Abgleich meines Wissens

[Marco Polo]

Hi zusammen,

das mit dem unendlich ausgedehnten Universum ist für mich eine komplett unverdauliche Pille.

Unendlichkeit gibt es meiner Meinung nach nur in dem Sinne, dass sich die Zeit unendlich lange weiter entwickelt. Die vorhandene (bereits abgelaufene) Zeit ist aber immer endlich (von evtl. möglichen Zeitschleifen mal abgesehen).

Aber als vorhandene Menge (ein vorliegender unendlich ausgedehnter Raum) macht das imho keinen Sinn. Besser gesagt: Ich kann es mir nicht vorstellen.

Schwierigkeiten bereitet mir auch die Vorstellung, einem unendlichen Universum irgendwelche Krümmungseigenschaften zuzusprechen.

Wir können ja nicht unbedingt von einer Einbettung der 4-dimensionalen Raumzeit in ein höherdimensionales Etwas ausgehen.

Selbst eine innere Krümmung eines unendlich ausgedehnten Universums wäre für mich nicht vorstellbar. Eine äussere schon dreimal nicht.

Man nehme die Zylinderoberfläche. Diese weist keinerlei innere Krümmung auf. Außen ist sie aber gekrümmt, weil sie sie krumm im 3D-Raum liegt. Aber da reden wir ja auch von einem endlichen Volumen bzw. Oberfäche.

Meine unmaßgebliche Meinung: Ein räumlich unendlich ausgedehntes Universum hat die innere Krümmung=0 (ist also flach) und die äussere Krümmung ist erst gar nicht definiert, was aber prinzipiell so ist, also nichts mit der Unendlichkeit zu tun hat.

@Marcus Ulpius: Du wirst mich jetzt hoffentlich nicht zerpflücken.


Grüsse, Marc

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

... das mit dem unendlich ausgedehnten Universum ist für mich eine komplett unverdauliche Pille.

Hallo Marc,

für mich auch. Wenn in der Physik etwas als unendlich postuliert wird, dann wird der Physik jede Beschreibungsmöglichkeit entzogen. Nur durch waaghalsige mathematische Operationen (Stichwort: 'Renormierung') werden Unendlichkeiten wegtransformiert.

Zitat von Marco Polo

Unendlichkeit gibt es meiner Meinung nach nur in dem Sinne, dass sich die Zeit unendlich lange weiter entwickelt. Die vorhandene (bereits abgelaufene) Zeit ist aber immer endlich (von Zeitschleifen mal abgesehen).

Da bin ich nicht ganz deiner Meinung. Zeit und Raum sind nach Hermann Minkowski eine Einheit. Wenn der Raum endlich ist, kann die Zeit nicht unendlich sein.

Und wenn die Zeit sich unendlich lange weiter entwickelt, wie du schreibst, dann kann auch die "bereits abgelaufene Zeit" ─ was auch immer das ist ─ nicht endlich sein. Denn das Unendliche ist nicht teilbar.

Zitat von Marco Polo

@Marcus Ulpius: Du wirst mich jetzt hoffentlich nicht zerpflücken.

Er kann es ja mal probieren... Aber ich denke, nachdem es jetzt vier neue Moderatoren gibt, hat er vermutlich seinen Zerpflückungs-Modus abgeschaltet.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

Da bin ich nicht ganz deiner Meinung. Zeit und Raum sind nach Hermann Minkowski eine Einheit. Wenn der Raum endlich ist, kann die Zeit nicht unendlich sein.

Und wenn die Zeit sich unendlich lange weiter entwickelt, wie du schreibst, dann kann auch die "bereits abgelaufene Zeit" ─ was auch immer das ist ─ nicht endlich sein. Denn das Unendliche ist nicht teilbar.

Hmm...also ich weiss nicht, Eugen. Man muss imho unterscheiden zwischen einer unendlichen Menge und einer Menge die sich lediglich zeitlich oder räumlich unendlich lange weiter ausdehnt.

Die erstere ist unendlich (und für mich somit unvorstellbar) und die letztere ist endlich, auch wenn sie sich unendliche lange ausdehnen mag.

