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  #91  
Alt 02.11.17, 13:26
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
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Standard AW: Noch ein wenn alles ganz anders ist, nur etwas anders

Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Zugegeben, von Bargmannn-Wigner-Gleichungen habe ich keine Ahnung.
Ich denke aber, dass diese Analogie ihre Grenzen hat: das den Maxwell-Gleichungen genügende elektromagnetische Feld ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte wie die Wellenfunktion, sondern eine Observable, eine Feldstärke.
Das ist keine Analogie, sondern eine mathematische Herleitung. Deine Deutung der Bargmann-Wigner-Gleichung ist meiner Meinung nach fehlerhaft.

Zitat:
Was geschieht, wenn du den Ort eines Photons misst? In der Kopenhagener Deutung reduziert sich seine Wellenfunktion dann aufgrund der Messung nichtlokal in einen Eigenzustand des Ortsoperators (scharfer Zustand, Ortsunschärfe=0), sodass eine unmittelbar folgende Messung mit 100%iger Wahrscheinlichkeit dasselbe Ergebnis, d.h. denselben Ort ergeben würde. Das ist für ein Photon aber gar nicht möglich wegen Masselosigkeit. Hier deutet sich doch an, dass Ortseigenzustände für ein Photon nicht existieren können, zumindest problematisch sind, kommt mir vor.

Zudem ist so eine nichtlokale Zustandsreduktion für eine Feldstärke nicht möglich: Änderungen im elm Feld propagieren mit c.
Sorry, aber auch das überzeugt mich nicht endgültig. Die genannten Probleme sind vielmehr Probleme der Messung selbst. Mir ist bekannt, dass eine Messung im Sinne der Kopenhagener Deutung manchmal durch einen nicht-unitären Projektionsoperator beschrieben wird, was natürlich Probleme macht. Man kann demgegenüber den Messprozess aber auch durch einen Hamiltonoperator beschreiben und umgeht damit diese Probleme.

Meiner Meinung nach liegt das Problem also nicht bei der Ortswellenfunktion des Photons, sondern bei der Beschreibung des Messprozesses im Allgemeinen.
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Freundliche Grüße, B.
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  #92  
Alt 03.11.17, 00:05
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Registriert seit: 22.07.2010
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Standard AW: Noch ein wenn alles ganz anders ist, nur etwas anders

Nur eine Literaturempfehlung: eines der "Standard-Paper" zur Diskussion der Wellenfunktion des Photons ist

Bialynicki-Birula: PROGRESS IN OPTICS XXXVI, pp. 245-294, 1996
auch kostenlos erhältlich:
https://arxiv.org/abs/quant-ph/0508202

Der Autor nimmt für die Wellenfunktion des Photons eine komplexwertige Form der Maxwell-Gleichungen an (seine Gl 1.5) und gibt dann einige Argumente, die für solch eine Wahl sprechen. Da fallen u.a. auch die Namen Bargmann und Wigner. Offenbar kann man diese Gleichung übrigens auch in eine Form bringen, die der Dirac-Gleichung sehr ähnelt. Nach einer strengen Herleitung klingt das nun nicht, aber es ist ja generell so, dass die Wellengleichungen der Quantenmechanik eher erraten als hergeleitet wurden.

Vielleicht finde ich mal die Muße, mir das Papier näher anzuschauen. Dass man das elektromagnetische Feld selbst als Ortsdarstellung der Wellenfunktion des Photons deuten kann, davon bin ich aber noch nicht wirklich überzeugt.

Seine Summary
Zitat:
The aim of this review was to collect and explain all basic properties of a certain well defined mathematical object — a six-component function of space-time variables — that describes the quantum state of the photon. Whether one decides to call this object the photon wave function in coordinate representation is a matter of opinion since some properties known from wave mechanics of massive particles are missing. The most essential property that does not hold for the photon wave function is that the argument r of the wave function can not be directly associated with the position operator of the photon. The position operator for the photon simply does not exist. However, one should remember that also for massive particles the true position operator exists only in the nonrelativistic approximation. The concept of localization associated with the Newton-Wigner position operator is not relativistically invariant. Since photons can not be described in a nonrelativistic manner, there is no approximate position operator.
Gruß,
Uli
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  #93  
Alt 03.11.17, 01:32
Lubbert Lubbert ist offline
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Beitr?ge: 33
Standard AW: Noch ein wenn alles ganz anders ist, nur etwas anders

Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Dass man das elektromagnetische Feld selbst als Ortsdarstellung der Wellenfunktion des Photons deuten kann, davon bin ich aber noch nicht wirklich überzeugt.
Wäre mir auch neu. Es sind doch die Glauber-Zustände, die dem klassischen EM-Feld entsprechen. Nix Einzel-Photon.

