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  #1  
Alt 04.11.11, 17:18
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Standard Math Verhulst Mandelbrotform

Zusammenfassung und Ergaenzung eines Thread (ohne Math Kennung) vom September 2010.

Der Loesungsansatz der Verhulst Gleichung besteht aus zwei Koordinatentransformationen. Eine lineare Transformation
T1: z(k)=p-q*z(k)
sowie eine nichtlineare Substitution, Transformation :
T2: s(k)=g{z(k)}

Beispiel:
Fuer a=2 wird y(k+1)=2*y(k)*(1-y(k)) mittels z(k)=1-2*y(k) transformiert nach :
z(k+1)=z(k)^2
Mittes der nichtlinearen Transformation T2 s(k)=ln(u(k)) laesst sich die Gleichung linearisieren und loesen
ln(z(k+1))=2*ln(z(k))
s(k+1)=2*s(k), s(k)=s(0)*2^k

Fuer a=4 fuehrt folgende Aequivalenz zur Loesung :
************************
arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)|
**************************

Fuer die Verhulstgleichung stellt T1 : z(k)=1-2*y(k) einen Spezialfall dar, denn die transformierte Gleichung enthaelt dann nur noch das quadratische Glied y(k)^2 und kein lineares Glied y(k) mehr. Die modifizierte Verhulst Gl entspricht dann einer allgemeineren Form der Mandelbrotiteration.

Laesst sich eine andere Substitution z=p-q*y finden fuer die das lineare Glied verschwindet ?

Eine kleine allgemeine Substitutionsrechnung zeigt :

y1:=a*y*(1-y); # Die Substitution T1 lautet : z=p-q*y aufgeloest nach y :
y:=1/q*(p-z);
p1:=solve(1/q*(p-z1)=y1,z1); # p1 enthaelt die neue Gleichung z(k+1)=....
collect(p1,z^2); #Darstellung z(k+1)=a*z(k)^2+b*z(k)+c
fuehrt auf die Bedingung :
b=(-2*a*p+a*q)/q=0
die lediglich erfuellt ist fuer q=2*p
=>
Um das lineare Glied zu unterdruecken muss in der Substitution z=p-q*y die Bedingung q=2*p erfuellt sein.

Setzt man die Bedingung ein, erhaelt man :

z[k+1]=1/2*a/p*z^2 - 1/2*(-2*p^2+a*p^2)/p
Wie laesst sich die Konstante eliminieren ?
-1/2*(-2*p^2+a*p^2)/p=0
hat lediglich die Loesung a=2

=>
Es gibt keine weitere lineare Substitution die lineares Glied und Konstante eliminiert ausser 2


Die spezielle Transformation z=1-2*y
***************************
Berechnen der transformierten Gleichung :
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))

Substitution :
**********
z=1-2*y(k),
y(k)=1/2*(1-z(k))
y(k+1)=1/2*(1-z(k+1))

1/2*(1-z(k+1))=a*1/2*(1-z(1))*(1-1/2*(1-z(k+1)));
...

****************************
z(k+1) = 1/2*a*(z(k)-1)*(z(k)+1)+1
****************************
Der Wertebereich ist nun -1..1

Formuliert man die Verhulst Populationen in dieser Form, sieht man sofort, dass fuer a=2 sich ergibt :
z(k+1) = z(k)^2-1+1 = z(k)^2

