Kollision trotz parallelem Kurs?

[SCR]

Hallo zg,
Also lautet Deine Antwort a): "Ein Vollzylinder (mit Vollzylinder-Oberfläche = 2*Pi*r *h + 2*Pi*r²) ist tutto completto ungekrümmt"
- Oder was?

Nur zur Erinnerung - Es geht hier schließlich um die Wurst bezüglich der Batzen-Topologie :

Zitat von zeitgenosse

In Bezug auf die Metrik ist es allerdings so, dass - wenn die Wurst wie ein Zylinder aussähe -, in diesem Fall eine euklidische Geometrie existent wäre. Denn Zylinderoberflächen lassen sich besonders einfach auf einer Ebene abrollen und umgekehrt aus einem Rechteck herstellen. Sie erben damit die euklidische Metrik und besitzen demzufolge die Krümmung k = 0.

[Bauhof]

Zitat von zeitgenosse

Ob Vollzylinder oder Hohlzylinder ändert nichts an dessen 'innerer' Krümmung. Diese wird im vorliegenden Beispiel anhand der Mantelfläche bestimmt; demzufolge ist K = 0. Allenfalls vorliegende Stirnflächen sind bereits euklidisch flach und müssen daher nicht gesondert berücksichtigt werden. Gr. zg

Hallo zeitgenosse,

volle Zustimmung.
Vielleich noch folgendes zum allgemeinen Verständnis: Die äußere Krümmung eines Raumes kann nur mit Hilfe eines höherdimensionalen Raumes bestimmt werden, in dem der betrachtete Raum 'eingebettet' ist.

Den Unterschied zwischen innerer und äußerer Krümmung kann man sich anhand dieses Beitrags

http://de.wikipedia.org/wiki/Raumkr%..._Kr.C3.BCmmung

klarmachen. Zur Bestimmung der inneren Krümmung benötigt man keinen einbettenden höherdimensionalen Raum.

M.f.G. Eugen Bauhof

[SCR]

Sagt einmal - man sollte glaube ich "Werken" als Pflichtfach im Physikunterricht vorschreiben.

Wie rollt Ihr denn einen Vollzylinder (inkl. Boden und Deckel) aus Papier in eine Ebene ab?

Ihr macht einen Schnitt längs der Mantelfläche (sozusagen "von oben nach unten aufschlitzen") - O.K. Damit kann man den Zylinder aber noch lange nicht abrollen.
Hierzu muß man zuerst noch die Kreisflächen "bearbeiten":
a) Entweder "abschneiden / einen Verbindungs-Punkt stehen lassen" oder
b) - und das macht die positive Krümmung besonders deutlich - man schneidet die beiden Kreisflächen in Tortenstücke (Je mehr Stückchen das sind, umso geringer wölbt sich dann am Ende noch was beim flachen Hinlegen nach oben).
Was liegt im Fall b) zum Schluß dann vor einem? Ein Rechteck mit Sägezähnen an beiden Seiten. Und Sägezähne "mit Luft dazwischen" sind nun einmal gleichbedeutend mit positiver Krümmung - Wie bei einer Apfelsine die man schält.

Bin ich denn hier allein im Wald?

[Bauhof]

Zitat von SCR

Bin ich denn hier allein im Wald?

Hallo SCR,

ja, das scheint so.
Verinnerliche mal die innere Krümung, die der Zeitgenosse nun schon oft erwähnt hat.

M.f.G. Eugen Bauhof

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Bin ich denn hier allein im Wald?

Wenn du dich absichtlich dumm stellst, verzichte ich fortan auf weitere Erklärungshilfen.

Gr. zg

[zeitgenosse]

Zitat von Bauhof

Zur Bestimmung der inneren Krümmung benötigt man keinen einbettenden höherdimensionalen Raum.

Ja, das ist Bestandteil des 'Theorema egregium' (= herausragender Satz) aus der Gaußschen Flächentheorie.

Für weitere Mitleser:

Präzise ausgedrückt lässt sich die Gausskrümmung durch die metrischen Koeffizienten g_ik und ihre Ableitungen bestimmen, d.h. die Krümmung ist nur von der inneren Geometrie des betreffenden Körpers und nicht vom umgebenden Raum abhängig.

Die Gaußsche Krümmung ist das Produkt der beiden extremalen Normalschnittkrümmungen. Man spricht auch von der inneren Krümmung, der totalen Krümmung oder einfach nur der Krümmung.

Ein paar Beispiele:

Die Einheitskugel (R = 1) hat die konstante Krümmung 1. Eine beliebige Kugel hat die Krümmung 1/r². Ein Zylinder oder ein Kegel haben die Krümmung 0 (deswegen, weil die Normalschnittkrümmung - in Richtung der Mantellinien - Null ist). Beide Körper sind daher längentreu in der Ebene abbildbar (was durch einfaches Abrollen demonstriert wird).

