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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 03.10.09, 15:02
OmegaPirat OmegaPirat ist offline
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Standard relativistische Magnetostatik (bzw. Elektrodynamik)

Hallo ich bin neu hier

Ich habe mal versucht die Maxwell-Gleichungen theoretisch zu begründen.

Lediglich der Anfang bereitet mir Probleme
gibts hier eigentlich LATEX?


Also ich betrachte eine Punktladung q am Ort r' und ansonsten ist der gesamte raum leer.
dann ist die Dichtefunktion gegeben durch rho=q*delta(r-r')
delta ist dabei das Deltafunktional
jetzt habe ich mir gedanklich um die punktladung einen infinitesimal kleinen Würfel gelegt. Nun beweg ich mich so relativ zum Würfel, dass mein Geschwindigkeitsvektor senkrecht zwei der flächen durchdringt.
Dann nehme ich eine seite des würfels längenkontrahiert wahr.
sie erscheint um den lorentzfaktor gamma verkürzt.
die dichte beträgt dann rho=q/WURZEL(1-(v/c)²)*delta(r-r')
Im internet finde ich aber als neue dichte
rho=q*(1+(v/c)²)*delta(r-r')
und zur magnetischen Wirkung trägt aber nur die differenz beider ladungsdichten bei.
dann ist die differenz nach der formel aus dem internet
rho=q*(v/c)²*delta(r-r')
dies setze ich mal in die allgemeine formel zur berechnung von E-Felder ein und erhalte ein feld von
E=1/(4*pi*epsilon_0)integral(d³r''*q*(v/c)^2*(r-r'')/|r-r''|^3delta(r'-r''))
=q/(4*pi*epsilon_0)*(v/c)²(r-r')/|r-r'|^3
der kräftevergleich liefert:
B=q/(4*pi*epsilon_0)*v/c²(r-r')/|r-r'|^3
mit my=1/(epsilon*c²) folgt
B=my*q*v/(4*pi)*(r-r')/(r-r')^3

und das ist auch das gleiche feld fürs elektron, was man auch aus der klassischen Elektrodynamik gewinnt. Wenn man noch weiterrechnet und sich tiefergehend mit der vektoranalysis auskennt, kann man damit auch herleiten, dass div(B)=0 und rot(B)=my*j in der magnetostatik gilt.

mein problem ist jetzt aber, dass meiner meinung nach die ladungsdichte bei bewegung um 1/(Wurzel(1-(v/c)^2) zunimmt und nicht um 1+(v/c)^2
man könnte aber sagen, dass für v<<c in guter näherung 1/(Wurzel(1-(v/c)^2)=ca. 1+(v/c)^2 gilt
dann ist das aber nur eine näherung. heißt das die maxwellgleichungen gelten in ihrer form nur für v<<c? wobei sie doch lorentzinvariant sind.
wenn ich mir aber den ausdruck 1+(v/c)^2 anschaue, macht das für große geschwindigkeiten keinen sinn, weil im grenzfall v->c würde einfach die ladungsdichte demnach sich verdoppeln, aber eigentlich sollte die doch eher gegen unendlich streben. Wenn aber 1+(v/c)^2 nur näherungsweise gilt, sind die maxwellgleichungen auch nur näherungen, aber dann bleibt die frage, wie das mit den EM-Wellen ist. diese lassen sich ja aus den Maxwellgleichungen folgern und breiten sich mit c aus. Deswegen müsste ich meiner Meinung nach einen Gedankenfehler haben.

ich hoffe mir kann jemand helfen.
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  #2  
Alt 03.10.09, 22:22
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EMI EMI ist offline
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Zitat:
Zitat von OmegaPirat Beitrag anzeigen
...Jetzt habe ich mir gedanklich um die Punktladung einen infinitesimal kleinen Würfel gelegt. Nun beweg ich mich so relativ zum Würfel, dass mein Geschwindigkeitsvektor senkrecht zwei der Flächen durchdringt.
Dann nehme ich eine seite des würfels längenkontrahiert wahr, sie erscheint um den Lorentzfaktor gamma verkürzt.
Die Dichte beträgt dann rho=q/WURZEL(1-(v/c)²)*delta(r-r')
...
man könnte aber sagen, dass für v<<c in guter näherung 1/(Wurzel(1-(v/c)^2)=ca. 1+(v/c)^2 gilt.
Willkommen OmegaPirat,

wenn Du dich relativ zum Würfel bewegst musst Du el.geladen sein um eine Ladungsdichte im Würfel feststellen zu können.
...
für v<<c ist es in Näherung durch Reihenentwicklung so richtig:
1/√(1-v²/c²) ≈ 1 + v²/2


