Schleifen-Quantengravitation und Stringtheorie

[Bauhof]

Hallo zusammen,

Brian Greene vermutet in seinem Buch [1] zwischen der Schleifen-Quantengravitation und der Stringtheorie eine mögliche Verbindung. Er schreibt auf Seite 549:

Im Gegensatz dazu liegt die größte Leistung der Schleifen-Quantengravitation – eine beeindruckende Leistung – darin, dass sie keinen Raumzeithintergrund annimmt. Die Schleifen-Quantengravitation ist eine hintergrundunabhängige Theorie.

Der Versuch jedoch, von diesem außerordentlich ungewohnten raumloszeitlosen Ausgangspunkt Raum und Zeit in ihrer gewöhnlichen Form abzuleiten sowie zu den vertrauten und erfolgreichen Eigenschaften der allgemeinen Relativitätstheorie zu gelangen, die sich zeigen, wenn sie auf großen Abstandsskalen angewandt wird (etwas, was sich mit den gegenwärtigen Formulierungen der Stringtheorie leicht bewerkstelligen lässt), ist wahrlich kein triviales Problem. Auch bei dem Versuch, die Dynamik der Gravitonen zu erklären, hat die Quantengravitation weniger Fortschritte erzielt als die Stringtheorie.

Eine Harmonie stiftende Möglichkeit wäre, dass die Stringenthusiasten und die Quantengravitationsfans in Wirklichkeit dieselbe Theorie entwickeln, nur von vollkommen verschiedenen Ausgangspunkten aus. Beide Theorien gehen von Schleifen aus – die Stringtheorie von Stringschleifen, die Schleifen-Quantengravitation von nichtmathematisch schwerer zu beschreibenden Gebilden, einfach ausgedrückt, von elementaren Raumschleifen –, daher liegt der Schluss einer möglichen Verbindung nahe.

Gibt es da inzwischen neuere Erkenntnisse hinsichtlich dieser möglichen Verbindung?

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Greene, Brian
Der Stoff, aus dem der Kosmos ist.
Raum, Zeit und die Beschaffenheit der Wirklichkeit.
Berlin 2004. ISBN=3-88680-738-X, Erste Auflage.

[Timm]

Eine interessante Fragestellung, Eugen. Inzwischen ist ein gutes Jahrzehnt vergangen.
Ich bin schon gespannt, was Tom dazu schreibt.

[TomS]

Tja, was soll ich dazu schreiben?

Ich bin ehrlich, ich habe inzwischen keinen umfassenden Überblick zur LQG mehr - obwohl ich Rovellis neues Buch auf dem iPad habe.

Die LQG wurde in den letzten Jahren mehrfach (mathematisch äquivalent) umformuliert, mit dem Ziel, zu handhabbareren Gleichungen zu kommen. Insbs. erwähnenswert sind die Spin-Foam Modelle (EPRL) sowie die Einführung von spinor-artigen Variablen (Wieland). Dabei steht aber leider sehr häufig Mathematik statt Physik im Vordergrund.

Ziel der Spin-Foams ist es, das notorische Problem des fehlenden bzw. nicht quantisierbaren Hamiltonians zu umgehen sowie den semi-klassischen bzw. IR-Limes besser zu verstehen. Ersteres gelingt in gewisser Weise, jedoch treten verwandte Probleme bei der Implementierung der simplicity-constraints (eine geometrische Forderung an die Triangulierung) auf; ggf. ist die resultierend Amplitude nicht korrekt bzw. nicht anomalienfrei. Das ist m.E. das zentrale Problem der LQG, und ich bin nicht sicher, ob es tatsächlich abschließend gelöst ist.

Der semi-klassische Limes, die Rekonstruktion der RZ der ART sowie die Existenz von Gravitonen sind eng verwandt. Da gibt es durchaus Fortschritte bei der LQG, insbs. sind Graviton-Streuamplituden prinzipiell und teilw. praktisch berechenbar. Aber dieses Problem ist m.E. sekundär (Greene fokussiert da auf etwas, was aus dem Kontext der Stringtheorie und der Verbindung zur Quantenfeldtheorie als wichtig erscheint, es aber evtl. nicht ist). Gravitonen sind im Kontext der LQG weder fundamental noch wirklich relevant.

Die Lösung des Problems kommt evtl. aus einem ganz anderen Ansatz, der Asymptotic Safety. Zur Erinnerung: die ART ist im Gegensatz zum SM nicht perturbativ renormierbar. Daraus hat die Stringtheorie den Schluss gezogen, die (nicht bewiesene aber immer behauptete!) perturbative Renormierbarkeit der Stringtheorie und die Existenz von Gravitonen wäre ein wesentlicher Fortschritt. Nun existieren im Asymptotic Safety Aproach Hinweise, dass die ART nicht-perturbativ renormierbar ist! D.h. die Theorie hat einen wohldefinierten UV-Limes, allerdings nicht auf Basis freier Gravitonen. Wenn sich das bewahrheitet, dann löst die Stringtheorie hier ein Scheinproblem.

