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  #11  
Alt 06.06.11, 20:28
quick quick ist offline
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Standard AW: Wer war Ernst Schroeder ?

Hallo Hawkwind,

Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Vielleicht ist ja auch Ed Schröder gemeint?
http://www.schach-computer.info/wiki...C3%B6der%2C_Ed
Nur zur Klarstellung, meine Bemerkung bezog sich auf das Patent von Andreas Varesi.
Dieser hat mit den Schröders hier eigentlich nichts zu tun.
Dein Link war trotzdem interessant. Er ließ mich mit ein bischen Wehmut an meinen ersten Computer mit einem Z80-Prozessor und "gigantischer" 16k-Erweiterung erinnern.

mfg
quick
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  #12  
Alt 07.06.11, 03:45
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Wer war Ernst Schroeder ?

Hi Eugen

Klar habe ich nichts dagegen, wenn du den Thread umbenennst. Das Kuerzel "Mathe" wuerde fuer die Suchfunktion wohl schon ausreichen. Ich habe noch eine andere Idee. Ich koennte einfach einen Thread z.B. "Matheindex" erstellen in dem ich zunaechst mal Links zu alten Threads mit "mathematischem" Inhalt von allen Teilnehmern sammle. Den kann man immer aktualisieren und wenn es wirklich mal eine eigene Rubrik dafuer gaebe, waere es sehr einfach bisherige Threads dorthin zu verschieben. Wobei der Ausdruck "Mathematik" meiner Meinung uebertrieben waere . "Mathematische Plauderecke" waere angemessener. Aufgrund der Schroederschen Funktionalgleichung habe ich im www etwas gegoogelt. Es waere wie vermutet tatsaechlich eine falsche Vorstellung, dass im Bereich der Chaostheorie besser nichtlinearen Systemdynamik die Forschungsarbeit nachgelassen haette. Es hat lediglich das oeffentliche Interesse daran nachgelassen. Das finde ich irgendwie schade, weil es damit auch kaum Quellen zu neueren Ergebnissen gibt, die diese leicht verstaendlich widergeben. Leider bin ich kein Mathematiker, so dass ich den theoretischen Abhandlungen derselben in deren Sprache leider auch nicht folgen kann. Dem Sinn der "Schroeders Equation" kann ich gerade noch folgen, weil ich die Loesungen auf anderem vereinfachtem Weg mittels Substitution hergeleitet habe :
http://home.arcor.de/richardon/richy...010/lsgana.htm
Die Ascii Formelschreibweise mag ein wenig abschrecken, aber es handelt sich tatsaechlich lediglich um eine Substitution. Die einzigste Schwierigkeit besteht darin eine solche zu finden, so dass die Differenzengleichung in der neuen Variablen linearisiert ist.

WICHTIG FUER DAS VERSTAENDNIS
Die oben genannte Schwierigkeit hatte ich bereits zuvor auf ganz anderem Wege geloest. Mittels einer einfachen graphischen Anschauung die fuer r=2 zur Loesung der logistischen Gleichung fuehrt. Man benoetigt hierzu lediglich den Fundamentalsatz der Algebra :

In der Form, dass jedes Polynom vom Grad n :
p(x,n)=a_n*x^n+a_n-1*x^(n-1)...+a2*x^2+a1*x+a0
ueber seine n Nullstellen/Wurzeln darstellbar ist in der Form
p(x,n)=c*(x-xn)...*(x-x2)*(x-x1)
Das ist Schulmathematik.

Noch leichter laesst sich ueberlegen, dass sich mittels einer "Koordinatentransformation" ein Polynom beliebig horizontal verschieben laesst. p'(x)=p(x)-k
Damit ist jedes Polynom ueber die Schnittpunkte mit einer beliebigen Konstanten g(x)=konstant (Paralelle zur x Achse) eindeutig bestimmt.
Mehr benoetigt man nicht um die logistische Gleichung fuer den Fall r=2 zu loesen. Reine Schulmathematik.

