Math Verhulst Mandelbrotform

[richy]

Zusammenfassung und Ergaenzung eines Thread (ohne Math Kennung) vom September 2010.

Der Loesungsansatz der Verhulst Gleichung besteht aus zwei Koordinatentransformationen. Eine lineare Transformation
T1: z(k)=p-q*z(k)
sowie eine nichtlineare Substitution, Transformation :
T2: s(k)=g{z(k)}

Beispiel:
Fuer a=2 wird y(k+1)=2*y(k)*(1-y(k)) mittels z(k)=1-2*y(k) transformiert nach :
z(k+1)=z(k)^2
Mittes der nichtlinearen Transformation T2 s(k)=ln(u(k)) laesst sich die Gleichung linearisieren und loesen
ln(z(k+1))=2*ln(z(k))
s(k+1)=2*s(k), s(k)=s(0)*2^k

Fuer a=4 fuehrt folgende Aequivalenz zur Loesung :
************************
arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)|
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Fuer die Verhulstgleichung stellt T1 : z(k)=1-2*y(k) einen Spezialfall dar, denn die transformierte Gleichung enthaelt dann nur noch das quadratische Glied y(k)^2 und kein lineares Glied y(k) mehr. Die modifizierte Verhulst Gl entspricht dann einer allgemeineren Form der Mandelbrotiteration.

Laesst sich eine andere Substitution z=p-q*y finden fuer die das lineare Glied verschwindet ?

Eine kleine allgemeine Substitutionsrechnung zeigt :

y1:=a*y*(1-y); # Die Substitution T1 lautet : z=p-q*y aufgeloest nach y :
y:=1/q*(p-z);
p1:=solve(1/q*(p-z1)=y1,z1); # p1 enthaelt die neue Gleichung z(k+1)=....
collect(p1,z^2); #Darstellung z(k+1)=a*z(k)^2+b*z(k)+c
fuehrt auf die Bedingung :
b=(-2*a*p+a*q)/q=0
die lediglich erfuellt ist fuer q=2*p
=>
Um das lineare Glied zu unterdruecken muss in der Substitution z=p-q*y die Bedingung q=2*p erfuellt sein.

Setzt man die Bedingung ein, erhaelt man :

z[k+1]=1/2*a/p*z^2 - 1/2*(-2*p^2+a*p^2)/p
Wie laesst sich die Konstante eliminieren ?
-1/2*(-2*p^2+a*p^2)/p=0
hat lediglich die Loesung a=2

=>
Es gibt keine weitere lineare Substitution die lineares Glied und Konstante eliminiert ausser 2


Die spezielle Transformation z=1-2*y
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Berechnen der transformierten Gleichung :
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))

Substitution :
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z=1-2*y(k),
y(k)=1/2*(1-z(k))
y(k+1)=1/2*(1-z(k+1))

1/2*(1-z(k+1))=a*1/2*(1-z(1))*(1-1/2*(1-z(k+1)));
...

****************************
z(k+1) = 1/2*a*(z(k)-1)*(z(k)+1)+1
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Der Wertebereich ist nun -1..1

Formuliert man die Verhulst Populationen in dieser Form, sieht man sofort, dass fuer a=2 sich ergibt :
z(k+1) = z(k)^2-1+1 = z(k)^2