Ich weis nicht so recht auf was Du hinaus willst, aber vielleicht hilft Dir das etwas weiter:
Zitat:
Zitat von EMI
Betrachten wir zwei zum Beobachter bewegte el.Ladungen q1 und q2.
Die Verbindungslinie zwischen den el.Ladungen sei senkrecht zu den paralellen Geschwindigkeiten v1 und v2.
Nach Coulomb ist die Kraft zwischen den el.Ladungen:
Fc = (1/4*Π*εo) * (q1*q2/r²)

Die el.Feldlinien durchsetzen eine gedachte Fläche L1*L2
Die el.Feldstärke ist dann am Ort von q2:
|E|= (1/4*Π*εo) * (q1/r²)
oder anders durch die Feldliniendichte:
|E|= N/L1*L2 mit N=Anzahl der Feldlinien.

Man erhält:
Fc = N*q2/L1*L2

Einen mit q2 mitbewegten Beobachter erscheint die Länge L1 verkürzt. Die Zahl der Feldlinien ist dieselbe. Es erhöht sich die Feldliniendichte:
L1' = L1/γ , mit γ=1/√(1-v²/c²)
und damit auch die Coulombkraft:
F'c = N*q2*γ/L1*L2

Die Relativgeschwindigkeit v der beiden Geschwindigkeiten v1 und v2 ist mit dem Additionstheorem der SRT zu berechnen:
v=(v1-v2)/(1-v1*v2/c²)

1-v²/c² = (1+v/c)*(1-v/c)
1-v²/c² = (c²-v1²) * (c²-v2²) / (c²-v1*v2)²

damit erhält man:

F'c = (q1*q2/4*Π*εo*r²) * ((1-v1*v2/c²)/√(1-v1²/c²)*(1-v2²/c²))

Bei Elektronenbewegungen in Leitern ist v viel kleiner c. Deshalb ist:
γ ≈ 1 + v²/2*c² und durch diese Vereinfachung erhalten wir:

F'c = (q1*q2/4*Π*εo*r²) * ((1+v1²/2*c²) * (1+v2²/2*c²) * (1-v1*v2/c²))

Ausmultipliziert und die Glieder höher als zweiter Ordnung vernachlässigt, ergibt:

F'c = (q1*q2/4*Π*εo*r²) * (1 + (v1-v2)²/2*c²)

hier sehen wir das man zu der "reinen" Coulombkraft einen Zusatzbetrag erhält:

dFc = (q1*q2/4*Π*εo*r²) * ((v1-v2)²/2*c²)

Dieses dFc setzt sich aus vier Anteilen zusammen. Die Elektronen -q1 und -q2 bewegen sich durch je einen Leiter mit den positiven Gitterionen +q1 und +q2.

1. -q1 und -q2 es folgt dFc1 = + (q1*q2/4*Π*εo*r² *2*c²) * (v1-v2)²

2. -q1 und +q2 es folgt dFc2 = - (q1*q2/4*Π*εo*r² *2*c²) * (v1-0)²

3. +q1 und -q2 es folgt dFc3 = - (q1*q2/4*Π*εo*r² *2*c²) * (0-v2)²

4. +q1 und +q2 es folgt dFc4 = + (q1*q2/4*Π*εo*r² *2*c²) * (0-0)²

aufsummiert folgt für die Gesamtzusatzkraft:

dFcGes = - (q1*q2/4*Π*εo*r²) * (v1*v2/c²)

Die Zusatzkraft ist anziehend da die Geschwindigkeiten paralelle sind.
dFc1 verschwindet bei v1=v2.
Gruß EMI
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Sollen sich auch alle schämen, die gedankenlos sich der Wunder der Wissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von der Botanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.
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  #3  
Alt 04.10.09, 01:49
OmegaPirat OmegaPirat ist offline
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Zitat:
Willkommen OmegaPirat,

wenn Du dich relativ zum Würfel bewegst musst Du el.geladen sein um eine Ladungsdichte im Würfel feststellen zu können.
...
für v<<c ist es in Näherung durch Reihenentwicklung so richtig:
1/√(1-v²/c²) ≈ 1 + v²/2
Dann bewegt sich eben nicht ich neben den würfel, sondern eine zweite punktladung mit der ladung Q. wie dem auch sei. mal angenommen die ladung q sei zunächst homogen im würfel mit den kanten l homogen verteilt. dann ist die dichte rho=q/l³. (hinterher kann man ja immer noch den würfel beliebig klein machen um im grenzfall zur punktladung mit der dichte q*delta(r-r') zu kommen.)
das bewegte elektron sieht aber eine der drei seiten verkürzt, welche damit eine länge von l*Wurzel(1-(v/c)²) hat. dann ist die dichte in diesem würfel nur noch q/(l³*Wurzel(1-(v/c)²)=rho/Wurzel(1-(v/c)²)
laut internet ist diese dichte aber gegeben durch rho*(1+(v/c)²).