Die logistische Abbildung lautet :
y(n+1)=r*y(n)*(1-y(n))=r*y(n)-r*y(n)^2
mit folgendem wichtigem Zusatz : y(0)=[0..1]

Es handelt sich somit nicht um eine eindimensionale Aufgabenstellung fuer die (zeitliche, diskrete ) Variable n, sondern die Iteration kann natuerlich fuer beliebige Startwerte y(0) aus dem Intervall [0..1] durchgefueht werden. Das erscheint zunaechst trivial, aber es ist selbstverstaendlich, dass keine spezielle Loesung fuer ein spezielles y(0) gesucht ist, sondern eine Loesung fuer alle Startwerte. y(0) darf somit nicht als ein einzelner Punkt betrachtet werden, sondern stellt selbst schon eine "Funktion" dar. Indem y(0) alle Anfangswerte repraesentiert.
y(n+1,y(0))=r*y(n,y(0))*(1-y(n,y(0)))=r*y(n,y(0))-r*y(n,y(0))^2

Eine Iteration laesst sich somit zweidimensional allgemein charakterisieren als :
y(n+1,y(0))=h(y(n,y(0))
Als Repraesentant aller Anfangswerte stellt y(0) vereinfacht die 45 Grad Linie dar. Das Start-Polynom 1 ter Ordnung. Auf diesem Prinzip basieren die meisten mathematische Betrachtungen.
Im folgenden moechte ich auch auf diesem Prizip aufbauen um die Betrachtung nicht unnoetig zu verkomplizieren.

Betrachten wir einfach die Polynome der klassischen logistischen Abbildung p(n+1)=F(p(n)). Wir sehen, dass deren Grad in jedem Iterationsschritt verdoppelt wird. Welche Schnittgerade wir auch waehlen, wir koennen fuer die Schnittpunkte und damit fuer die Synthese des Polynoms kein Gesetz einfach herleiten. Ausgenommen fuer den Fall r=2 ! :



Die Grafik ist im Prinzip selbsterklaerend und der "Nachweis", dass das Polynom die Gerade y=1/2 genau in einem Punkt schneidet ist recht einfach :
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/lsg2.htm

Zitat:
Ich selbst z.B. könnte mit dir nicht auf gleicher mathematischer Augenhöhe diskutieren.
Das ist quatsch. Obiges ist Schulmathematik.
Die logistische Abbildung erzeugt fuer r=2 Polynome, die die Konstante y=1/2 stets im Punkt 1/2 schneidet und sonst in keinem andern. D.h. ein Polynom der Ordnung n tangiert diese Konstante mit der Vielfachheit n. Und damit hat dieses Polynom eine Form p(n)=c*(x-1/2)^(2^n)
Und damit laesst sich die logistische Gleichung fuer den Fall r=2 mit Schulmathematik einfach loesen.

Ok, darauf muss man auch erstmal kommen, aber wirklich kompliziert ist das nicht. Wie bin ich dann weiter vorgegangen ? Im Forum hier habe ich letztes Jahr versucht rein formal Loesungsmethoden von Differentialgleichungen auf Differenzengleichungen zu uebertragen. Dabei wird man sehr schnell erkennen, dass dies einem Vergleich von Aepfeln mit Birnen gleichkommt.
Ebenso verhaelt sich eine diskretisierte Raumzeit zu einer kontinuierlichen Raumzeit.
Dann habe ich einfach mal ausprobiert welche formalen Vereinfachungen sich in der logistischen Gleichung fuer den Fall r=2 mittels Substitution ergeben.
Dies fuehrt zu der extrem komprimierten einfachen Loesung mittels Substitution die ich auf meiner Webseite dargestellt habe. Dann bin ich auf Wolframs Loesung fuer den Fall r=4 gestossen. Den kann man ebenfalls analytisch mittels Substitution erklaeren. Aber es steckt wohl noch sehr viel mehr dahinter.

Ich gehe hier somit rueckwaerts vor. Vom anschaulichen mir noch zugaenglichen hin zum mathematisch abstrakten.


