Math Verhulst 1989

[richy]

Nochmals zur Funktion ;
f:=1/2*(1-cos(2^t*arccos(1-2*x0)));

Das ist die geschlossene Loesung der Iteration
y(k+1)=4*y(k)*(1-y(k))
Und die Iterationsfolge erscheint uns voellig zufaellig, chaotisch. Es ist allgemein nicht bekannt dass ueberhaupt eine Loesung existiert. Und dass die Folge chaotisch sei, wird man darin bestaetigt sehen, dass der Ljapunovexponent hier groesser Null ist. Sogar maximal fuer die Parameter 1..4.
Was hier wirklich ablaeuft sieht man jedoch in dieser Grafik .



Das Chaos basiert auf einer Kosinusschwingung, deren Frequenz ueber den Term 2^t stetig anwaechst. Nach wenigen Iterationsschritten auf riesige Werte. Die Schwingung wird aequidistant abgetastet und darauf basieren die zufaelligen Werte.
Der Ljapunovexponent kann dies nicht wiedergeben. Rein formal habe ich diesen durch eine Modifikation ersetzt in der statt dem ln der arccos bzw arcsin verwendet wird. Diese Vorgehensweise muesste man sich aber nochmals genauer ueberlegen.



Interessant ist der geringe Wert bei 3.8. Das duerfte das Fenster der Ordnung sein also r=1+Wurzel(8)

[richy]

Auch ohne physikalische Aspekte waere es interessant wie denn die zugehoereige DZGL aussieht, wenn man 2^t durch andere Funktionen ersetzt. Zum Beispiel auch durch die sin oder cos Funktion. Eine quadratische Nichtlinearitaet wird sich dann wohl nicht mehr ergeben, da der Term 2^t gerade die Verkettung binaerer Entscheidungen Vorzeichen der Wurzel darstellt.

Ich habe noch kene Ahnung wie das Ergebnis aussehen koennte und lege einfach mal los :

Zur Uebung waehle ich nochmals den einfacheren Fall r=2

y(k+1) = y(k)^2
ln(y(k+1))=2*ln(y(k))

Substitution
f(k)=ln(y(k))

f(k+1)=2*f(k)
Ich loese die Gleichung mittels Z-Transformation, da ich allgemeinere Funktionen verwenden moechte :
Wobei man im folgenden Fall auch einfacher zum Ziel kommen koennte.


http://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation


************************************************** *****


f(k+1)=2*f(k)
o-o
z*F(z)-z*F(0)=2*F(z)
F(z)*(z-2)=z*F(0)
F(z)=z/(z-2)*F(0)
Aus der WIKI Korrespondenztabelle folgt
o-o
f(k)=2^k*f(0)

Substitution rueckwaerts
f(k)=ln(y(k))
ln(y(k))=2^k*ln(y(0))

Der inverse Vorgang fuer eine Funktion
G(y(k))=H(k)*G(y(0))
besteht somit zunaechst darin G(y(k)) wieder zu f(k) zu substituieren.
Dann laesst sich die Z Transformation fuer allgemeinere H(k) anwenden.

Ich waehle fuer H(k) zunaechst einen besonders einfachen Fall :
H(k)=k. Die Korrespondenz im Z Bereich lautet z/(z-1)^2

Ausgangspunkt :
f(k)=k*f(0)
********
o-o
F(z)=F(0)*z/(z-1)^2
Den Nenner teilt man am zweckmaessigsten auf :
F(z)*(z-1)=F(0)*z/(z-1)
F(z)*z-F(z)=F(0)*z/(z-1) erweitere
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*z/(z-1)-F(0)*z
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(z/(z-1)-1)
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(z/(z-1)-(z-1)/(z-1)
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(1/(z-1))
Die Korrespondenz fuer 1/(z-1) ist gleich eins
o-o
f(k+1)=f(k)+f(0)
************

Das Ergebnis haette man natuerlich auch einfacher haben koennen mittels :
f(k)=k*f(0)
f(k+1)=(k+1)*f(0)=f(k)+f(0), f(k)=0 fuer k<0
Leider geht hier der Anfangswert direkt mit ein. (Das war abzusehen)
Ob die Z Transformation eine Hilfe darstellt bleibt ebenfalls noch offen.