Mit unendlich langer Ausdehnung meine ich keine aktuelle Unendlichkeit, sondern den Umstand, dass sich an der Ausdehnung einer vorhandenen Menge bis in alle Zeiten nichts ändert.

Ein vorhandenes messbares Volumen ist zum Messzeitpunkt auch dann immer endlich, wenn es in seiner Entwicklung gegen unendlich strebt.

Das gleiche gilt auch für die Zeit.

Grüsse, Marco Polo

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Hmm...also ich weiss nicht, Eugen. Man muss imho unterscheiden zwischen einer unendlichen Menge und einer Menge die sich lediglich zeitlich oder räumlich unendlich lange weiter ausdehnt.

Die erstere ist unendlich (und für mich somit unvorstellbar) und die letztere ist endlich, auch wenn sie sich unendliche lange ausdehnen mag.

Mit unendlich langer Ausdehnung meine ich keine aktuelle Unendlichkeit, sondern den Umstand, dass sich an der Ausdehnung einer vorhandenen Menge bis in alle Zeiten nichts ändert.

Ein vorhandenes messbares Volumen ist zum Messzeitpunkt auch dann immer endlich, wenn es in seiner Entwicklung gegen unendlich strebt.

Das gleiche gilt auch für die Zeit.

Grüsse, Marco Polo

Hallo Marc,

was du mit "aktueller Unendlichkeit" bezeichnest, nennt man als aktual unendlich. Ich kann sie mir auch nicht vorstellen, hingegen Georg Cantor konnte das offenbar.

Eine "Menge die sich lediglich zeitlich oder räumlich unendlich lange weiter ausdehnt" wird als potentiell unendlich bezeichnet. Vor Cantor waren die Mathematiker mit dieser Art von Unendlichkeit zufrieden. Georg Cantor beendete diese Zufriedenheit, wobei er sich großen Ärger einhandelte, hauptsächlich mit Leopold Kronecker.

Das nur zur Klarstellung der Begriffe.

Ob diese mathematischen Erkenntnisse auf die physische Entität des Universums anwendbar sind, bezweifle ich, ganz gleich, ob man potentiell unendlich oder aktual unendlich meint. Das Unendliche ist nirgends realisiert, meinte der Mathematiker David Hilbert.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

Das nur zur Klarstellung der Begriffe.

Danke Eugen für die Klarstellung der Begriffe, auch wenn mir diese bekannt waren.

Das Unendliche ist nirgends realisiert, meinte der Mathematiker David Hilbert.

David Hilbert war dann wohl meiner Meinung. Oder eher anders herum...

[Marcus Ulpius]

Hallo amc,

sehr gut! :-)

ein endlich langer Zylinder ist eine berandete Mannigfaltigkeit - ebenso ein endlich "breites" Möbiusband.

Aus http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biusband:

Ein Möbiusband, Möbiusschleife oder Möbius’sches Band ist eine zweidimensionale Struktur in der Topologie, die nur eine Kante und eine Fläche hat. Sie ist nicht orientierbar, das heißt, man kann nicht zwischen unten und oben oder zwischen innen und außen unterscheiden.

Kante = Rand.

Eugene Starostin und Gert van der Heijden analysierten das Möbiusband mathematisch mit den Mitteln des variationellen Bikomplex näher (http://www.nature.com/nmat/journal/v.../nmat1929.html, http://www.ucl.ac.uk/~ucesgvd/pamm.pdf).

(Ein) Resultat:
Das Verhältnis aus Länge und Breite des mit sich selbst zu verklebenden und zu verdrillenden Ausgangsstreifens muss >= sqrt(3) - Sonst lassen sich die beiden Enden nicht zusammenfügen (Das kann jeder selbst ausprobieren indem er z.B. einmal versucht die Längsseiten eines hochkant vor ihm liegenden DIN-A4-Blattes verdrillt miteinander zu verkleben).
Den "Grenzwert" bildet ein Streifen der drei scharfe Knicke aufweist und das gesamte Möbiusband (flachgepresst) die Form eines gleichseitigen Dreiecks annimmt (Siehe ucl.ac.uk-Link, p. 2, fig. 3c).

