relativistische Magnetostatik (bzw. Elektrodynamik)

[OmegaPirat]

Hallo ich bin neu hier

Ich habe mal versucht die Maxwell-Gleichungen theoretisch zu begründen.

Lediglich der Anfang bereitet mir Probleme
gibts hier eigentlich LATEX?


Also ich betrachte eine Punktladung q am Ort r' und ansonsten ist der gesamte raum leer.
dann ist die Dichtefunktion gegeben durch rho=q*delta(r-r')
delta ist dabei das Deltafunktional
jetzt habe ich mir gedanklich um die punktladung einen infinitesimal kleinen Würfel gelegt. Nun beweg ich mich so relativ zum Würfel, dass mein Geschwindigkeitsvektor senkrecht zwei der flächen durchdringt.
Dann nehme ich eine seite des würfels längenkontrahiert wahr.
sie erscheint um den lorentzfaktor gamma verkürzt.
die dichte beträgt dann rho=q/WURZEL(1-(v/c)²)*delta(r-r')
Im internet finde ich aber als neue dichte
rho=q*(1+(v/c)²)*delta(r-r')
und zur magnetischen Wirkung trägt aber nur die differenz beider ladungsdichten bei.
dann ist die differenz nach der formel aus dem internet
rho=q*(v/c)²*delta(r-r')
dies setze ich mal in die allgemeine formel zur berechnung von E-Felder ein und erhalte ein feld von
E=1/(4*pi*epsilon_0)integral(d³r''*q*(v/c)^2*(r-r'')/|r-r''|^3delta(r'-r''))
=q/(4*pi*epsilon_0)*(v/c)²(r-r')/|r-r'|^3
der kräftevergleich liefert:
B=q/(4*pi*epsilon_0)*v/c²(r-r')/|r-r'|^3
mit my=1/(epsilon*c²) folgt
B=my*q*v/(4*pi)*(r-r')/(r-r')^3

und das ist auch das gleiche feld fürs elektron, was man auch aus der klassischen Elektrodynamik gewinnt. Wenn man noch weiterrechnet und sich tiefergehend mit der vektoranalysis auskennt, kann man damit auch herleiten, dass div(B)=0 und rot(B)=my*j in der magnetostatik gilt.

mein problem ist jetzt aber, dass meiner meinung nach die ladungsdichte bei bewegung um 1/(Wurzel(1-(v/c)^2) zunimmt und nicht um 1+(v/c)^2
man könnte aber sagen, dass für v<<c in guter näherung 1/(Wurzel(1-(v/c)^2)=ca. 1+(v/c)^2 gilt
dann ist das aber nur eine näherung. heißt das die maxwellgleichungen gelten in ihrer form nur für v<<c? wobei sie doch lorentzinvariant sind.
wenn ich mir aber den ausdruck 1+(v/c)^2 anschaue, macht das für große geschwindigkeiten keinen sinn, weil im grenzfall v->c würde einfach die ladungsdichte demnach sich verdoppeln, aber eigentlich sollte die doch eher gegen unendlich streben. Wenn aber 1+(v/c)^2 nur näherungsweise gilt, sind die maxwellgleichungen auch nur näherungen, aber dann bleibt die frage, wie das mit den EM-Wellen ist. diese lassen sich ja aus den Maxwellgleichungen folgern und breiten sich mit c aus. Deswegen müsste ich meiner Meinung nach einen Gedankenfehler haben.

ich hoffe mir kann jemand helfen.