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  #11  
Alt 12.11.11, 18:24
Benutzerbild von mermanview
mermanview mermanview ist offline
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Registriert seit: 05.09.2011
Beiträge: 271
Standard AW: Verhulst und Kunst

Hallo richy,

.. juhu, dangedange :- )

Ursprünglich wollte ich eine Aussage meines damaligen (guten) Mathelehrers widerlegen:

"Es gibt keine Funktionsgleichung, deren Funktionsgraph die Sinuskurve darstellt"

Gelungen sind mir zumindest die Näherung der Sinus- und Kosinuswerte.

Mein gedanklicher Beitrag dabei waren die Koordinaten des ersten, gewählten Kreisabschnittes für den Kosinus von 1°.

x1 = 1 - r²/2 = cos(1°)

Ich bin davon ausgegengen, dass man die Längendifferenz zwischen Sekantenabschnitt und Kreisabschnitt zwecks Näherung vernachlässigen kann, wenn
man den Kreisabschnitt klein genug wählt, also nahm ich zunächst einen Kreisabschnitt von 1°, dieser entspricht der Länge von Pi/180.

Mit dem Wert als Radius schlug ich einen Konstruktionskreis um den Punkt (1|0), so dass dieser Konstruktionskreis einen gemeinsamen Punkt mit dem Einheitskreis um (0|0) bildet.

Die Gleichsetzung der beiden Kreise ergibt die genäherte x-Koordinate für cos(1°):

Wurzel(1-x²) = Wurzel(r² - (1-x)²)

=> x = 1 - r²/2.

(r = Pi/180)


Alles weitere (die Iterationsformel) entstand beim drehen und konstruieren mit Vektoren, um weitere "1°-Dreiecke" übereinander zu legen.

Dass dabei ein Additionstheorem entstand, war nicht beabsichtigt, da ich den Begriff vorher garnicht kannte.

Da ich eine Gleichung wollte (y=f(x)), ist in meiner Formel alles mit x bzw. dem Konstruktionsradius r als Konstante dargestellt:



Hier das Additionstheorem, dahinter meine Formel für den Kosinus, (darunter der Sinus)







beide Formeln beinhalten das Gleiche, meine sieht komplizierter aus, kommt aber mit nur einer Variablen (und einer Konstanten) aus.


Habe diese Methode damals bei Wiki gepostet, als einfache Herleitung, da viele Wiki_Surfer nach so etwas fragten.
Dort wurde ich von den Mathematikern etwas verschnupft darüber aufgeklärt, dass es ein Additionstheorem darstellt.
War bloß schlichte Geometrie mit ein wenig Näherungspfusch, der kommt bei Pi- Verwendung aber immer in's Spiel.


Eine Frage die ich mir noch stelle:
Da sich im Kreis die Steigung stets um den gleichen Betrag ändert, müsste sinus&co doch eigentlich noch einfacher herzuleiten sein


soweiterstmal

Danke, Gruß Merman

PS: Ich hoffe das angehängte Bild ist verständlich
Anhang 304
Angehängte Grafiken
Dateityp: jpg sinusbuild.jpg (8,6 KB, 4x aufgerufen)

Geändert von mermanview (21.11.11 um 17:32 Uhr)
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