das ergebnis in deiner rechnung
Zitat:
dFc = (q1*q2/4*Π*εo*r²) * ((v1-v2)²/2*c²)
ähnelt schonmal dem, was ich zum ziel habe, wenn man (v1-v2)²/2 durch v² ersetzt, hat man jedenfalls wohl das exakte ergebnis dafür. du hast ja genähert, nur ich erkenne halt keinen fehler an meiner vorgehensweise.

nochmal der übersichtshalber mein prinzip

1. schritt punktladung am ort r' => dichte=q*delta(r-r') => einsetzen in die feldformel der elektrostatik => Coulombgesetz

2. Schritt aufgrund von lorentzkontraktion nimmt die bewegte ladung eine um 1/Wurzel(1-(v/c)²) höhere dichte wahr (v=relativgeschwindigkeit)=> Dichte=q*1/Wurzel(1-(v/c)²)*delta(r-r')=> einsetzen in die feldformel der elektrostatik => coulombgesetz um den faktor 1/Wurzel(1-(v/c)^2) modifiziert

3. Schritt bildung der differenz beider felder => es bleibt die zusätzliche feldstärke übrig, welche durch die bewegung verursacht wird => Interpretation als magnetische Wirkung => Vergleich elektrischer kraft mit lorentzkraft liefert B-Feld

das alles führt auch zu den bekannten ergebnissen, wenn man für die durch die bewegung verursachte höhere dichte q*(1+(v/c)²)*delta(r-r') statt q*1/wurzel(1-(v/c)²)*delta(r-r'). Nur wie kommt man auf ersteres und wieso ist die "Herleitung" zu zweiterem falsch, wenn ich das geklärt habe, funktioniert der restliche weg ja auch.
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  #4  
Alt 04.10.09, 03:55
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Zitat:
Zitat von OmegaPirat Beitrag anzeigen
...aufgrund von lorentzkontraktion nimmt die bewegte ladung...
Wer ist denn bewegt? die Ladung im Würfel oder die Ladung mit dir, die vorbeifliegt?
Oder sehen vielleicht Beide den jeweils Anderen bewegt?
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  #5  
Alt 04.10.09, 11:59
OmegaPirat OmegaPirat ist offline
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die punktladung im würfel bewegt sich aus sicht der punktladung außerhalb davon. es wird alles aus sicht der punktladung außerhalb des würfels beschrieben (ich bewege mich mit genau dieser punktladung mit)
Das habe ich aber eigentlich gesagt, weil in meinem zweiten post habe ich mich durch eine zweite Punktladung ersetzt. Dann ersetze ich mich halt nicht die punktladung sondern ergänze mich um eine Punktladung. Das ist aber unwesentlich zur Lösung des Problems.

Und aus sicht der punktladung außerhalb des würfels bewegt sich die punktladung im würfel mit einer geschiwindigkeit von v.
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  #6  
Alt 04.10.09, 12:23
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Zitat:
Zitat von OmegaPirat Beitrag anzeigen
(ich bewege mich mit genau dieser punktladung mit)
Eben und deshalb befindest Du dich im Ruhesystem dieser Punktladung.
Und in diesem Ruhesystem wirst Du die klassischen Gesetzte des el.mag.Feldes nicht auffinden können.
Diese wurden in einem Ruhesystem, in welchem sich zwei Punktladungen relativ zueinander bewegen, aufgefunden.
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Ge?ndert von EMI (04.10.09 um 12:34 Uhr)
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  #7  
Alt 04.10.09, 13:09
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Zitat:
Zitat von EMI Beitrag anzeigen
Eben und deshalb befindest Du dich im Ruhesystem dieser Punktladung.
Und in diesem Ruhesystem wirst Du die klassischen Gesetzte des el.mag.Feldes nicht auffinden können.
Diese wurden in einem Ruhesystem, in welchem sich zwei Punktladungen relativ zueinander bewegen, aufgefunden.
aber ich habe hier doch zwei punktladungen, die sich relativ zueinander bewegen. ich beschreibe die situation jetzt einfach nur aus sicht einer der beiden Punktladungen.

wenn ich einen geladen gegenstand habe, den ich als ruhend definiere, sind doch die gesetze der klassischen elektrodynamik nicht plötzlich ungültig, sowas habe ich noch nie gehört.