Geändert von richy (04.11.11 um 22:15 Uhr)
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  #2  
Alt 04.11.11, 17:30
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Beispiele der verketteten Polynome der modifizierten Verhulst Gleichung

z(k+1) = 1/2*a*(z(k)-1)*(z(k)+1)+1





Graphische Problemerfassung
Zitat:
Diskussion der Grafiken :
Fuer a=2 erhaelt man 2^n fache Nustellen. Fuer a=4 sieht man eine Frequenzerhoehung zu den Raendern der Kettenpolynomdarstellung. Diese laesst sich ueber eine geeignete arccos Transformation des Darstellungsbereiches voellig kompensieren. Damit lassen sich fuer a=4 die Nullstellen dann analytisch formulieren. Fuer a=1+Wurzel(5) tangiert ein Attraktor die Nullachse. Man sieht aber ebenso, dass es sich leider nicht nur um zwei mehrfache Nullstellen handelt. Das kann man auch ausrechnen.
Die Rechteckfunktion erhoeht ihre Frequenz hin zu den Raendern des Darstellungsbereiches. Es liegt eine Mischform vor.
Weitere Problematik fuer a=1+Wurzel(5) :
Der Schnittpunkt z.b des 4 er und 2 er Repulsors teilt das Signal nicht in zwei gleiche Amplitudenhaelften wie bei a=4.
Im Grunde muesste man sich eine Strategie im Nullstellenplan ueberlegen, also ueber die rekursive Iteration, durch welche Transformation man am besten zu "handelnde" Nullstellen erzeugt.
Feigenbaumdiagramm der modifizierten Iteration :


Geändert von richy (04.11.11 um 17:34 Uhr)
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  #3  
Alt 04.11.11, 17:38
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Einige Spezialfaelle der modifizierten Gleichung :



Fuer a=1+Wurzel(n), n=1..9
ergibt sich allgemein :

z(k + 1) = 1/2*(1+Wurzel(n))*z(k)^2 + 1/2*(1-Wurzel(n))

rationale Faktoren
n=0, a=1,
z(k + 1) = 1/2*z(k)^2+1/2

n=1, a=2, geloest
z(k + 1) = z(k)^2

n=4, a=3
z(k + 1) = 3/2*z(k)^2 -1/2


n=9, a=4, geloest
z(k + 1) = 2*z(k)^2 -1


besonderer irrationaler Faktor

n=5, a=1+Wurzel(5)
z(k + 1) = Psi*z(k)^2 + Psi (Psi<0)


weiteres offenes Konzept
*******************
Laesst sich lediglich die Konstante eliminieren ?

-(-p*q+a*p*q-a*p^2)/q=0

hat die Loesung :

p =q*(a-1)/a
***********
(das ist q mal dem Hauptattraktor der Gleichung)

setzt man die Bedingung ein ergibt dies Gleichungen :

a/q*z^2-(q*a-2*q)/q*z
******************

mit dem besonders einfachen Fall fuer q=a
**********
z^2-(a-2)*z
**********
die Substitution hierfuer war :
y=1/a*(a-1-z)
z=(a-1) - a*y

Interessant ist auch
y=1/a*(a-1-exp(z))
dies fuehrt auf
ln(-a*exp(z)+2*exp(z)+exp(2*z))
(damit hat man die 2 te Substitution gleich mit eingebaut)

Zusatzgedanke zu 1+sqrt(5) :

**********************
Kettenbrueche koennte man umgehen, indem man versucht die Rechteckfunktion als Fourierreihe darzustellen. Ein grosser Nachteil ist in dem Fall, dass es eine implizite Loesung waere . Denn was ist die Umkehrfunktion einer Rechteckfunktion ? Letzendlich sind das die Attraktoren. Ein weiterer Aspekt : Im Gegensatz zu Wolframs r=4 Loesung bleibt die Frequenz konstant. 2^n geht nicht in die Frequenz, sondern wohl in die Anzahl der Summanden ein.

EDIT 2011
Man koennte dies evtl umgehen wenn man eine Fouriertransformation formuliert bei der die Frequenz zu den Intervalenden hin moduliert wird.

Ebenso koennte man das Rechteck ueber zwei verschobene r=2 Faelle ausdruecken.
ln oder arccos das ist die Frage. Wahrscheinlich ist es eine "Mischung" aus beidem, die
nicht analytisch, geschlossen dargestellt werden kann.

Von besonderem Interesse :
*********************
Darstellung der Nullstellen der modifizierten Gleichung ueber die Rueckwaertsiterierte.