Bzgl. der vermuteten Zusammenhänge zwischen Strings und LQG kann ich nur sagen, dass es bei diesen Vermutungen geblieben ist. Außerdem ist in der Formulierung der LQG mittels Spinnetzwerken kaum etwas von den ursprünglichen Loops enthalten.

[Timm]

Zitat von TomS

Daraus hat die Stringtheorie den Schluss gezogen, die (nicht bewiesene aber immer behauptete!) perturbative Renormierbarkeit der Stringtheorie und die Existenz von Gravitonen wäre ein wesentlicher Fortschritt. Nun existieren im Asymptotic Safety Aproach Hinweise, dass die ART nicht-perturbativ renormierbar ist! D.h. die Theorie hat einen wohldefinierten UV-Limes, allerdings nicht auf Basis freier Gravitonen. Wenn sich das bewahrheitet, dann löst die Stringtheorie hier ein Scheinproblem.

Wie könnte sich das bewahrheiten? Empirisch, mathematische Konsistenz ...?

Aber eigentlich wolte ich Dich etwas anderes fragen. Nehmen wir das Beispiel des Versagens der ART auf der Planckskala. Muß es überhaupt zwingend eine Theorie der QG geben, wenn auch vielleicht erst in ferner Zukunft mit weiter entwickelten mathematischen Werkzeugen?
Die klassische Welt versagt ja auch nicht wegen der Ort/Impuls Unschärfe in der Quantenwelt. Ihr Geltungsbereich ist theoretisch limitiert. Beschäftigen sich Physiker mit der Frage, ob eine Koexistenz von ART und QT in ihren jeweiligen Geltungsbereichen theoretisch zu begründen ist?

Beim SM der Teilchenphysik ist es wohl anders, hier scheinen empirische Befunde (Neutrinomasse) eine Erweiterung der Theorie zu fordern.

[TomS]

Zitat von Timm

Wie könnte sich das bewahrheiten? Empirisch, mathematische Konsistenz ...?

Mathematisch.

Die perturbative Renormierung mit Störungsreihe in G = 0 scheitert, da unendlich viele höhere Terme mit immer neuen Parametern in der renommierten Lagrangedichte auftreten. In der nicht-perturbativen Renormierung wird nun nicht um G = 0 entwickelt. Es zeigt sich, dass es wohl konsistent ist, nur endlich viele Kopplungskonstanten (zwei oder drei; ich denke, viel mehr hat man aus Aufwandsgründen noch nicht betrachtet) zu betrachten. G und Lambda haben endliche Werte, alle weiteren können konsistent zu Null gesetzt werden und bleiben das auch unter dem Fluss der Renormierungsgruppe.

Zitat von Timm

Nehmen wir das Beispiel des Versagens der ART auf der Planckskala. Muß es überhaupt zwingend eine Theorie der QG geben, wenn auch vielleicht erst in ferner Zukunft mit weiter entwickelten mathematischen Werkzeugen? Beschäftigen sich Physiker mit der Frage, ob eine Koexistenz von ART und QT in ihren jeweiligen Geltungsbereichen theoretisch zu begründen ist?

Nun, es gibt diverse Indizien, dass eine Quantisierung der Gravitation erforderlich ist:
In den Einsteinschen Feldgleichungen steht links die RZ-Geometrie, rechts der Energie-Impuls-Tensor der Materiefelder T; wenn rechts quantisiert werden muss, dann auch links; hier nur den Erwartungswert <T> zu verwenden, ist mathematisch inkonsistent. Schwarze Löcher und andere Singularitäten zeigen eine Inkonsistenz der ART an. Die Hawkingstrahlung gilt nur in einer semi-klassischen Näherung. Um die Unitarität der QM zu retten, muss das SL als makroskopischen Quantenobjekt betrachtet werden; "kleine" Korrekturen zum Resultat von Hawking sind nicht ausreichend. ...

[Timm]

Zitat von TomS

Die Einsteinschen Feldgleichungen haben links die RT-Geometrie, rechts dien Energie-Impuls-Tensor der Materiefelder T stehen; wenn rechts quantisiert werden muss, dann auch links; ...

ja, "wenn" ... . Was spricht im Grunde dagegen, daß der EIT und damit die Geometrie kollektive Phänomene beschreibt, wie die Thermodynamik, und wie diese nicht quantisiert werden muß?
Druck und Temperatur als emergente Phänomene lassen sich aus der elementaren Ebene nicht ableiten. Woraus schließt man, daß es bei der ART anders ist? Sie runter bis Planck konsistent zu formulieren ist?

Ich verfechte das natürlich nicht und vielleicht ist das Beispiel Thermodynamik auch nicht besonders gut. Mich interessiert, woher man die Sicherheit nimmt, daß der EIT quantisiert werden muß. Vielleicht ist es unbefriedigend, die falschen Vorhersagen der ART weg zu erklären, indem man ihren Gültigkeitsbereich einschränkt. Aber wenn es dafür Argumente gibt?