[richy]

Weiterer Versuch.
Statt 2^n verwende ich exp(a*n). Fuer ein imaginaeres a erhaelt man dann eine komplexe Schwingung.

f(n)=exp(a*n)*f(0)
Auch ohne Z Transformation folgt :
f(n+1)=exp(a*n+a)*f(0)

f(n+1)=exp(a)*f(n)
***************
der Fall a=ln(2) entspricht der einfachen Verhulst Gleichung r=2
Wir waehlen deren Substitution :
f(n)=ln(y(n))
ln(y(n+1))=exp(a)*ln(y(n))
ln(y(n+1))=exp(a)*ln(y(n))
y(n+1)=y(n)^exp(a)
(Das sieht schonmal interessanter aus :-)

Laesst sich dieser Speziallfall verallgemeinern ?
Die zentrierte VDZGL lautet :

x(k+1)=1/2*r*(x(k)-1)*(x(k)+1))+1
somit
x(k+1)=1/2*r*(x(k)^2-1)+1
Dass sich sich -1+1 fuer r=2 aufhebt gilt fuer alle Exponenten also auch fuer :

y(k+1)=r/2*(y(k)^exp(a)-1)+1
************************
Vollstaendigkeitshalber noch die dezentrierte Form :
y(k)=(1-2*x(k))

x(k+1)=r/4*( 1-(1-2*x(k))^exp(a) )
***************************

Ich habe damit schon einige Versuche durchgefuehrt. Die Ergebnisse sind interessant :-)

Folgende Bemerkung im Thread hatte ich wieder vergessen :

Haette ich damals 1+Wurzel(5) verwendet haette die Umkehrung sogar geklappt. Da besteht das Vorzeichenmuster naemlich fuer anscheind alle Anfangswerte lediglich aus Einsen, also fuehrt fuer den doppelten goldenen Schnitt in der logistischen Gleichung stets der Hauptwert zum Ziel. Warum weiss ich nicht.

Das gibt es doch eigentlich gar nicht. Dem muss ich nochmals nachgehen.

[richy]

Ich schalte nochmals einige Gaenge zurueck. Was beschaeftigt mich gerade ?
Ich moechte den Unterschied zwischen Differenzen und Differenzialgleichungen etwas genauer untersuchen. Insbesonders hinsichtlich der Mehrdeutigkeit. Ein Beispiel war hier die Umkehriteration zu y(n+1)=y(n)^2 die ich im Phasomaten angewendet habe. z(k+1)=+-Wurzel(z(k)). In jedem Iterationsschritt ergibt sich ein neuer Loesungszweig so dass deren Anzahl mit 2^n waechst :



Meine Frage lautet nun wie die Loesung im kontinuierlichen Fall aussehen koennte. Das ist schon etwas komplizierter, da bei einer s-ten Wurzel die Anzahl der Loesungen vom Charakter der Zahl s abhaengt. Ist diese irrational so ergeben sich z.B. unendlich viele Loesungen. Ist die Zahl rational so folgt die Anzahl aus der Bruchdarstellung. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Algebra und zeigt sich in der Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus der sich wie folgt berechnet :



Die kleine Umformung fuer den diskreten Fall habe ich auf dieser Seite dokumentiert :
http://home.arcor.de/richardon/richy...omat/phaso.htm
Im kontinuierlichen Fall laesst sich genauso vorgehen und man erhaelt zunaechst die analytische Loesung

ln(z(n))=2^(-n)*ln(z(0))

aufgeloest :

z(n)=exp(ln(abs(z0))/2^n+I*argument(z0)/2^n+I*2*floor(k)*Pi/2^n);
************************************************** **1
n ist hier nicht auf ganze Zahlen beschreaenkt. Das ist der Trick.
Ich kenne die (komlexwertigen) Loesungen nun nicht nur fuer ganze Zahlen !
k stellt dabei die Mehrdeutigkeit dar.
Das Argument ist somit ein Maß fuer die Mehrdeutigkeit und diese habe ich mittels einem kleinen Programm dargestellt. Um auch grosse Mehrdeutigkeiten darzustellen umlaufe ich den Einheitskreis fuer jede Zahl in 100 Versuchen. (k=0..100) Mein Rechner ist etwas aelter und daher stelle ich teilweise nur den Bereich 0..PI dar. Fuer ganze Zahlen ist dieser symetrisch zu 0..-Pi. Die Darstellung ist dann wie im folgenden Bild zu deuten.



Die 2-te Wurzel weist 2 Losungszweige auf
Die 4-te Wurzel weist 4 Losungszweige auf
Die 8-te Wurzel weist 8 Losungszweige auf
Wie die Grafik zeigt weist eine 1.5 te Wurzel natuerlich keine 1.5 Loesungszweige auf.

