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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #11  
Alt 23.09.20, 10:15
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Obwohl die Rechnung sicher richtig ist, muss ich nochmal nachdenken, ob meine Interpretation sinnvoll ist.
Wir reden hier einfach davon, dass die Oberfläche einer Kugel kleiner ist als 4πR². Das ist quasi die Definition einer Krümmung. Allerdings ist das "R" hier die tatsächlich gemessene Strecke vom Zentrum zur Oberfläche, nicht die Schwarzschildkoordinate. Je nachdem, ob du dieses R festhältst oder die Oberfläche, wird das Volumen größer oder kleiner. Wir reden also nicht von Raumvermehrung, sondern von Krümmung.

Im Falle eines Schwarzen Lochs ist der Radius prinzipbedingt nicht messbar, und damit auch das Volumen.
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  #12  
Alt 23.09.20, 10:23
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Man erhält die invariante Masse, wenn man Stück für Stück z.B. einzelne Atome jeweils fester, bekannter Ruhenasse hinzufügt; praktisch kann man auch einfach die Massendichte ρ erhöhen. In die gravitative Masse M gehen dagegen noch die innere sowie die potentielle Energie ein.
Die Innere Energie geht in die invariante und und damit in die gravitative Masse ein. Beispiel Erwärmung. (So wie Stress auch in beide Massen eingeht). Aber die potentielle Energie in die gravitative Masse? Mir ist nicht bekannt, dass die potentielle Energie Bestandteil des Energie-Impuls-Tensors ist. Oder doch?
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus
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  #13  
Alt 23.09.20, 10:36
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Wir reden hier einfach davon, dass die Oberfläche einer Kugel kleiner ist als 4πR². Das ist quasi die Definition einer Krümmung. Allerdings ist das "R" hier die tatsächlich gemessene Strecke vom Zentrum zur Oberfläche, nicht die Schwarzschildkoordinate.
Kann man so machen. Aber da die Schwarzschildkoordinate r die messbare Oberfläche A liefert, darf man doch umgekehrt auch r als physikalisch messbare Größe auffassen, wenn auch nicht als Radius.

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Je nachdem, ob du dieses R festhältst oder die Oberfläche, wird das Volumen größer oder kleiner.
OK, interessant.

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Wir reden also nicht von Raumvermehrung, sondern von Krümmung.
Krümmung ist klar.

Doch, "Raumvermehrung" kann man schon betrachten, nur nicht so wie oben skizziert; ich bin mir inzwischen fast sicher, dass meine Interpretation falsch ist. Lass' mich mal rechnen, ich hab' schon eine Idee.

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Im Falle eines Schwarzen Lochs ist der Radius prinzipbedingt nicht messbar, und damit auch das Volumen.
Es geht schon um die reguläre Innenraumlösung.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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  #14  
Alt 23.09.20, 10:40
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Die Innere Energie geht in die invariante und und damit in die gravitative Masse ein. Beispiel Erwärmung. (So wie Stress auch in beide Massen eingeht). Aber die potentielle Energie in die gravitative Masse? Mir ist nicht bekannt, dass die potentielle Energie Bestandteil des Energie-Impuls-Tensors ist. Oder doch?
Die "invariante Masse" ist - wenn ich mich recht entsinne - nichts anderes als das Quadrat des totalen 4-Impulses eines Systems und somit Lorentz-invariant, daher der Name. Da sehe ich nirgends die Relevanz einer potentiellen Energie.

Die invariante Masse entspricht der Energie des Systems in seinem Schwerpunktsystem und für ein einzelnes Teilchen seiner Ruhemasse.

Ich hoffe, ich habe das Thema nicht verfehlt?
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  #15  
Alt 23.09.20, 11:09
Mea Mea ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

@soon: Die Krümmung der Raumzeit nach den Feldgleichungen bedarf keiner Einbettung in eine höhere Dimension. Mit "außen" meine ich nicht außerhalb unseres Universums, sondern weiter weg, wo die Krümmung der Masse nicht so spürbar ist.
Ich stelle mir die Raumkrümmung nach den Feldgleichungen wie Kästchenpapier vor, bei dem die Kästchen nahe der Masse kleiner werden, indem ich mehr Kästchen in einen Bereich "quetsche". Also auch nicht gekrümmt wie die Socke, die hat im 2D ja keine Krümmung.