Das 'Theorema egregium' spricht auch davon, dass die Gaußsche Krümmung (also die innere Krümmung) bei isometrischen Abbildungen unverändert bleibt, auch dann, wenn eine Verbiegung nötig ist.

Ausgezeichnete Aspekte bezüglich dieser Thematik finden sich übrigens auch im Lehrbuch 'Anschauliche Geometrie' von Hilbert, Alexandroff und Cohn-Vossen.

In der ART - um eine Brücke zur Physik zu schlagen - impliziert das Nichtverschwinden des Krümmungstensors einen Raum mit intrinsischer Krümmung (bei vorauszusetzender Riemannscher Geometrie eine positive).

Gr. zg

[Jogi]

Hi SCR.

Zitat von SCR

Wie rollt Ihr denn einen Vollzylinder (inkl. Boden und Deckel) aus Papier in eine Ebene ab?

Genau so wie du es hier (Mitte) gemacht hast:

Und da wird auch deutlich, daß alle Winkel erhalten bleiben, Parallelen bleiben parallel, die Winkelsumme im Dreieck bleibt 180°, die Geometrie ist euklidisch.
In der unteren Graphik hast du die Quadratur des Kreises versucht, was unnötig ist.

Ihr macht einen Schnitt längs der Mantelfläche (sozusagen "von oben nach unten aufschlitzen") - O.K. Damit kann man den Zylinder aber noch lange nicht abrollen.
Hierzu muß man zuerst noch die Kreisflächen "bearbeiten":
a) Entweder "abschneiden / einen Verbindungs-Punkt stehen lassen"

Genau.
Es ist kein Problem, dass sich die Flächen nur an einem Punkt berühren, man kann diesen Punkt durch Rollen der Kreisfläche entlang des Rechtecks beliebig verschieben, alle Linien, die vorher durch den jeweiligen Berührungspunkt liefen, tun dies auch nacher noch und zwar winkeltreu!
Hierbei wird nur die (euklidische) 2D-Oberfläche des Zylinders berücksichtigt, die Anordnung der Flächen im 3D-Raum spielt keine Rolle.


Gruß Jogi

[SCR]

Hallo zg,

Zitat von zeitgenosse

Wenn du dich absichtlich dumm stellst, verzichte ich fortan auf weitere Erklärungshilfen.

Nur zum Verständnis: Wenn dann stelle ich mich nicht dumm sondern bin es.

Hätte vor diesem Hintergrund vielleicht noch jemand die Güte den von mir geschilderten "Fall b)" des Zylinderabwickelns "krümmungsfrei" zu erklären?
Schließlich spricht nichts gegen dieses Vorgehen des Abwickelns - Oder?
Und dabei insbesondere: Wo liegt dabei der Unterschied zur "abgerollten Apfelsine"?
Vielleicht verstehe ich es ja dann: Vielen Dank!

[Jogi]

Um auf die ursprüngliche Fragestellung (den Threadtitel) zurückzukommen:

Die Frage ist so alt wie Euklids "Elemente", wo sie als "Fünftes Postulat" erscheint.
Es besagt, daß sich zwei Geraden, die eine dritte unter Einschluß einer Winkelsumme <180° (auf einer Seite) schneiden, sich in endlicher Entfernung auf dieser Seite auch gegenseitig schneiden.
Euklid konnte es nicht beweisen, und durch die Jahrhunderte scheiterten auch die genialsten Köpfe an dem Beweis.
Von Anfang an gab es die Vermutung, daß es Geometrien gibt, in denen das fünfte Postulat nicht gilt, aber auch das konnte niemand beweisen.
Ich meine, mich erinnern zu können daß das fünfte Postulat ein zentrales Problem der Poincare`schen Vermutung ist, und erst Grischa (Perelman) die Lösung gelang. (Man möge mich korrigieren, wenn ich hier falsch liege.)


Gruß Jogi

[Jogi]

Hi SCR.

Zitat von SCR

Hätte vor diesem Hintergrund vielleicht noch jemand die Güte den von mir geschilderten "Fall b)" des Zylinderabwickelns "krümmungsfrei" zu erklären?

Wie gesagt, dein "Fall b)" ist unnötig und geht an der Fragestellung vorbei, geradewegs in die Hose.
Es ist doch offensichtlich, dass da Geraden nicht gerade bleiben, Winkel verändert werden, etc.

Schließlich spricht nichts gegen dieses Vorgehen des Abwickelns - Oder?

Doch, siehe oben.

Wo liegt dabei der Unterschied zur "abgerollten Apfelsine"?

Die Oberfläche der Apfelsine ist sphärisch in den 3D Raum gekrümmt, die Oberfläche des Zylinders nicht.
Das Merkmal hierfür ist die Winkeltreue, die bei der 2D-Darstellung einer Sphäre nur durch ein spezielles Verfahren (Mercator-Projektion) erhalten bleibt.
Der Zylindermantel weist keine sphärische Krümmung auf, deshalb kann man ihn einfach flach auslegen, und alle Proportionen darauf bleiben erhalten.


Gruß Jogi