LB
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  #94  
Alt 03.11.17, 08:06
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TomS TomS ist offline
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Standard AW: Noch ein wenn alles ganz anders ist, nur etwas anders

Zitat:
Zitat von Lubbert Beitrag anzeigen
Kennst Du einen Ortsoperator für Photonen?
Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Ich dachte das ist einfach das x, so wie man das aus der schrödingerschen Mechanik her kennt.
In der Quantenfeldtheorie und damit auch in der QED existiert kein Ortsoperator; x ist lediglich ein "kontinuierlicher Index".

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
"Relativistische Quantenmechanik" ...
... ist bekanntermaßen extrem problematisch; man muss auf die QED zurückgreifen.

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Man kann, wie bei W. Greiner nachzulesen ist, über die Bargmannn-Wigner-Gleichungen sehr eindrucksvoll zeigen, dass für masselose Spin-1-Teilchen die Maxwell-Gleichungen gelten. Man kann das elektromagnetische Feld selbst deshalb als Ortsdarstellung deuten und erhält damit eine konsistente quantenmechanische Beschreibung eines einzelnen Photons, inklusive Spektrum von kontinuierlichen Eigenwerten.
Natürlich kann man die Maxwellschen Gleichungen und deren Lösungen als nullte = klassische Näherung der QED betrachten, aber dann hat man eben freie, nicht-wechselwirkende Photonen.

Ist diese Formulierung auch geeignet, eine Wechselwirkung zu beschreiben?
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  #95  
Alt 03.11.17, 08:24
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Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Die genannten Probleme sind vielmehr Probleme der Messung selbst. Mir ist bekannt, dass eine Messung im Sinne der Kopenhagener Deutung manchmal durch einen nicht-unitären Projektionsoperator beschrieben wird, was natürlich Probleme macht.
Das von Neumannsche Projektionspostulat ist hier und in vielen anderen Fällen nicht wirklich sinnvoll. Es besagt, dass nach einer Messung einer Observablen A mit Messwert a das System im zugehörigen Eigenzustand |a> vorliegt.

Das funktioniert im Falle des Photoeffektes zumindest für das Photon alleine nicht, da der Wechselwirkung überhaupt kein Photon mehr existiert. Du müsstest das Problem demnach für das kombinierte System |Photon plus ein-Elektron> beschreiben.

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Man kann demgegenüber den Messprozess aber auch durch einen Hamiltonoperator beschreiben und umgeht damit diese Probleme.
Nur wenn man Everett's Interpretation akzeptiert (oder letztlich schummelt und den Messprozess auf ein größeres System anwendet, wobei wiederum das o.g. Projektionspostulat zum Tragen kommt.

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Meiner Meinung nach liegt das Problem also nicht bei der Ortswellenfunktion des Photons, sondern bei der Beschreibung des Messprozesses im Allgemeinen.
Das verstehe ich nicht.
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  #96  
Alt 03.11.17, 08:41
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Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
eines der "Standard-Paper" zur Diskussion der Wellenfunktion des Photons ist

Bialynicki-Birula: PROGRESS IN OPTICS XXXVI, pp. 245-294, 1996
https://arxiv.org/abs/quant-ph/0508202
Schon interessant.

Im Falle des Photoeffektes wäre dann eine relativistische Wellenfunktion im Ein-Teilchen-Sektor der QED anwendbar.

Leider endet das Paper da, wo es interessant wird. Die konstruierten Wellenfunktionen sollten als Basis für die Formulierung einer Wechselwirkung dienen. Dazu muss m.E. jedoch das Konzept des Fock-Raumes eingeführt werden. Damit gelangt schließlich wieder zur QED, allerdings eben nicht mittels direkter Quantisierung des elektromagnetischen Feldes sondern mittels "zweiter Quantisierung" der Photon-Wellenfunktionen.