Bei Darstellungen des Arguments von -Pi ...Pi ist zu beachten dass die Argumente Pi und -Pi ein identisches Argument darstellen ( Das negative Vorzeichen)

Im folgenden der Programmcode :

restart; with(plots):
Startzahl:=2;
Endzahl:=3;
N:=100;
z0:=1;
dt:=(Endzahl-Startzahl)/N;
t:=Startzahl;
i:=0;
for n from 0 to N do
for k from 0 to 100 do
w:=argument(evalf(exp(I*2*k*Pi/2**t)));
if 0=0 then # w>=0 fuer argument 0..Pi
wink[i]:=t+I*w;
i:=i+1;
fi;
od;
t:=evalf(t+dt);
od;
Anzahl:=i-1;

druck:=seq(wink[i],i=0..Anzahl):
complexplot([druck],Startzahl..Endzahl,-3.15..3.15,style=point,color=black,symbol=POINT);

Die komplexe Rechnung dient dabei lediglich der bequemeren Darstellung.
Der untere Darstellungswert von -3.15 bedingt die Darstellung von -Pi (doppeldeutig). Ein Wert von -3.14 waere im Grunde vorteilhafter um dies zu vermeiden.

Mit dem Programm laesst sich nun die Mehrdeutigkeit im reellen Zahlenbereich darstellen. Eine genaue Interpretation ist mir dabei nicht moeglich, denn es gibt kein uebergeordnetes Gesetz vor allem wie die irrationalen Zahlen genau verteilt sind. Es zeigen sich interessante Strukturen, die dies widerspiegeln:



Auffaellig sind in der Grafik :

- "Verschmierte" Haeufungspunkte
- Strukturen ueber den laufenden Parameter n

Die Sonderstellung der natuerlichen Zahlen geht in der Grafik verloren.
EDIT : Aufgrund der logarithmischen Darstellung

Hier nochmals eine hoehere Aufloesung des Bereichs 2 hoch 2 bis 2 hoch 3



EDIT :
Die Darstellung der horizontalen Achse ist logarithmisch.
Die weissen vertikalen Streifen repraesentieren die ganzen Zahlen.

Anregungen wie ich das Wort "Darstellung" umschreiben kann sind willkommen :-)

[richy]

Letzendlich moechte ich den Uebergang von den natuerlichen Zahlen zu den nichtnatuerlichen Zahlen untersuchen und habe daher nochmals weitere Bereiche dargestellt um zu beurteilen welcher am geeignesten sein koennte :

n=3..4



n=5..6

[richy]

Die folgenden Grafiken zeigen Faelle wie man sich diesen Uebergang in etwa vorzustellen hat. Dabei habe ich nun die Darstellung von -Pi..Pi statt 0..Pi im Argument gewaehlt.



Hier der Uebergang zur Zahl vier, zur 16 ten Wurzel :



Warum die Zahl 3.9xx scheinbar Eigenschaften einer ganzen Zahl aufweist klaert sich wie folgt :

EDIT :
Wenn man die Zweige bei 3.9x nachzaehlt so sind es 15 Stueck.
Das sind die 15 Zweige der 15 ten Wurzel !
Der Wert ergibt sich aus 2**x=15 und betraegt 3.906890595
Dies zeigt sich auch bei feinerer Aufloseung. Es ist der Wert ln(15)/ln(2)
Ebenso zeigt sich bei ln(14)/ln(2)=3.807354922 ein vergleichbares Verhalten fuer die 14 te Wurzel.

EDIT
Das Beispiel zeigt :
Wenn man das Darstellungsprinzip zur Beurteilung von Zahlencharakteristiken (ganz,rational,irrational ...) verwenden will, so ist zu beachten, dass nicht der Wert n die zu beurteilende Zahl darstellt, sondern es wird 2**n beurteilt.
2**( ln(15)/ln(2) ) = 15

[richy]

Lineare Darstellung
*****************

Fuer eine lineare Darstellung muss der Programmcode nur leicht geaendert werden :

restart; with(plots):
Startzahl:=8;
Endzahl:=16;
N:=100;
z0:=1;
Startzahl:=evalf(ln(Startzahl)/ln(2));
Endzahl:=evalf(ln(Endzahl)/ln(2));
dt:=(Endzahl-Startzahl)/N;
t:=Startzahl;i:=0;
for n from 0 to N do
for k from 0 to 100 do
w:=argument(evalf(exp(I*2*k*Pi/2**t)));
if w >=0 then
wink[i]:=2**t+I*w;
i:=i+1;
fi;
od;
t:=evalf(t+dt);
od;
Anzahl:=i-1;

druck:=seq(wink[i],i=0..Anzahl):
complexplot([druck],2**Startzahl..2**Endzahl,-3.15*0..3.15,style=point,color=black,symbol=POINT) ;

Nun sieht man sehr schoen dass die charakteristischen weissen vertikalen Streifen als jene der natuerlichen Zahlen zu interpretieren sind :



Hier nochmals die zwei Uebergaenge in linearer Darstellung





Sehr deutlich zeigt sich hier nochmals ein Streifen bei 15.5. Es handelt sich um 31 Zweige und damit um den einfachen Sachverhalt 15.5=31/2. Im weiteren moechte ich Ergebnisse darstellen hinsichtlich der Funktion des Algos als Detektor irrationaler Zahlen. Wobei sich im Grunde schon vermuten laesst, dass die charakteristischen Boegen das Kennzeichen irrationaler Zahlen darstellen koennten. Denn diese sind wie die folgende Abbildung zeigt nicht symmetrisch.