Außerdem kommt man über den weg, den ich beschrieb ja zu den gesetzen der klassischen E-dynamik, wenn man nur die richtige dichte nimmt auf die ich nicht komme.

edit:
und noch etwas. Man kann einer ladungsdichte theoretisch ein elektrisches feld zuordnen, ohne dass man eine zusätzliche ladung hat auf der das elektrische Feld eine Kraftwirkung ausübt. Natürlich braucht man eine zusätzliche Ladung, wenn man so ein Feld ausmessen will, weil das elektrische Feld eine Hilfsgröße ist, man also die Kraftwirkung auf eine ladungseinheit normiert.
Theoretisch kann man aber dennoch einer punktladung das feld E=q/(4*pi*epsilon*r²) zuordnen, deshalb kann ich nicht verstehen, warum man darauf besteht eine zweite punktladung nebenher laufen zu lassen. ich bewege mich hier nicht in der experimentalphysik. es geht mit nur darum einer punktladung elektrische und magnetische felder in beliebigen Inertialsystemen zuzuordnen, so dass letztlich die kraftwirkung auf (möglicherweise später hinzugeführte) ladungen korrekt wiedergegeben wird. Demnach habe ich nur eine Punktladung und möchte ihr als Folge der Längenkontraktion eine magnetische Feldstärke in einem mit v relativ dazu bewegtem intertialsystem zuordnen.

Ge?ndert von OmegaPirat (04.10.09 um 13:27 Uhr)
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  #8  
Alt 04.10.09, 13:35
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Zitat:
Zitat von OmegaPirat Beitrag anzeigen
Demnach habe ich nur eine Punktladung und möchte ihr als Folge der Längenkontraktion eine magnetische Feldstärke in einem mit v relativ dazu bewegtem intertialsystem zuordnen.
Kannst Du ja, ist doch nichts dagegen einzuwenden.
Nur darfst Du dich halt nicht darüber wundern das dein Ergebnis dann nicht dem mag.Feld entspricht was in einem Ruhesystem in dem sich 2 el.Ladungen zueinander bewegen errechnet und gemessen wird.
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  #9  
Alt 04.10.09, 15:40
OmegaPirat OmegaPirat ist offline
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Kannst du das näher erläutern, weil irgendwie habe ich ein Brett vorm Kopf, ich verstehs nicht.

Edit:
Also wenn man klassisch ein wenig rumrechnet dann erhält man für das B-Feld einer Punktladung q zu welchem man sich relativ mit v bewegt (fettdruck bedeutet vektor)
B=q*(rxv)/(4*pi*epsilon* r³)
wie gesagt das folgte aus der klassischen rechnung, hier betrachtet man aber gar nicht zwei relativ zueinander bewegte ladungen, sondern nur eine ladung, dessen B-Feld man in einem beliebigen inertialsystem beschreibt.

genau das gleiche versuche ich jetzt auch nur, dass ich versuche dieses gesetz relativisitisch auszurechnen.
Dabei betrachte ich wieder eine punktladung und versuche das B-Feld in irgendeinem beliebigen inertialsystem zu beschreiben. Diesmal nehme ich aber nicht als ausgangspunkt das experimentell bestätigte Biot-Savart-Gesetz, sondern die längenkontraktion.

Ge?ndert von OmegaPirat (04.10.09 um 15:54 Uhr)
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  #10  
Alt 04.10.09, 17:40
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Zitat:
Zitat von OmegaPirat Beitrag anzeigen
Diesmal nehme ich aber nicht als ausgangspunkt das experimentell bestätigte Biot-Savart-Gesetz, sondern die längenkontraktion.
Genau das habe ich doch oben gemacht.
Gehen wir da mal etwas weiter:

...
...
...
aufsummiert folgt für die Gesamtzusatzkraft:
dFcGes = - (q1*q2/4*Π*εo*r²) * (v1*v2/c²)

Mit dieser Zusatzkraft lässt sich nun das Biot-Savartsche Gesetz folgern.
Für den Strom I gilt I=q/t und mit v=L/t folgt: I*L = q*v
damit wird:

dFcG = - (I1*L1)*(I2*L2) / 4*Π*εo*r²*c²

Mit B = F/I*L und I1*L1=I2*L2=I*L folgt:

B = - I*L/4*Π*εo*r²*c²

und schließlich erhalten wir mit:
εoo = 1/c² sowie H=B/µo
die Beziehung von BIOT und SAVART für die magnetische Feldstärke:

H = - I*L/4*Π*r²
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