@Ich: Oberfläche ist kleiner 4πR². Das ist die Krümmung. Genau. Aber das ist doch Raumvermehrung???
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  #16  
Alt 23.09.20, 11:10
Timm Timm ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 26.03.2009
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Die "invariante Masse" ist - wenn ich mich recht entsinne - nichts anderes als das Quadrat des totalen 4-Impulses eines Systems und somit Lorentz-invariant, daher der Name. Da sehe ich nirgends die Relevanz einer potentiellen Energie.

Die invariante Masse entspricht der Energie des Systems in seinem Schwerpunktsystem und für ein einzelnes Teilchen seiner Ruhemasse.
Ich denke mit der Definition der invarianten Masse über die Energie-Impuls Gleichung im Rahmen der SRT ist alles gesagt. Die von Tom erwähnte Innere Energie dürfte da implizit enthalten sein.
Inwieweit potentielle Energie zur gravitativen Masse beiträgt wird Tom sich vielleicht noch äußern.
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  #17  
Alt 23.09.20, 11:21
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Ich hoffe, ich habe das Thema nicht verfehlt?
Doch, hast du, aber das ist meine Schuld.

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Inwieweit potentielle Energie zur gravitativen Masse beiträgt wird Tom sich vielleicht noch äußern.
Ja, siehe der Versuch unten.

Sorry für den halbgaren Beitrag, ich muss das erst fertig durchrechnen. Außerdem wäre es geschickt, die Formeln reinzustellen. Evtl. erstelle ich ein PDF und verlinke darauf.

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Die Innere Energie geht in die invariante und und damit in die gravitative Masse ein. Beispiel Erwärmung. (So wie Stress auch in beide Massen eingeht). Aber die potentielle Energie in die gravitative Masse? Mir ist nicht bekannt, dass die potentielle Energie Bestandteil des Energie-Impuls-Tensors ist. Oder doch?
Ich beziehe mich auf die Definition nach MTW, Kapitel 23.

Da wir die "gravitative Masse" als "total mass as measured from Kepler's 3rd law" definiert. Diese "gravitative Masse" ist gerade das M in der Schwarzschild-Geometrie.

1) Zuerst definiert MTW die "rest mass" M0; ich hatte das "invariante Masse" genannt, wahr evtl. unglücklich. Der Ansatz ist das Volumenintegral als "proper volume" über

dV f(r) = dA dr g^½

wobei g(r) = die rr-Komponente der Metrik ist.

MTW integriert hier über "mN", wobei m für die Ruhemasse eines Teilchens (Baryon, Atom, ...) steht, N für deren Anzahl; deswegen "rest mass".

2) Dann definiert MTW die "total internal energy" als U als Integral über "Dichte rho minus mN"

3) Zuletzt fehlt noch ein Differenzterm zur gravitativen Masse, d.h.

"gravitative Masse M" = "Systemruhemasse (1+2)" + "gravitative potentielle Energie (3)" = "Integral über die Ruhemassen M0 (1)" + "innere Energie U" (2)" + "gravitative potentielle Energie (3).

Deine Argumentation liefert gerade "Systemruhemasse (1+2)", und ich denke, sie ist für diese Diskussion hier sogar sinnvoller.

Wenn man nun eine Kugel mit fester Oberfläche nimmt, kann man zusätzlich mehr (1) bzw. mehr (1+2) reinpacken. Das läuft im einfachsten Fall immer darauf hinaus, dass man die Dichte rho (aus dem Energie-Impuls-Tensor) variiert. Unter der Annahme konstanter Dichte, was für einen Planeten nicht so unsinnig ist, liefert (2) wieder

"konstante Dichte rho minus konstantes mN" = "konstante reduzierte Dichte"

also immer

"Masse = Integral einer konstanten Dichte über das Volumen bei festem Radius r" = "konstanten Dichte" * "Integral das Volumen bei festem Radius r" = "konstanten Dichte" * "Proper Volume"

(fester Radius r entspricht fester Fläche A).

