Träge Masse im Freien Fall

[Uli]

Zitat von werner100

Wieso braucht ein Körper mit zunehmnder Geschwindigkeit in einem Beschleu-
nigungsfeld immer weniger Beschleunigungs-Zeit für den gleichen Energie-
zuwachs bei gleicher Potential-Differenz?


MfG
Werner100

Weil Arbeit eben
Kraft mal Weg
und nicht
Kraft mal Zeit
ist, wie du zu glauben scheinst (?).

Uli

[richy]

@zttl
Ich hab doch schon alle analytischen Loesungen angepinselt.
Was solls denn sein v(t) oder v(s) ?

v(t) :
****
dv/dt = a
dv(t) = a*dt , Bestimmtes oder unbestimmtes Integral bilden
v(t)=a*t + C , wegen v(t=0)=v0 -> C=v0
1) v(t)=a*t + v0
*************

v(s) :
Benutze ich verkuerzend nen kleinen Trick
a=dv/dt = dv/ds*ds/dt = dv/ds*v
a*ds = v*dv , Integration
a*s + C = 1/2*v(s)^2, wegen v(s=0)=v0 -> C = 1/2*v0^2
1/2*v(s)^2 = a*s + 1/2*v0^2
-----------------------------
Multipliziert mit m waeren das die energetischen Gleichungen
2) v(s)=Wurzel(2*a*s + v0^2)
***********************

Die Fallzeit ergibt sich einfach aus s(t).
(Kann man aus 1=2 ermitteln, oder einfach anschreiben)
3) s(t)=v0*t+a/2*t^2
*****************
Eine konstante Geschwindigleit ueberlagert mit einer konstanten Beschleunigung.
Vielleicht ignoriert werner, dass die Ueberlagerung von v0 immer wirkt ?
Quadratische GL 3 nach t aufgeloest. Die analytische positive Loesung fuer renes algo mit v0 lautet :

t=(Wurzel(v0^2+2as)-v0)/a
t=Wurzel(v0^2/a^2+2s/a)-v0/a
************************

TEST
renes Beispiel v0=0
t=Wurzel(400/9.81)s=6.385508568 s
renes Beispiel v0=20 m/s
t=(Wurzel(400/9.81^2+400/9.81)-20/9.81) s = 4.664335258 s

[richy]

Was gabs noch ?
Die Gleichung
t=(Wurzel(v0^2+2as)-v0)/a ist weder sonderlich huebsch noch anschaulich.
Werner100 hat nun (wohl eher unfreiwilligerweise) einen speziellen Fall von v0 angefuehrt, der mathematisch einfaher herzuleiten ist und huebscher aussieht.
Also falls man diesen richtig interpretiert :-)

Ich befinde mich in einem Turm in der Hohe h baue dort am Fenster und am Boden eine Lichtschranke auf und messe damit die Fallzeit t(h) eines Steines fuer v0=0.
Jetzt interessiere ich mich dafuer wie sich diese aendert wenn ich v0 variere. Blos wie erzeuge ich praktisches ein definiertes v0 ?
Na ich steige im Turm einfach ein paar Stockwerke hoeher und lasse den Stein dort fallen und messe wie bisher die Zeit mit meinen Lichtschranken zwischen der Hoehe h und dem Boden.
Zweckmaessig waehle ich einfach eine Hoehe k*h und messe nun t(k*h). Was mich interessiert ist dann das Verhaeltnis t(h)/t(k*h).

Genau das Experiment hat werner ungewollt mit seinem Schwundzeitfaktor durchgefuehrt, indem er fuer v0=a*t(h), also einen speziellen Wert, angenommen hat. Wieviel hoeher muss ich im Turm steige, dass v0 genau a*t(h) betraegt wenn der Stein an meiner ersten Lichtschranke vorbeisaust ? Na logischerweise um h Meter also auf die Hoehe 2*h. Der Fall k=2

Das paraktische daran v0 ueber diese Weise auszudruecken ist, dass man die Gleichung t(h)/t(k*h) ueber eine Substraktionen berechnen kann :

Fallzeit Tk vom Ort k*h bis zu Boden (v0=0):
****************************
k*h=a/2*Tk^2
Tk=Wurzel(2*k*h/a)

