koordinatenachsen einzuführen und damit klarkommen, dass die Lorentz-Transformation eine gegensinnige Rotation ebendieser Koordinatenachsen bewirkt.

Die komplexen Zahlen muss man hierfür nicht bemühen. Aber es gibt auch diese von Bauhof genannte Variante mit ict auf der Ordinate.

Die kann ich aber nicht empfehlen, da sie in der Fachliteratur praktisch keine oder zumindest nur eine untergeordnete Rolle spielt.

Sagen wir mal so: der eine bevorzugt die eine Variante, der andere die andere Variante. Da du dich aber mit komplexen Zahlen nicht auskennst, solltest du die Variante mit ct auf der Ordinate verwenden.

Wenn sich Fragen zum Minkowski-Diagramm ergeben, helfe ich dir gerne weiter, soweit das in meiner Macht steht.

Grüsse, Marco Polo

[Gwunderi]

Zitat von Marco Polo

die Verbindung von Raum und Zeit, die Gegenstand der Lorentz-Transformation ist, lässt sich sehr einprägsam anhand von Minkowski-Diagrammen darstellen.

Mann muss nur bereit sein, schiefwinklige Koordinatenachsen einzuführen und damit klarkommen, dass die Lorentz-Transformation eine gegensinnige Rotation ebendieser Koordinatenachsen bewirkt.

Die komplexen Zahlen muss man hierfür nicht bemühen. Aber es gibt auch diese von Bauhof genannte Variante mit ict auf der Ordinate.

Die kann ich aber nicht empfehlen, da sie in der Fachliteratur praktisch keine oder zumindest nur eine untergeordnete Rolle spielt.

Sagen wir mal so: der eine bevorzugt die eine Variante, der andere die andere Variante. Da du dich aber mit komplexen Zahlen nicht auskennst, solltest du die Variante mit ct auf der Ordinate verwenden.

Hallo Marco,

Hatte zuvor noch nie solche Minkowski-Diagramme gesehen, und mir jetzt auch den Artikel in Wikipedia dazu durchgeschaut - mir das von Bauhaus genauer anzuschauen bin ich eh doch nicht dazugekommen ...

Lustig, dass darin (bei Wiki) fast keine Formeln vorkommen, es geht wohl zuerst einmal darum, die gegenseitigen Transformationen grafisch anschaulich darzustellen und begreiflich zu machen, soweit ich auf den ersten Blick sehe. Formeln nützen eh wenig, wenn man zuerst nicht sieht, was man damit überhaupt aussagen will

Werde mir also nächstens diese Diagramme vornehmen, sieht in der Tat vielversprechend aus ...

Wenn sich Fragen zum Minkowski-Diagramm ergeben, helfe ich dir gerne weiter, soweit das in meiner Macht steht.

Ich danke Dir, werde es bestimmt noch brauchen

Grüsslein, Gwunderi

[Struktron]

Hallo,
eigentlich habe ich wegen meiner im Hintergrund laufenden Rechnungen (Computer wird heiß) kaum eine Gelegenheit für eine Antwort. In
"Weidner, R. S., Sells, R. L.; Elementare moderne Physik; Wiesbaden 1982" S. 42 habe ich füher mal eine für mich leicht verständliche Herleitung gefunden, die ich hier stark verkürzt wiedergebe:

Es wird ein stabiles System und dessen Bewegung im Vakuum betrachtet. Die Abbildung zeigt eine Bewegung mit dem Geschwindigkeitsbetrag v in x-Richtung als Änderung des Ortes, d.h. Ableitung, des in einer sinnvoll gewählten Zeiteinheit zurückgelegten Weges. Mit der Zunahme der Systemgeschwindigkeit verlagert sich die Welle, welche das System beschreibt, auf dem Einheitskreis in Richtung x-Achse. Die Anzahl der beobachteten Wellenberge wird deshalb in y-Richtung zusammen geschoben



Es gilt also wegen der möglichen Aufspaltung der konstanten systeminternen Durchschnittsgeschwindigkeit in Achsenrichtung



Damit ergibt sich:



und das wird durch einfaches Auflösen:



was der bekannte Lorentz-Faktor ist.

Hoffentlich ist es für ein Verständnis ausreichend.

MfG
Lothar W.

[Bauhof]

Zitat von Struktron

Hoffentlich ist es für ein Verständnis ausreichend.

Hallo Struktron,

für mich leider nicht. Mit Begriffen wie "Aufspaltung der konstanten systeminternen Durchschnittsgeschwindigkeit" kann ich nichts anfangen.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Struktron]

Hallo Eugen,

Zitat von Bauhof

für mich leider nicht. Mit Begriffen wie "Aufspaltung der konstanten systeminternen Durchschnittsgeschwindigkeit" kann ich nichts anfangen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Im Weidner / Sells stehen immerhin 40 Seiten zu der Problematik. Deine Arbeitsplattform SRT ist auch nicht gerade kurz. Meine sicher zu starke Vereinfachung kann daher auch nicht den Anspruch einer sofort einsichtigen einfachen Herleitung der Lorentz-Transformation erfüllen.

Wie ich es bei Weidner / Sells verstanden habe, ist die Idee, dass bei beobachteten Systemen innere Geschwindigkeitskomponenten schwingen. Ob wir zur Beschreibung die Thermodynamik oder Quantenfeldtheorie verwenden, ist unwichtig. Immer treten systeminnere Schwingungen auf. Diese sind isotrop verteilt und dem gesamten System ist ein Geschwindigkeitsvektor der gemeinsamen Durchschnittsbewegung überlagert. In diesem "bewegten Kasten" (von mir gerade spontan ausgedachter Begriff) müssen nun die Schwingungen, die im Einheitskreis weiterhin unverändert sind (konstantes c), das System verkürzt erscheinen lassen.
MfG
Lothar W.