[richy]

Zwischenbemerkung.

Meine letzten Beitraege lassen sich auf folgende Frage reduzieren.

Gegeben sei folgende Gleichung :
z hoch s = 1, z element C (komplexwertig)

Aufgabenstellung :

Wieviele Loesungen ergeben sich fuer z nach dem Hauptsatz der Algebra wenn :
- s element natuerliche Zahlen
- s element rationale Zahlen p/q
- s element irrationale Zahlen

Im Folgenden werde ich noch haeufiger den Bergriff des Grades der Irrationalitaet einer Zahl verwenden. Im Forum wurde dies in der Vegangenheit schon einmal als esoterische oder selbstgebastelte Angabe bemaengelt. Natuerlich voellig zu unrecht. Der Begriff basiert auf dem Fehler der Bruchapproximation einer irrationalen Zahl und dem Satz von Liouville :
(1)
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1404

Eventuell lassen sich mit der neuen Methode, die auf dem Hauptsatz der Algebra basiert, sogar einige Fragen aus dem damaligen Thread (1) beantworten. Ist Wurzel(13) irrationaler als Wurzel(2) ? (Ungenauer ueber einen Bruch approximierbar )

Ich kann eines bereits vorausschicken. Die Zahl Pi wird einige Ueberraschungen bieten und sowohl meine Aussagen des damaligen Threads (1) als auch die Funktionsweise der neuen Methode bestaetigen. Und natuerlich hoffe ich, dass man mir folgen kann. Wenigstens Bauhof zum Beispiel, dessen mathematisches Wissen ich schon immer sehr geschaetzt habe. Mal abgesehen von der nichtlinearen Systemdynamik. :-)
Zwischenfragen wuerden mich freuen. Das Prinzip der "neuen" Methode ist im Grunde sehr einfach. Die Kenntnis der komplexen Zahlen natuerlich vorausgesetzt.

Der Sachverhalt der logarithmischen Darstellung der horizontalen Achse war mir Anfangs selbst nicht ganz klar. Er war auch unerheblich bezueglich der anfaenglichen Aufgabenstellung. Ich habe die Beitraege nochmals editiert um den logarithmischen Sachverhalt, der sich aus dem Verkettungsprinzip des diskreten Falls ergibt, von Anfang an zu verdeutlichen. Vielleicht wird damit einges klarer. Es waere anschaulicher gewesen von Anfang an die lineare Darstellung zu waehlen.

Gruesse :-)

[mermanview]

Moin richy,

Und natuerlich hoffe ich, dass man mir folgen kann.

Antwort aus der Talsohle:

Die Deutungen deiner Diagramme/ Graphiken:
Ja, meistenteils, am verständlichsten wurde es durch die zusammenfassenden Beschreibungen.
Wenn ich's richtig verstanden habe, dann geht es u.A. um den Begriff "irrational".

"Ist Wurzel(13) irrationaler als Wurzel2) ?" gemessen anhand der Häufigkeit von möglichen Ergebnissen (einer komplizierten Gleichung)

Bin gespannt auf die Aussagen zu Pi.
( da ich nur flüchtig lesen konnte, befürchtete ich zunächst einen Schreibfehler, .. dachte zunächst du meinst Phi, ich glaub es ging dir aber um Pi 3.1415926536 (aus dem Kopf : )).

Es ist glatt schade, dass man nicht mehr Zeit hat, in der inneren Ordnung von Zahlenräumen spazieren zu gehen.

Gruß Merman

[richy]

Hi merman

Neben Bauhof hatte ich erwartet dass du mathematisch folgen kannst.
Ich weiss. Du bist ein guter Mathematiker und daher dazu in der Lage.
BTW: Ich weiss auch dass du ein ganz schlechter Physiker bist :-)
Wobei sich Mathematik und Physik gar nicht ausschliessen muessen.
Ist gerade bischen frueh/spaet. Alles weitere also "morgen"

Aufgabe :
Beschreibe mir den Hauptsatz der Algebra. Wieviele Loesungen hat die Gleichung

x hoch 2 = 1
x hoch 4 = 1 ( dazu benoetigt man schon komplexe Zahlen)
Wenigstens wieviele Loesungen existieren gibt dir der Hauptsatz der Algebra an.
Auch ohne dass du alle Loesungen kennst.

allgemein
x hoch s = 1
besser
z hoch s = 1 (z steht fuer komplexe Zahlen)

ciao :-)