[TomS]

Zitat von Timm

ja, "wenn" ... . Was spricht im Grunde dagegen, daß der EIT und damit die Geometrie kollektive Phänomene beschreibt, wie die Thermodynamik, und wie diese nicht quantisiert werden muß?
Druck und Temperatur als emergente Phänomene lassen sich aus der elementaren Ebene nicht ableiten. Woraus schließt man, daß es bei der ART anders ist? Sie runter bis Planck konsistent zu formulieren ist?

Ich verfechte das natürlich nicht und vielleicht ist das Beispiel Thermodynamik auch nicht besonders gut. Mich interessiert, woher man die Sicherheit nimmt, daß der EIT quantisiert werden muß. Vielleicht ist es unbefriedigend, die falschen Vorhersagen der ART weg zu erklären, indem man ihren Gültigkeitsbereich einschränkt. Aber wenn es dafür Argumente gibt?

Was bedeutet EIT?

Ok, ich verstehe dich so, dass die klassische ART eine nicht-fundamentale Theorie beschreibt, so wie z.B. die Hydrodynamik, und dass deswegen die Quantisierung der ART (oder verwandter Theorien) der falsche Weg ist. Das ist natürlich möglich. Und ich denke nicht, dass man dies experimentell ausschließen kann, da die relevanten Energieskalen experimentell nicht zugänglich sind.

Insofern müsste man andere, zunächst mit der ART nicht verwandte Theorien untersuchen und die ART als effektive Theorie eines "kollektiven Feldes" ableiten. In Ansätzen geht die Stringtheorie diesen Weg, ihr fehlt allerdings eine vernünftige, nicht-perturbative Definition. Die Causal Sets verwenden ebenfalls einen anderen Ansatz. Ich würde sogar soweit gehen, dass die moderne Fassung der LQG nur noch entfernt mit der ursprünglichen ART verwandt ist (wenn wir mal die Herleitung vergessen).

Andererseits gibt es ja interessante Erkenntnisse, die direkt aus der Quantisierung der ART folgen und keineswegs darauf hindeuten, dass man da auf den Holzweg ist. Man muss verschiedene Ansätze verfolgen.

[TomS]

Zitat von Timm

Druck und Temperatur als emergente Phänomene lassen sich aus der elementaren Ebene nicht ableiten.

Ist hier wohl nicht relevant, aber thermodynamische Größen lassen sich durchaus aus dem statistischen Operator eines gegebenen quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator H ableiten.

[Bauhof]

Zitat von TomS

Andererseits gibt es ja interessante Erkenntnisse, die direkt aus der Quantisierung der ART folgen und keineswegs darauf hindeuten, dass man da auf den Holzweg ist. Man muss verschiedene Ansätze verfolgen.

Hallo TomS,

die Quantisierung der ART wird mit Hilfe der Schleifenquantengravitation versucht. Im Artikel Gravitation in Schleifen heißt es, die Grundstruktur des Raums ist ein so genanntes Spin-Netzwerk aus verbundenen Knotenpunkten.

Die Frage ist, wie kommt das Spin-Netzwerk zustande, das dann die Grundstruktur des Raumes emergiert. Vermutlich ist das Spin-Netzwerk nur ein mathematisches Modell, um irgendwie weiterzukommen

M.f.G. Eugen Bauhof

[TomS]

Zitat von Bauhof

Hallo TomS,

die Quantisierung der ART wird mit Hilfe der Schleifenquantengravitation versucht. Im Artikel Gravitation in Schleifen heißt es, die Grundstruktur des Raums ist ein so genanntes Spin-Netzwerk aus verbundenen Knotenpunkten.

Die Frage ist, wie kommt das Spin-Netzwerk zustande, das dann die Grundstruktur des Raumes emergiert. Vermutlich ist das Spin-Netzwerk nur ein mathematisches Modell, um irgendwie weiterzukommen

M.f.G. Eugen Bauhof

Die Schleifenquantengravitation ist ein Ansatz zur kanonischen Quantisierung der ART (bzw. einer Verallgemeinerung, der Einstein-Cartan-Theorie). Dabei treten drei Gleichungen auf, die als sogenannte Constraints bezeichnet werden. Eine Lösung des Gaußschen Constraints resultiert in sogenannten Holonomien, das sind letztlich die sogenannten Schleifen. Diese können mittels des zweiten Diffeomorphismenconstraints "diskretisiert" werden; daraus resultieren die Spinnetzwerke, die demnach zwei der drei Constraints lösen.

Natürlich ist das ein mathematisches Modell, wie alles in der Physik.

Das ganze ist recht gut beschrieben in der englischen Wikipedia. Auf Rovellis Homepage könnte sein neues Buch als Download zur Verfügung stehen.