Fallzeit Th vom Ort k*h bis nach h (v0=0):
********************************
Th=Wurzel(2*(k-1)*h/a)
->

Fallzeit t(k*h) vom Ort h bis zum Boden (v0<>0):
************************************
t(k*h)=Tk-Th=Wurzel(2*k*h/a)-Wurzel(2*(k-1)*h/a)
t(k*h)=Wurzel(2*h/a)*(Wurzel(k)-Wurzel(k-1))

Fallzeit t(h) vom Ort h bis zum Boden (v0=0):
************************************
t(h)=Wurzel(2*h/a)

=>
****************************
t(k*h)=t(h)*[Wurzel(k)-Wurzel(k-1)]
****************************

Das sieht doch schon mal gut aus :-)

Fuer k=2 ergibt sich der klassische Werner Faktor Wurzel(2)-1

[richy]

@all
Ich habe behauptet, dass man aus dem Werner Faktor schliessen kann, dass bei einer Quantisierung der Raumzeit die Newtonschen Bewegungsgleichungen nicht mehr gelten koennen.
Warum das ?

Der Werner Faktor gilt fuer k=2 und betraegt Wurzel(2)-1
Koennen wir in einem quatisierten Raum nicht auf eine doppelte Hoehe steigen ? Doch das geht natuerlich.
Nun muesste aber fuer die Fallzeiten gelten :
t(2*h)/t(h)=Wurzel(2)-1
Wurzel(2) ist eine irrationale Zahl und damit ist auch der Werner Faktor eine irrationale Zahl.

Waere die Zeit quantisiert so waere
t(2*h) darstellbar als t(2*h)=a*delta_t und
t(h) darstellbar als t(h)=b*delta_t
mit der Bedingung a element N und b element N
das wuerde aber bedeuten, dass a*delta_t/b*delta_t = a/b fuer jede Diskretisiserungsgroesse delta_t eine rationale Zahl waere im Widerspruch zum Werner Faktor, der irrational ist !

[richy]

Bevor wir versuchen die Quantisierung der Raumzeit zu retten, kann man mal sich auch mal etwas voellig anders fragen.
Ist es ueber den veralllgemeinerten werner_k Faktor = Wurzel(k)-Wurzel(k-1) moeglich aus einer Parabel wie s=a/2*t^2 oder x=y^2 den goldenen Schnitt zu konstruieren ?

Sprich welches k muessten wir waehlen, wie hoch im Turm steigen, dass der Werner_k Faktor den goldenen Schnitt ergibt ?
Intuitiv waehlen wir hier zunaechst mal k=5
y(5*x)/y(x)=werner_5=Wurzel(5)-Wurzel(4)=Wurzel(5)-2
y(5*x)/y(x)+1=Wurzel(5)-1 = 2*gold

[rene]

Hallo richy und zttl

Zitat von richy

t=Wurzel(v0^2/a^2+2s/a)-v0/a

Ich bevorzuge aus pragmatischen Gründen häufig numerische Lösungen, weil sie (Computer sei Dank) oft schneller und einfacher zum Ziel führen.

richy hat ja seinen analytischen Ansatz bereits vorgestellt. Pro forma nun meiner:

v = dh/dt = sqrt(v0^2+2*g*h)

umstellen nach dt:

dt = dh / sqrt(v0^2+2*g*h)

integrieren nach h im Intervall h0 bis h1:

t = sqrt(v0^2+2*g*h1)/g - sqrt(v0^2+2*g*h0)/g

gibt mit h1=200m und h0=0m und g=9.81m/s^2 und v0=20m/s

t = 4.664335259s


Grüsse, rene

[richy]

Jetzt muessen wir aber dringend die Raumzeitquantisierung retten.
Meine ich das alles noch ernst ? Ja, schon.
Ich habe aber etwas anderes eher mathematischs vor. Der werner_2 Faktor ergibt im gezeigten Beispiel tatsaechlich einen scheinbaren Widerspruch mit einer Quantisierung, der sich sicherlich aufloesen laesst.

