Math - Wer war Ernst Schroeder?

[richy]

Ernst Schröder (* 25. November 1841 in Mannheim; † 16. Juni 1902 in Karlsruhe; vollständiger Name Ernst Friedrich Wilhelm Karl Schröder) war ein
deutscher Mathematiker und Logiker ...

http://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_S...athematiker%29

Obwohl ich in Karlsruhe wohne war mir der Name Ernst Schroeder bis gestern kein Begriff. Natuerlich gibt es hier eine Carl Benz, Heinrich Herz ... oder Drais Schule. Im Stadtwiki KA wird der Mathematiker Ernst Schroeder jedoch nichteinmal am Rande erwaehnt.
Was gibt es ueber Herrn Schroeder zu berichten ? Einige Details im WIKI Eintrag sind schon bemerkenswert und haetten meiner Meinung nach wenigstens fuer eine Ernst Schroeder Strasse ausreichen koennen Besonders folgender Abschnitt hat mich besonders interessiert :

Zitat von Wiki

In seiner Arbeit "Ueber iterirte Functionen" aus dem Jahre 1871 untersuchte er die heute nach ihm benannte Schrödersche Funktionalgleichung, die in der Komplexen Dynamik eine wichtige Rolle spielt.

Fuer die Schroedersche Funktionalgleichung F(h(x)) = sF(x) gibt es keinen eigenen deutschen, jedoch einen englischen Wiki Eintrag :
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%27s_equation

Zitat von Schroeder's Equation

It is used to analyse discrete dynamical systems by finding a new coordinate system in which the system (orbit) generated by h(x) looks simpler.

More specifically, a system for which a discrete unit time step amounts to x → h(x), can have its smooth orbit (or flow) reconstructed from the solution of the above Schröder's equation, its conjugacy equation.
That is, h(x) = Ψ−1(s Ψ(x)) ≡ h1(x) ....

Mit Ψ-1 ist natuerlich die Inverse gemeint. Da war doch was

Zur Teilloesung der logistischen Gleichung wird hier bemerkt :
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

Zitat von mathworld

... In general, this recurrence equation cannot be solved in closed form. Wolfram (2002, p. 1098) has postulated that any exact solution must be of the form
...

Wolfram hat fuer seine Loesungen somit eine Form der Schroeder Gleichung verwendet. Mehr noch :

Ernst Schroeder hat bereits 1871 in seiner Arbeit "Ueber iterirte Funktionen" die logistische Gleichung fuer die beiden Faelle r=2 und r=4 geloest.

Und wo ? Hier in Karlsruhe. Dirket vor meiner Nase. *zusammenbrech.
In der Unibibliothek war ich frueher fast jeden Tag. Ich haette mir dort nur Schroeders Arbeit ausleihen muessen und mir damit 20 Jahre Knobelarbeit erspart.
Hier stehts explizit :

Zitat von Schroeders Equation

For example,[11] special cases of the logistic map such as the chaotic case h(x) = 4x(1 − x) were already worked out by Schröder in his original paper[1] (cf. p. 306),
Ψ(x) = arcsin^2(√x), s = 4,
and hence ht(x) = sin^2(2t arcsin(√x)) ...

Wie man die Loesungen herleiten kann weiss ich inzwischen. Hierzu liefert diese Seite der Universitaet von Miami noch einige theoretische Ueberlegungen :
http://server.physics.miami.edu/~cur...Schroeder.html
Dort findet sich dazu ein Hinweis aus dem man schliessen koennte, dass Schroeders Loesung wohl ueber Jahre hinweg einfach uebersehen oder ignoriert wurde.

Zitat von edu.miami

For a thorough discussion of the s = 4 logistic map, among other things, see J.V. Whittaker, "An Analytical Description of Some Simple Cases of Chaotic Behaviour" in The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 6 (Jun. - Jul., 1991), pp. 489-504. However, this paper does not cite E. Schröder who found and published the exact solutions of the s = 2 and s = 4 maps in the early 1870s.

Ein schwacher Trost