Es sieht nun so aus, als ob

"Masse = "konstanten Dichte" * "Proper Volume"

bedeuten würde, dass das Volumen unabhängig von der Masse wäre. Das ist jedoch nicht der Fall, da die Masse bzw. Dichte in

dV f(r) = dA dr g^½

eingeht; g(r), d.h. die rr-Komponente der Metrik ist abhängig von der Dichte rho bzw. der gravitativen Masse M.
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Geändert von TomS (23.09.20 um 11:29 Uhr)
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  #18  
Alt 23.09.20, 11:51
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zitat:
Zitat von Mea Beitrag anzeigen
@Ich: Oberfläche ist kleiner 4πR². Das ist die Krümmung. Genau. Aber das ist doch Raumvermehrung???
Wer sagt dir, dass nicht die Oberfläche (und damit das Volumen) kleiner geworden ist?
Das Volumen ist größer, als nach der Oberfläche zu erwarten, aber kleiner, als nach dem Radius zu erwarten. Das ist alles.

Geändert von Ich (23.09.20 um 11:55 Uhr)
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  #19  
Alt 23.09.20, 21:41
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TomS TomS ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

Zu berechnen ist das Volumen V(ρ) als Funktion der homogenen Dichte ρ bei festgehaltener Oberfläche A = 4π·r₀².

V = ∫ dV = 4π ∫ dr r² √g(r)

Man integriert dabei von Null bis r₀; r₀ ist festgelegt durch die Oberfläche A.

Man substituiert

r = r₀ · ξ

und erhält

V = 4π· r₀³ · Q

Q = ∫ dξ ξ² √g(ξ)

Das Integral läuft damit von Null bis Eins.

g(ξ) = 1 / f(ξ)

f(ξ) = 1 - aξ²

folgt aus der Innenraummetrik.

Dabei ist

a = 4πG/3 · ρ · r₀²

Q(ρ) ist damit eine Funktion von ρ. Man füllt sozusagen eine Kugel bei festgehaltener Oberfläche A = 4π · r₀² mit Materie variabler Dichte ρ. Mit wachsender Dichte ρ steigt das Volumen V(ρ).

Dies gilt bis zum maximal erlaubten Wert bei a = 1, d.h. 8πG/3 · ρ · r₀² < 1 entsprechend einem Radius r₀ > 2GM = Schwarzschildradius (tatsächlich wird die Innenraumlösung bereits bei kleinerer Dichte instabil, d.h. 3πG · ρ · r₀² < 1; das betrachte ich hier nicht)

Graph von Q(a)

Für a = 0 erhält man Q(0) = 1/3 was unmittelbar auf das euklidische Kugelvolumen V(0) = 4π/3 · r₀³ führt.

Für a gegen 1 divergiert Q(a), was zunächst bedeutet, dass der Schwarzschildradius GM gegen r₀ geht; damit divergiert das innerhalb von r₀ enthaltene Volumen V(a) bei a = 1 und somit auch die Ruhemasse

M₀ = ρ · V

während die gravitative Masse

M = 4π/3 · r₀³ · ρ

endlich bleibt.

Graph von a·Q(a)

Man erkennt den um a = 0 näherungsweise linearen Anstieg. Dies entspricht dem euklidischen Fall, dass die Masse eines konstanten Volumens linear mit der Dichte der in diesem Volumen enthaltenen Materie skaliert. Für wachsende Dichte ρ “erzeugt” die Zunahme der Masse jedoch zusätzlich Volumen, so dass die Massenzunahme nicht nur auf die zunehmende Dichte sondern insbs. darauf zurückzuführen ist, dass ein zunehmendes Volumen aufzufüllen ist.

Da kein Kollaps betrachtet wird, bleibt die Masse weiterhin homogen über das Innere der Kugel verteilt.
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Geändert von TomS (23.10.20 um 13:46 Uhr)
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  #20  
Alt 23.09.20, 22:03
Mea Mea ist offline
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Standard AW: Mehr Raum durch Masse?

wow, das ist supercool, danke sehr!
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