Conclusio: Es kann kein unendlich "breites" Möbiusband geben.

Damit hast du meine Aussage widerlegt, amc:

Zitat von Marcus Ulpius

Wie die Ausführungen hier zeigen: Das Möbiusband muss nicht berandet sein - Mehr noch: Es ist es nicht einmal "üblicherweise".
Meine eingestreute "falsche Feststellung" diente mir einer "kleinen Überprüfung".
Es beweist gleichzeitig: Man sollte jeder Aussage grundsätzlich misstrauisch gegenüberstehen.

:-)

Zitat von amc

Es ist nicht die Folie, die du meintest,

Die Folie, die ich hier meinte, wurde noch nicht genannt - Auch nicht von mir.

Zu deinen anderen grundsätzlichen Fragestellungen "Rand" empfehle ich das Studium diverser Lehrbücher zur Topologie (siehe z.B. wikipedia) - Das führt ansonsten hier zu weit (zumindest mir): Es sollte an dieser Stelle genügen dass man in der Relativitätstheorie sich "üblicherweise" mit unberandeten Mannigfaltigkeiten beschäftigt - Denn einen "Rand" bekommen diese dann später schon von ganz alleine. ;-)

Zitat von Timm

ich habe mir die Präsentation von Vanderbilt jetzt auch mal angesehen und finde sie recht instruktiv, die positiv gekrümmte Sphäre als Beispiel für lokal euklidische Geometrie allerdings irreführend.

Lies bitte zum Vergleich den ersten Satz im ersten von amc Link (dort ganz oben!), Timm.

wkr
Marcus

[Marcus Ulpius]

Hallo Johann,

Zitat von JoAx

Ob meine GPU damit zurecht kommt?!

Den brauchst du im Moment nicht - Wir gehen einfach von seiner ordnungsgemässen Funktionsweise aus. ;-)

Zitat von JoAx

Kurz gesagt - man würde sich selbst nicht unbedingt erkennen.

Korrekt. "75 Jahre zuvor" war Einstein ein Säugling. Stellen wir uns diesen als schlafend vor (schlafend damit wir den Säugling über einen gewissen Zeitraum als eine Art "Standbild" ansehen können).

Der 75-jährige im Sessel sitzende Einstein würde also sich selbst als Säugling sehen: Wenn er nach oben blickt den Säugling von unten, wenn er nach unten blickt den Säugling von oben, wenn er nach links bzw. rechts schaut den Säugling von rechts bzw. links: Es ist ein vollständiges Bild des Säuglings zusammengesetzt aus allen möglichen Perspektiven zum Zeitpunkt t0 ("Säugling schläft") beobachtet zum Zeitpunkt t1 ("Einstein sitzt im Sessel") - Dieses Bild des Säuglings entspricht nicht unseren Alltagserfahrungen, es ist vielmehr eine Art Projektion wie von dir geschildert ("Planetarium"): Ob unser Gehirn es überhaupt (auf Anhieb) als Säugling erkennen könnte ist zumindest fraglich.

Zitat von Johann

und wohl auch spiegelverkehrt.

Aber spiegelverkehrt ist dabei nichts: Der Torus ist eine orientierte Mannigfaltigkeit.

wkr
Marcus

[Marcus Ulpius]

Hallo Johann,

a. wir wählen uns in einem unendlichen Universum, welches das kosmologische Prinzip erfüllt, einen beliebigen Ausgangspunkt:
In jede Richtung umgibt uns unendlich viel Materie.
Frage: Wie ergibt sich daraus ein ungekrümmter Raum?
Genauer: Worin besteht der Unterschied zwischem einen unendlichen Universum "kubischer Vorstellung" zu einer Staubkugel unendlichen Durchmessers?

Zitat von JoAx

Müsste gekrümmt sein -> Innere Lösung?

Wie wird die Halb-Sphere, die der inneren Lösung der Schwarzschildlösung entspricht und in der vollständigen das flammsche Paraboloid von unten verschliesst, durch eine "kubische Vorstellung" salopp gesprochen "plattgedrückt"?

b.

