Abgleich meines Wissens

[Ich]

Zitat von amc

Ich würde gerne irgendwo in etwa lesen, dass die Dauer der "Umrundung" eines 3-Torus von der gewählten Richtung abhängt.

Und was hindert dich daran? Es steht doch da.

Ich frage mich, ob sich das:

http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_o...e_global_shape


nicht ganz einfach auf den eingebetteten Torus bezieht und nicht auf den 3-Torus. Davon gehe ich erstmal aus, da dort ja auch nicht 3-Torus sondern nur Torus steht.

Ich zitiere mal einfach den Kontext mit und markiere bestimmte Schlagwörter, die auch in deiner Frage vorkommen:

Zitat von Wikipedia

If the spatial geometry is spherical, the topology is compact. For a flat or a hyperbolic spatial geometry, the topology can be either compact or infinite: for example, Euclidean space is flat and infinite, but the torus is flat and compact.

In cosmological models (geometric 3-manifolds), a compact space is either a spherical geometry, or has infinite fundamental group (and thus is called "multiply connected", or more strictly non-simply connected), by general results on geometric 3-manifolds.

Compact geometries can be visualized by means of closed geodesics: on a sphere, a straight line, when extended far enough in the same direction, will reach the starting point.

Note that on a compact geometry, not every straight line comes back to its starting point. For instance, a line of irrational slope on a torus never returns to its origin.

Im Einzelnen:
the torus is flat and compact: Wir reden von einem flachen Torus. Kann also schonmal nicht in N+1 Dimensionen eingebettet sein.
geometric 3-manifolds: Wir reden also insbesondere von einem flachen 3-Torus. Dem kosmologischen Modell eben.
a line of irrational slope on a torus never returns to its origin: Auf diesem Torus gibt es Richtungen, in denen man den Ursprung nie mehr trifft.
Und das noch ohne zu erwähnen, dass der Artikel "Shape of the Universe" heißt.
Das Problem ist also weniger, dass das nicht da stünde, sondern vielmehr, dass bei dieser Instanz des Wortes "Torus" nicht auch noch "flat" und "3-" dabeistehen. Was zumindest theoretisch die Möglichkeit offenlässt, dass die Autoren genau hier, ohne es anzukündigen, von etwas ganz anderem sprechen, das mit dem Artikel nichts zu tun hat. Marcus zum Beispiel - wenn ich seine kryptische Andeutung richtig verstanden habe - geht wohl davon aus, dass sie hier von einer geometrischen Form im Phasenraum eines Planetensystems sprechen. (Hört sich nicht wirklich plausibel an, zugegeben, aber da war nur die Andeutung, ich hätte das missverstanden, und der Link auf irgendwelche Leute, die in Bezug auf einen Torus im Phasenraum genau dasselbe bemerken wie der Wikipedia-Artikel.)


Also suchen wir etwas noch konkreteres. Lass mich deswegen nochmal aus dem Planck-Paper zitieren:

The effect of topology is equivalent to considering the full simply-connected three-dimensional spatial slice of the space-time (known as the covering space) as being filled with repetitions of a shape which is finite in some or all directions (the fundamental domain) — by analogy with the two-dimensional case, we say that the fundamental domain
tiles the covering space.

Das ist genau das, was Johann sagt. Das ist auch genau die Geschichte mit Bernd/Pacman/Asteroids, die alle erwähnt haben: Die "fundamental domain" ist ein Rechteck (oder wegen mir Sechseck oder Parallelogramm, aber eben beim besten Willen kein Kreis). Wenn man jetzt eine Gerade durch den "covering space" zieht, dann schneidet die diese Kacheln/Quader/wasauchimmer unterschiedlich, je nach Richtung. Senkrecht oder horizontal immer gleich, unter anderen Winkel im Allgemeinen aber irgendwie nichtwiederholbar.
Deswegen habe ich auch gesagt, du solltest dieses Bild sehr wohl in deine Vorstellungswelt übernehmen, weil es exakt ist.
Dazu noch der Satz, den ich bereits zitiert hatte:

Topological compactification always break isotropy

Das ist nur eine logische Konsequenz aus dem schon gesagten. Es existiert eine Richtungsabhängigkeit.
Und noch deutlicher:

The primary observable effect of a multi-connected universe is the existence of directions in which light could circumnavigate the space in cosmological time more than once

Es gibt also bestimmte Richtungen, in denen das Licht den Raum in kosmologischer Zeit umrunden konnte. Hier kannst du's also tatsächlich wortwörtlich lesen.
Dann noch

This break from statistical isotropy can therefore be used to constrain topological models.

Wieder: Bruch der Isotropie.
Dann:

The main effect of the compactification is that Cpp0 is no longer a function of the angular separation between the pixels p
and p0 only, due to the lack of global isotropy.

Wegen keiner globalen Isotropie also...
Naja, das kommt noch öfter, z.B.

for the topologically non-trivial cases, we see the correlations depend on distance and direction

(Hervorhebung von mir.)
Als letztes noch Fig. 10:

In Fig. 10 we show the log-likelihood for the above T[2;2;2] simulations as a function oftwo of the Euler angles, maximized over the third. We find a strong peak at the correct orientation

(Hervorhebung von mir.)