[Gwunderi]

Zitat von Struktron

Meine sicher zu starke Vereinfachung kann daher auch nicht den Anspruch einer sofort einsichtigen einfachen Herleitung der Lorentz-Transformation erfüllen.

Hallo Lothar,

Bin leider noch nicht dazu gekommen, Deine Herleitung genauer anzuschauen, weil ich mich mit stundenlangen eigenen Berechnungen verweilt habe. Aus Deinem obigen Zitat und weil sie auch Bauhof als nicht ausreichend für ein Verständnis hält, werde ich aber eh kaum etwas damit anfangen können.

Werde sie mir aber später bestimmt "trotzdem" mal anschauen und eventuell noch nachfragen.

Danke Dir und Grüsslein
Gwunderi

[JoAx]

Zitat von Struktron

Hoffentlich ist es für ein Verständnis ausreichend.

Also, mir gefällt es gar nicht, Lothar.
Ich habe ehrlich gesagt immer noch nicht verstanden, was da gemacht wird.

[Struktron]

Zitat von JoAx

Also, mir gefällt es gar nicht, Lothar.
Ich habe ehrlich gesagt immer noch nicht verstanden, was da gemacht wird.

Erst mal sollten wir uns darüber einig sein, dass die Lorentz-Transformation aus allen möglichen Beobachtungen, zu deren Erklärung sie verwendet wird, hergeleitet werden kann. Wesentlicher Bestandteil ist der Lorentzfaktor. Auf dessen Herleitung können wir uns deshalb hier beschränken? Ein Beispiel für dessen Auftreten ist die Lorentzkontraktion. Können wir nun akzeptieren, dass die Lorentz-Transformation allein aus dem Lorentzfaktor hergeleitet werden kann?

Das Bild zeigt nur den zweidimensionalen Ortsraum. Zeit und Geschwindigkeit stecken in Ortsänderungen. Der Einheitskreis zeigt so gerade die konstante Lichtgeschwindigkeit c. Eigenschaften des Systems werden nun intern nach allen Richtungen mit c übertragen. Ein besonders markierter (beobachtbarer) Punkt würde nun bei der Beobachtung durch einen bewegten Beobachter (mit v nach rechts) so gesehen, als ob er den Einheitskreis an dem Punkt erreicht, welcher der zurückgelegten Strecke -v entspricht. Der definiert über dx/dt = -v über den Satz von Pythagoras auch dy/dt = c / A, was dann nach dem willkürlich so bezeichneten unbekannten Parameter A aufgelöst werden kann.

Meine persönliche Interpretation als Lorentzkontraktion ist dabei aber nicht die einzige mögliche. Genau so gut könnte das System auch von außen betrachtet und die beiden horizontalen und vertikalen Geschwindigkeitskomponenten gemessen werden.

[JoAx]

Zitat von Struktron

Erst mal sollten wir uns darüber einig sein, dass die Lorentz-Transformation aus allen möglichen Beobachtungen, zu deren Erklärung sie verwendet wird, hergeleitet werden kann.

Im Moment ist mir das zu schwammig formuliert. Insbesondere, wenn ich auf die von dir zitierte "Herleitung" schaue.

Zitat von Struktron

Wesentlicher Bestandteil ist der Lorentzfaktor.

Nö.

Zitat von Struktron

Auf dessen Herleitung können wir uns deshalb hier beschränken?

Nö.

Zitat von Struktron

Können wir nun akzeptieren, dass die Lorentz-Transformation allein aus dem Lorentzfaktor hergeleitet werden kann?

Nein.

Zitat von Struktron

Das Bild zeigt nur den zweidimensionalen Ortsraum. Zeit und Geschwindigkeit stecken in Ortsänderungen. Der Einheitskreis zeigt so gerade die konstante Lichtgeschwindigkeit c.

Hmmm....
Die ersten 2 Sätze sind so vorerst ok., aber der dritte .... nicht wirklich. Wie genau wird hier die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit verstanden? Genau, wie die Konstanz der Schallgeschwindigkeit in einem Medium bsw.?

Zitat von Struktron

Eigenschaften des Systems werden nun intern nach allen Richtungen mit c übertragen.

Verstehe nicht.

Zitat von Struktron

Ein besonders markierter (beobachtbarer) Punkt würde nun bei der Beobachtung durch einen bewegten Beobachter (mit v nach rechts) so gesehen, als ob er den Einheitskreis an dem Punkt erreicht, welcher der zurückgelegten Strecke -v entspricht.

Verstehe nicht.

Zitat von Struktron

Der definiert über dx/dt = -v über den Satz von Pythagoras auch dy/dt = c / A, was dann nach dem willkürlich so bezeichneten unbekannten Parameter A aufgelöst werden kann.

Wie ist dy/dt = c/A motiviert?
Was spräche dagegen, statt c - konstante Lichtgeschwindigkeit im Sinne der SRT - eine beliebige Geschwindigkeit (bsw. eines Autos, vAuto = 200 km/h), die im betrachteten Zeitrahmen konstant bleibt, zu nehmen? Wenn das Auto nicht entlang der x-Achse fährt, kann man den Geschwindigkeitsvektor in die x- und y-Komponente zerlegen, so, dass gilt

|vAuto|² = √(vx² + vy²)

Na und? Was hat das aber mit SRT zu tun.

Spinne ich???


Grüße