Zitat von Marcus Ulpius

Einstein soll nicht mehr in einem Kubus sondern in einer Kugel sitzen, bei der "rundherum" jeder Punkt ihrer Oberfläche mit dem exakt gegenüberliegenden Punkt auf der anderen Seite "verklebt" ist.

Zur Klarstellung: Es handelt sich durch das Verkleben des Rands mit sich selbst nicht mehr um eine Kugel (Kugel = 3-Mannigfaltigkeit mit Rand; Kugeloberfläche = Rand der 3-Mannigfaltigkeit Kugel = Sphere = 2-Mannigfaltigkeit mit Rand; 3-Torus = 3-Mannigfaltigkeit ohne Rand; @amc: Manchmal liest man deshalb auch (orientierte) Mannigfaltigkeiten mit Rand wären Verallgemeinerungen von Mannigfaltigkeiten ohne Rand - Das hat zum Hintergrund dass eine randlose (z.B. 2-)Mannigfaltigkeit (zumeist/oft) als Rand einer berandeten (z.B. 3-)Manigfaltigkeit betrachtet werden kann) - Man kann diesem Raum (3-Torus) keine "äußere Form" (mehr) zusprechen.

Er erfüllt lediglich zwei Kriterien (der inneren Geometrie):
1. Egal in welche Richtung man Licht aussendet - (in unserem Beispiel) Nach 75 Jahren kehrt der Lichtstrahl aus der entgegengesetzten Richtung an seinen Ausgangsort zurück.
2. Das Parallelen-Axiom ist erfüllt.

Ein homogen mit Staub gefüllter 3-Torus (= erfüllt das kosmologische Prinzip), ist unabhängig von seinem Volumen und vom Materiegehalt auf Grund seiner kugelsymmetrischen Eigenschaften stets flach (Er ähnelt in dieser Hinsicht stark dem Inneren einer Hohlkugel).

c. Ein Torus besitzt kein Zentrum, ein absolutes Bezugssystem ist nicht definierbar:
Würde sich Einstein als 75-Jähriger exakt mit demselben v>0 in eine Richtung bewegen wie als Säugling wäre das nicht zu unterscheiden vom selben Sachverhalt unter Annahme von v=0 - Gleichförmige Bewegung und Ruhelage sind in einem 3-Torus ununterscheidbar.
Würde Einstein irgendwann im Laufe seines Lebens dagegen (in irgendeine Richtung) beschleunigt werden würde daraus eine entsprechende Rot-Blau-Verschiebung des Säuglings-Bildes resultieren, welches er im Alter von 75 Jahren auf seinem Sessel sitzend wahrnimmt - Sehr ähnlich dem Effekt, der einer Relativbewegung eines Objekts zum CMB entspricht.

(Bevor jetzt hier irgendjemand eventuell einen anderen Eindruck bekommen sollte: Im Moment geht es ausschliesslich darum ein "Gepür" für einige grundlegende Eigenschaften eines 3-Torus zu vermitteln).

wkr
Marcus

[Eyk van Bommel]

a. wir wählen uns in einem unendlichen Universum, welches das kosmologische Prinzip erfüllt, einen beliebigen Ausgangspunkt:
In jede Richtung umgibt uns unendlich viel Materie.
Frage: Wie ergibt sich daraus ein ungekrümmter Raum?

Frage 2:
Würde dies nicht auch einem "Multiversum in einem Universum" nahe kommen?

Irgendwann/-wo würde/könnte man eine Region finden, die einem Spiegelbild "unserer Welt" (z.B. Milchstraße) entspricht (uns inklusive!)

[Marcus Ulpius]

Hallo Marco Polo,

Zitat von Marco Polo

@Marcus Ulpius: Du wirst mich jetzt hoffentlich nicht zerpflücken.

Wieso sollte ich? Du hast deine Einschätzung wiedergegeben bzw. einen Sachverhalt, so wie du ihn verstanden hast.
Aber falls du darauf bestehen solltest ...... ;-)

wkr
Marcus

P.S.: Ein hyperbolischer Raum (konstant negativer Krümmung) ist unendlich.