Wir sehen also, dass genau diese Richtungsabhängigkeit das Mittel ist, mit dem man nach nichttrivialen Topologien sucht.
Ich hätte noch weitere Beispiele, aber irgendwann sollte es reichen, denke ich: Das Standardmodell ist global homogen und isotrop, der flache Torus ist es nicht, weswegen man ihn auch detektieren könnte, wäre er klein genug. Man detektiert ihn aber nicht.

[JoAx]

Zitat von Ich

Wir sehen also, dass genau diese Richtungsabhängigkeit das Mittel ist, mit dem man nach nichttrivialen Topologien sucht.

Das sind ganz genau auch meine Schlussfolgerungen!

Der "Bruch der Symmetrie" ist ja nichts Böses. Es ist entweder vorhanden oder nicht. Punkt. Und das kosmologische Prinzip würde in so einem Fall lediglich fordern, dass alle Beobachter, wo auch immer sie sich im Universum befinden, die selbe Art von "Symmetriebruch" beobachten müssen. Das ist alles.

amc, vergiss erst mal die Flachheit des flachen Torus. In deinem Beispiel hat die Fliege deswegen unterschiedlich lange für die Umrundung ("vertikal" <> "horizontal") gebraucht, weil die Seitenlängen des entsprechenden Rechtecks nicht gleich waren. Das kann beim Universum auch der Fall sein. Guckst du hier :

5.2.1. Topology

In topological studies, the parameters of the model consist of
ΘC, the set of cosmological parameters for the fiducial bestfit
flat cosmological model, and ΘT, the topological parameters
which include the set of compactification lengths Lx; Ly; Lz
for flat toroidal model or the curvature parameter ΩK for curved
spaces, and a choice of compactification T.

(Hervorhebung von mir)

Darum ging's mir aber nicht. Sondern um Richtungen, die weder "horizontal" noch "vertikal" sind. Der rote Weg hier:

flacherTorusWege2.jpg

Das alles ist weniger mysteriös, als du im Moment denkst.


Grüße

[amc]

Zitat von Ich

Und noch deutlicher:

Es gibt also bestimmte Richtungen, in denen das Licht den Raum in kosmologischer Zeit umrunden konnte. Hier kannst du's also tatsächlich wortwörtlich lesen.

Ich steig hier erstmal aus. Darum gings mir nicht. Das ist unbestritten so.

Grüße, amc

[Bauhof]

Zitat von amc

Wenn du mir solche Antworten gibst, steig ich hier erstmal aus. Darum gings gar nicht. Das ist unbestritten.

Grüße, amc

Hallo AMC,

hier in diesen Thread geht es um den Abgleich des Wissens von Eyk van Bommel:

Gehe ich recht in der Annahme, dass man das 3D-Universum wie ein 2D-Sphäre in einem 3D-Raum begreifen kann?

Was hier Eyk eingangs gefragt hat, darum geht es hier vermutlich schon lange nicht mehr. Deshalb schlage ich vor, das du (oder ICH) ein neues Thema mit einem aussagekräftigen Titel eröffnest. Dann kannst du in einem Beitrag darlegen, warum es dir geht. Solche Titel wie "Abgleich meines Wissens" sollte man überhaupt nicht wählen.

M.f.G Eugen Bauhof

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

Solche Titel wie "Abgleich meines Wissens" sollte man überhaupt nicht wählen.

Das sehe ich auch so. Ein Threadtitel sollte schon den Inhalt widerspiegeln.

[Marcus Ulpius]

Hallo Johann,

wir diskutieren einen topologischen Sachverhalt ->
Sind ein 3D-Würfel und eine 3D-Kugel homöomorph?

wkr
Marcus

[JoAx]

Zitat von Marcus Ulpius

Sind ein 3D-Würfel und eine 3D-Kugel homöomorph?

Ja, Marcus, sie sind homeomorph.

[Marcus Ulpius]

Kann man beide Körper in dem von dir in die Diskussion eingebrachten Sinne parkettieren, Johann?

Schönes Wochende
Marcus

[JoAx]

Zitat von Marcus Ulpius

Kann man beide Körper in dem von dir in die Diskussion eingebrachten Sinne parkettieren, Johann?

Ich sage - nein.

Schönes WE.

[Marcus Ulpius]

Hallo JoAx,

wenn es Dich tatsächlich interessiert informiere Dich z.B. über "hexagonal cubes" bzw. Kuben höherer Ordnung (und deren "Verklebungsmöglichkeiten").
Literatur darüber ist allerdings zugegebenermaßen rar.

Und in eigener Sache:
Ich bitte um Löschung meines Accounts.
Falls das nicht gehen sollte bitte ich um Sperrung meines Accounts.

Und um entsprechenden Tipps entgegenzuwirken: Einfach nur nicht mehr zu schreiben und seinen Account löschen/sperren zu lassen ist von unterschiedlicher Qualität.

Danke!

wkr
Marcus