Geändert von richy (04.11.11 um 22:19 Uhr)
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  #4  
Alt 04.11.11, 17:51
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Herleitung der Gleichung

arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x|

ueber den komplexen Logarithmus : (Es existieren auch arccos Additionstheoreme)


(Diese kann man sich auch aus den Ableitungen herleiten, der Gaussschen Zahlenebene: z=cos(u))

Rechte Seite
2*arccos(z)=-i*2*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
Im ln() entspricht der Faktor 2 gleich dem Quadrat des Arguments :
2*arccos(z)=-i*ln( (z+i*wurzel(1-z^2))^2 )
2*arccos(z)=-i*ln( z^2 + i*2*z*wurzel(1-z^2) -(1+z^2) )
2*arccos(z)=
-i*ln( 2*z^2-1 + i*2*z*wurzel(1-z^2) )
*************************************************

Linke Seite
Einsetzen des Arguments 2*z^2-1 in den Logarithmus
arccos(2*z^2-1)=-i*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
arccos(2*z^2-1)=-i*ln( (2*z^2-1) + i*wurzel(1-(2*z^2-1)^2))
Der Ausdruck 2*z^2-1 stimmt bereits ueberein, so dass nur noch das Argument der Wurzel betrachtet werden muss :
1-(2*z^2-1)^2)=
1-(4*z^4-4*z^2+1)=
4*(-z^4+z^2)=
z^2*2^2*(1-z^2)
Den Faktor vor der Summe kann man aus der Wurzel ziehen und man erhaelt :
arccos(2*z^2-1)=
-i*ln( 2*z^2-1 + i*2*z*wurzel(1-z^2)
*************************************************

Linke und rechte Seite sind somit gleich und die Gueltigkeit im interessierenden Bereich gezeigt.

Geändert von richy (07.06.12 um 00:22 Uhr)
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  #5  
Alt 04.11.11, 19:35
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Herleitung ueber Additionstheorem der Arccos-Funktion

arccos(x)+arccos(y)=arccos(x*y-sqrt(1-x^2)*(sqrt(1-y^2)), x+y>=0
arccos(x)+arccos(y)=2*Pi-arccos(x*y-sqrt(1-x^2)*(sqrt(1-y^2)), x+y<0

http://www.matha.rwth-aachen.de/lehr...na2/formel.pdf

2*arccos(x)=arccos(x)+arccos(x)
arccos(x)+arccos(x)=arccos(x*x-sqrt(1-x^2)*(sqrt(1-x^2))=
arccos(x)+arccos(x)=arccos(x^2-(1-x^2)*)=
arccos(x)+arccos(x)=arccos(2*x^2-1)


Randbemerkung :
Folgende DZGL ist somit loesbar
f[k]=f[k-1]*f[k-2]-sqrt(1-f[k-1]^2)*(sqrt(1-f[k-2]^2)
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  #6  
Alt 06.11.11, 04:31
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Die Loesung fuer a=-2
Sucht man nach weiteren Parametern a,p,q die nach 2*z^2-1 fuehren erhaelt man die bereits gewonnene Bedingung :
Zitat:
Um das lineare Glied zu unterdruecken muss in der Substitution z=p-q*y die Bedingung q=2*p erfuellt sein.
Dies fuehrte auf die Gleichung :
z[k+1]=1/2*a/p*z^2 - p/2*(a-2)
Darin soll gelten 1/2*a/p*z^2=2*z^2 =>
a=4*p

a=4*p eingesetzt in die Konstante -p/2*(a-2) ergibt
-p/2*(4*p-2) es soll gelten
-p/2*(4*p-2)=-1
dies fuehrt zu den Loesungen :
p1=-1/2 , p2=1, p2 fuehrt zu dem bekannten Fall a=4 und p1 zu a=-2

Geändert von richy (06.11.11 um 05:04 Uhr)
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