Schroedingers Equation :
F(h(y)) = s*F(y)

laesst sich umschreiben zu

F(h(y))
------- = s, wobei s wohl einen Parameter darstellt
F(y)

Ueber die Bedeutung von h(y) oderr h(x) gibt folgendes Zitat Auskunft :

Zitat:
More specifically, a system for which a discrete unit time step amounts to x → h(x), can have its smooth orbit (or flow) reconstructed from the solution of the above Schröder's equation
Repraesentiert y(n) einen Systemzustand zum Zeitpunkt n, so beschreibt h(y(n)) den Systemzustand zum Zeitpunkt n+1 : h(y(n))=y(n+1)
h(y(n)) waere somit die Uebertragungsfunktion der Iteration.


F(y(n+1))
----------- = s
F(y(n))

(die Loesung ist dann einfach F(y(n))=y(0)*s^n)

Wie man einfach sieht habe ich genau diese Form mittels geeigneter Substitution in meinem Loesungsbeispiel (r=2) erzeugt.

ln(1-2*y(k+1))
----------------- =2
ln(1-2*y(k))


Tatsaechlich fuehrt die Substitution auf die Schroedinger Funktionalgleichung. Fuer die logistische Abbildung mit r=2 mit F(y)=ln(1-2*y)

Geändert von richy (07.06.11 um 17:08 Uhr)
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  #13  
Alt 07.06.11, 04:36
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Standard AW: Wer war Ernst Schroeder ?

Hi quick
Zitat:
Dein Link war trotzdem interessant. Er ließ mich mit ein bischen Wehmut an meinen ersten Computer mit einem Z80-Prozessor und "gigantischer" 16k-Erweiterung erinnern.
Den Link von Hawkwind habe ich auch mit grossem Interesse verfolgt.
Letzenlich habe ich den Memphisto Mondial II dann inclusive Netzteil ueber den Sperrmuell entsorgt. Und bereuhe dies in keinster Weise.

Gruesse

Geändert von richy (07.06.11 um 14:26 Uhr)
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  #14  
Alt 07.06.11, 08:46
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Standard AW: Wer war Ernst Schroeder ?

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Klar habe ich nichts dagegen, wenn du den Thread umbenennst. Das Kuerzel "Mathe" wuerde fuer die Suchfunktion wohl schon ausreichen.
Hallo richy,

du hast recht, das Präfix "Mathe" wird ausreichen.
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Ich habe noch eine andere Idee. Ich koennte einfach einen Thread z.B. "Matheindex" erstellen in dem ich zunaechst mal Links zu alten Threads mit "mathematischem" Inhalt von allen Teilnehmern sammle. Den kann man immer aktualisieren und wenn es wirklich mal eine eigene Rubrik dafuer gaebe, waere es sehr einfach bisherige Threads dorthin zu verschieben.
Eine gute Idee. Das wäre eine große Hilfe. Ausserdem könnte dann ein zukünftiges Unterforum "Mathematik" schon mit einer großen Sammlung von Mathe-Themen starten.
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Wobei der Ausdruck "Mathematik" meiner Meinung uebertrieben waere.
Finde ich nicht. Ich hatte mich da sogar noch viel weiter aus dem Fenster gelehnt, indem ich als Untertitel
"Vom Phytagoras bis zur Riemannschen Vermutung"
für das Mathe-Unterforum vorschlug.

M.f.G. Eugen Bauhof
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  #15  
Alt 07.06.11, 09:50
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Standard AW: Wer war Ernst Schroeder ?

Zitat:
Zitat von Bauhof Beitrag anzeigen
Vermutung
Na da bring ich doch gleich mal eine (seit 1742 unbewiesene Vermutung) für die Freunde der Primzahlen:

Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.

Gruß EMI
__________________
Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.
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  #16  
Alt 07.06.11, 16:13
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richy richy ist offline
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Standard AW: Wer war Ernst Schroeder ?

Zitat:
Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.
Ach, wenns weiter nichts ist :-)
http://www.spiegel.de/wissenschaft/m...598096,00.html
Zitat:
Beispiele: 8=5+3, 22=11+11 und 100=53+47. An einem Beweis scheiterte Euler genauso wie alle seine Nachfolger in den nächsten 266 Jahren. Bis heute haben sich die Mathematiker zwar an die Vermutung herangepirscht, an einem vollständigen Beweis bissen sich indes auch die größten Meister die Zähne aus.
Sicherlich hat der gute Euler etwas uebersehen
Gruesse
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