Ich moechte dennoch einfach mal folgendes ausprobieren :
Dass ich alle Differenzialgleichungen der einfachen Newtonschen Bewegungsgleichungen fuer konstantes a durch Differenzengleichungen ersetze.
Einfach mal schauen was sich dann rein formell ergibt.
Moeglicherweise auch voelliger Ploedsinn.

Leiten wir den werner_k Faktor nochmals diskret her.
Diskret waere die Bezeichnung gauss_k Faktor vielleicht recht nett.
Was benoetigen wir ?
Lediglich ein diskretes Weg - Zeit Gesetz fuer a=const.
Fuer ds/dt=a_*t somit diskret die Differenzengleichung :
s(n+1)-s(n)=a*n, a=a_*dt^2
a hat somit die Einheit Meter, n ist eine natuerlich Zahl
Die DZGL hat die Loesung :
s(n)=a/2*(n^2-n)
**************

Die diskrete Rechnung fuer gauss_k

Fallzahl Nk vom Ort k*h bis zu Boden (v0=0):
****************************
k*h=a/2*(Nk^2-Nk) ....
Nk=(a+wurzel(a^2+8*a*k*h))/2a

Fallzahl Nh vom Ort k*h bis nach h (v0=0):
********************************
Nh=(a+wurzel(a^2+8*a*(k-1)*h))/2a
->

Fallzahl t(k*h) vom Ort h bis zum Boden (v0<>0):
************************************
n(k*h)=Nk-Nh=(a+wurzel(a^2+8*a*k*h))/2a-(a+wurzel(a^2+8*a*(k-1)*h))/2a
n(k*h)=(wurzel(a^2+8*a*k*h)-wurzel(a^2+8*a*(k-1)*h))/2a
***********************************************

Fallzahl n(h) vom Ort h bis zum Boden (v0=0):
************************************
h=a/2*(n(h)^2-n(h)) ....
n(h)=(a+wurzel(a^2+8*a*h))/2a
*************************

Fuer den gauss_k Faktor bilden wir jetzt n(k*h)/n(h)
Und jetzt duerfte dieser Ausdruck fuer alle k element N keine irrationale Zahl mehr darstellen :
gauss_k=(wurzel(a^2+8*a*k*h)-wurzel(a^2+8*a*(k-1)*h))/(a+wurzel(a^2+8*a*h))

Allerdings waere das schon ein kleines Wunder:-)
Anm: Das klappt wegen a eher so nicht. Wobei a aufgrund der Quantisierung wohl rational ist.
Vielleicht habe ich mich auch verrechnet.

ciao

[richy]

Hi rene
Wahrscheinlich hast du die Loesung aus didaktischen Gruenden auch mal programmiert.
Ansonsten halte ich das bischen auf Spatzen geschossen die Gleichung
s(t)=h=a/2*t^2+v0*t numerisch nach t zu loesen
Es ist ja lediglich eine quadratische Gleichung :
t^2+2*v0/a*t-2*s/a=0
Mit einer positven Loesung fuer t(v0,s)

[richy]

Wieso braucht ein Körper mit zunehmnder Geschwindigkeit in einem Beschleunigungsfeld immer weniger Beschleunigungs-Zeit für den gleichen Energiezuwachs bei gleicher Potential-Differenz?

Weil er beim freien Fall staendig die potentielle Energie auffrisst und speichert.
So wie du deine Schniposa im Magen speicherst. Aber nicht nur dies. Gleichzeitig wandelt der fallende Koerper diese Energie instantan, sofort in Bewegungsenergie um.
Er fuegt seinem Energiespeicher also immer mehr Energie zu und wandelt diese aber sofort in Bewegungsenergie um und daher wird der Koerper immer schneller.
Das zeigt doch auch diese einfache Gleichung v(t)=a*t
Der Koerper wird konstant, zu jedem Zeitpunkt proportional schneller.