Würde das hier weiterhelfen?
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  #97  
Alt 03.11.17, 08:47
Bernhard Bernhard ist offline
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Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Ist diese Formulierung auch geeignet, eine Wechselwirkung zu beschreiben?
Die Bargmann-Wigner-Gleichung ist ja nichts anderes als die Dirac-Gleichung, die aber auf ein Tensor-Produkt von Wellenfunktionen wirkt, um auch einen Spin > 1/2 zu beschreiben. Dass daraus durch geschicktes Umstellen und Umformulieren ausgerechnet für Spin = 1 die Maxwell-Gleichungen folgen, finde ich schon sehr bemerkenswert.

So gesehen also ja.
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  #98  
Alt 03.11.17, 09:13
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Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Die Bargmann-Wigner-Gleichung ist ja nichts anderes als die Dirac-Gleichung, die aber auf ein Tensor-Produkt von Wellenfunktionen wirkt, um auch einen Spin > 1/2 zu beschreiben. Dass daraus durch geschicktes Umstellen und Umformulieren ausgerechnet für Spin = 1 die Maxwell-Gleichungen folgen, finde ich schon sehr bemerkenswert.

So gesehen also ja.
Warum?

Die Wechselwirkung von Photonen folgt zunächst mal nicht aus der hier vorliegenden freien Maxwellgleichung und den Wellenfunktionen für freie Photonen.

Die Wechselwirkung mit Elektronen erhält man letztlich aus der Lagrangedichte mit Maxwell- und Dirac-Term plus deren Quantisierung. Man könnte also Lösungen der freien Bargmann-Wigner-Gleichung benutzen, um diese Quantsierung durchzuführen, was durchaus interessant wäre.

Erst dann hätte man eine geeignete Theorie, um die Wechselwirkung im Falle des Photoeffektes zu beschreiben; diese findet ja nicht innerhalb des 1-Photon-Sektor sondern zwischen 1- und 0-Photon-Sektor statt und kann deshalb mittels der Bargmann-Wigner-Gleichung alleine, d.h. ohne Fock-Raum o.ä., prinzipiell nicht formuliert werden.

Man muss diese Konstruktion also erst mal durchführen. Ein Paper dazu wäre interessant.
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Ge?ndert von TomS (03.11.17 um 09:21 Uhr)
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  #99  
Alt 03.11.17, 10:39
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Noch ein wenn alles ganz anders ist, nur etwas anders

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Man muss diese Konstruktion also erst mal durchführen.
Stimmt und das sollte dann noch etwas komplizierter werden, weil man dann auch nicht mehr von der freien Bargmann-Wigner-Gleichung ausgehen darf, sondern auch noch "feld"-erzeugende Ströme dazupacken müsste.

Zitat:
Ein Paper dazu wäre interessant.
Ja.
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  #100  
Alt 03.11.17, 14:58
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TomS TomS ist offline
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Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Stimmt und das sollte dann noch etwas komplizierter werden, weil man dann auch nicht mehr von der freien Bargmann-Wigner-Gleichung ausgehen darf, sondern auch noch "feld"-erzeugende Ströme dazupacken müsste.
Das sieht schwierig aus:

https://en.wikipedia.org/wiki/Bargma...gner_equations

Zitat:
Unlike the Dirac equation, which can incorporate the electromagnetic field via minimal coupling, the B–W formalism comprises intrinsic contradictions and difficulties when the electromagnetic field interaction is incorporated. In other words, it is not possible to make the change Pμ → Pμ − eAμ, where e is the electric charge of the particle and Aμ is the electromagnetic four-potential.[6][7]

[6] T. Jaroszewicz; P.S Kurzepa (1992). "Geometry of spacetime propagation of spinning particles". Annals of Physics. California, USA. 216 (2): 226–267.
[7] C.R. Hagen (1970). "The Bargmann–Wigner method in Galilean relativity". Communications in Mathematical Physics. 18 (2). pp. 97–108.
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