Und damit ist auch die Frage beantwortet wie er die Energie denn speichert die er staendig frisst. Er speichert sie in seiner Geschwindigkeit die staendig zunimmt.
Wie wirkt sich dies auf konstante Wegabschnitte aus, z.B eine Messlatte mit farbigen 10 cm Abschnitten, die der Koerper beim Fallen durchlaeuft ?
Er legt diese Abschnitte natuerlich in zunehmend kuerzerer Zeit zurueck. Weil er ja staendig schneller wird.
Du kanst auch 1 cm oder 1mm Abschnitte waehlen. Jeden folgenden Abschnitt wird er in kuerzerer Zeit zuruecklegen.
Oder betrachte es ueber v0 und a*t.
Jedesmal wenn der Koerper einen neuen Abschnitt der Messlatte erreicht wird vo hoeher sein als zuvor.
Warum ?
Weil er in jedem Intervall so beschleunigt wird dass sein v0 am Ende des Intervalls hoeher ist als am Anfang.
Warum ?
Weil er die Laenge des Intervalls in Bewegungsenergie umwandelt.
Er frisst ein delta_s, dass Maß fuer die Energie ist immer schneller auf,weil er es immer schneller durchlaeuft .

Dass v(s) im Gegensatz zu v(t) nichtlinear ansteigt siehst du am besten an der energetischen Gleichung :
m*a*s=m/2*v^2
s steht fuer die Hoehe und damit die Energie die der Koerper auffrisst und in v umwandelt :
v(s)=Wurzel(2*a*s)
Das ist kein Widerspruch zu
v(t)=a*t
denn Zeit und Ort sind zwei verschieden Paar Stiefel.
In v(s) kannst du auch mal s=a/2*t^2 einsetzen

[werner100]

Hallo richy -

Wieder mal Früh Tau zu Formel? - Guten Morgen!

Also langsam näherst Du Dich dem Zentrum des Problems des zeitlich verküzten Potential-Durchlaufs.

Ich argumentiere erst mal ohne Mathe:
Natürlich muss ein im Statischen Kraftfeld beschleunigter Körper jede der linear gereihten Teilstrecken mit zunehmnder Geschwindigkeit durchlaufen.

Der Effekt, dass die jeweils zurückliegende Strecke auch eine Vorgeschwindigkeit hinterlässt, beginnt aber schon nach dem ersten differentiellen Wegstück dh nach Freigabe der Fallbewegung.

Zum anderen darf die Energie einer Potential-Stufe keine Hintertür sein, um
da eine Rechtfertigung zu suchen.
Wir wissen doch beide, dass die kinetische Energie ausserhalb des Feldes
auf eine Kraft und einen Weg angewiesen ist.(W= F s -> = W(kin)

Diese Bedingung ist auch im Freien Fall erfüllt und braucht nicht in Frage gestellt zu werden.

Es gibt aber noch eine zweite Energie-Prämisse und die geht nach der
Beziehung
W= m 1/2 v² mit v = g t

= m 1/2 g² t² ; m=1

Auch diese Beziehung passt, solange man nicht näher untersucht, wie sich
langsame und schnelle Abschnitte der Fallstrecke zueinander verhalten.
Und da fällt eben auf, ziemlich verborgen zwar, dass die m(i)/m(s) Proportionalität gestört ist.

Es hat meiner Meinung daher gar keinen Zweck, einen Fehler zu suchen-
es gibt keinen, weder in Form eines Denkfehlers noch in Form einer unzu-
reichenden Formel - es gibt "nur" eine neue Betrachtung, eine neue Vergleichsmöglichkeit und die führt auf eine latente temporäre Massenänderung des Fallkörpers - und sonst nichts.

Die Werner100-Schwundzeit ist wohl ein Sonderfall für

v(0) = g t1

und daher noch weiter zu verallgemeinern. Das lasse ich erstmal ohne endgültige Festlegung.
Physikalisch ist es aber klar, dass eine Beschleunigungskraft mal Zeit
F t
als Kraftstoss nur dann die gleiche Energie überträgt, wenn gilt:

F t1 = F t2; mit t1 = t2

Und diese Bedingung lässt sich eben mit abnehmender "Anschub-Zeit" nicht
durchhalten, ohne die Masse m(i) zu verändern...

Im übrigen sind Deine Mathematischen Entwürfe schon beachtenswert
und lohnend zu verfolgen. Aber auch nicht ganz einfach.

MfG
Werner100