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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 13.11.10, 16:22
Benutzerbild von eigenvector
eigenvector eigenvector ist offline
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Standard Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Kannst du in Schwarzschildkoordinaten auf die Eigenzeit eines frei fallenden Massenpunktes umrechnen? Und zwar so, dass man es auch versteht?

Und sorry SCR, für Off-Topic. Aber ich denke mal, das interessiert dich auch, oder?
Um Off-Topic-Diskussionen zu vermeiden, dachte ich mir, ich kann dafür ja auch gleich ein neues Thema aufmachen.

Naja, machen wir mal den Anfang:

Das Linienelement hat in der äußeren Schwarzschild-Lösung die Form:

ds²=dr²/(1-a/r)+r²(dϑ²+dφ²sin²(ϑ))-(1-a/r)(cdt)²

Je nach Vorzeichenkonvention könnte das auch ein bisschen anders Aussehen.
Hier ist φ der Azimutwinkel und ϑ der Polarwinkel.
Bei r ist die Sache etwas schwieriger, r beschreibt nämlich nicht den Radius, sondern r=const beschreibt Flächen mit einer Oberfläche von 4πr² (da der Raum gekrümmt ist, ist das nicht das Gleiche wie der Radius).
t beschreibt die Koordinatenzeit. Man kann relativ leicht sehen, dass diese Koordinatenzeit übereinstimmt mit der Eigenzeit einer stationären Uhr, die unendlich weit vom Zentrum entfernt ist.
a bezeichnet den Schwarzschild-Radius.

Um zur Eigenzeit zu kommen, die Eigenzeit, nennen wir sie mal τ, ist definiert über:

ds²=-(cdτ)²

Will man nun also die Eigenzeit für einen frei fallenden Massenpunkt berechnen, so man erst mal eine Lösung der Geodätengleichung zur Schwarzschild-Metrik finden. Die Geodäte beschreibt dann die Bahnkurve des frei fallenden Massenpunkts in den Koordinaten der Schwarzschild-Metrik.
Um dann auszurechnen, wie die Eigenzeit für den Massenpunkt entlang seiner Bahnkurve verläuft, muss man nur noch dτ entlang dieser Kurve integrieren.

Für gewöhnlich allerdings, nimmt man die Eigenzeit gleich als den affinen Parameter an, der das entlang laufen auf der Geodäte beschreibt, wenn man eine Geodäte für einen Massenpunkt ausrechnet.
Dann kann man sich die Integration sparen.

Das war jetzt zwar nicht die eigentliche Rechnung, ich kann mich nämlich grad nicht dazu aufraffen die Geodätengleichung zu lösen, aber ich hoffe, dass ich damit schon mal ein bisschen weiter geholfen habe.
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  #2  
Alt 13.11.10, 16:57
Benutzerbild von Marco Polo
Marco Polo Marco Polo ist offline
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Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Soweit erst mal vielen Dank an dich, eigenvector.

Endlich mal jemand, der sich auskennt. Das hatte ich dann wohl nicht zu unrecht vermutet.

Ich komme frühestens am Sonntag dazu, mich mit deinen Ausführungen zu beschäftigen.

Das Thema ist überaus interessant.

Beste Grüsse, Marco Polo
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  #3  
Alt 14.11.10, 07:43
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Hi eigenvector,
Zitat:
Zitat von eigenvector Beitrag anzeigen
ich kann mich nämlich grad nicht dazu aufraffen die Geodätengleichung zu lösen,
vielleicht erspart das hier etwas Arbeit: http://physics.stfx.ca/~pmarzlin/lec...sarbeitung.pdf
(Geodätengleichung: Seite 12; Ausgangsnotation siehe Herleitung S. 2-3)
Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Und sorry SCR, für Off-Topic. Aber ich denke mal, das interessiert dich auch, oder?
Jepp -> Kein Problem. Ich find's sogar äußerst konstruktiv.

Ge?ndert von SCR (14.11.10 um 07:59 Uhr)
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  #4  
Alt 14.11.10, 11:01
Benutzerbild von eigenvector
eigenvector eigenvector ist offline
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Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Hi eigenvector,

vielleicht erspart das hier etwas Arbeit: http://physics.stfx.ca/~pmarzlin/lec...sarbeitung.pdf
(Geodätengleichung: Seite 12; Ausgangsnotation siehe Herleitung S. 2-3)
Ja, vielen dank, da ist genau die Rechnung enthalten, die ich machen wollte.
Allerdings nicht auf Seite 12, denn dort steht die Lösung der Geodätengleichung für die Lichtablenkung.

Hier war aber gefragt nach einem frei fallenden Massenpunkt.
Die dazugehörige Lösung findet sich im Abschnitt 4.3 (ab Seite 15).
Dort wird die Geodätengleichung für einen Massenpunkt für eine rein radiale Bewegung gelöst (also keine Bewegung in ϑ- oder φ-Richtung), was eine praktische Vereinfachung ist.

Die Ableitungen der Bahnkurve nach der Eigenzeit sind in den Gleichungen (40)+(41) angegeben.
Die erste von beiden kann man integrieren um die Eigenzeit zu erhalten, die verläuft, wenn man sich entlang der r-Koordinate bewegt.

Die Eigenzeit, die der Massenpunkt benötigt um von einer Entfernung r₀ bis zum Schwarzschild-Radius zu fallen ist in Gleichung (44) angegeben.

Ge?ndert von eigenvector (14.11.10 um 11:06 Uhr)
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  #5  
Alt 15.11.10, 05:34
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Morgen eigenvector,
Zitat:
Zitat von eigenvector Beitrag anzeigen
Allerdings nicht auf Seite 12, denn dort steht die Lösung der Geodätengleichung für die Lichtablenkung. [...] Hier war aber gefragt nach einem frei fallenden Massenpunkt. Die dazugehörige Lösung findet sich im Abschnitt 4.3 (ab Seite 15).
Richtig: Eigentlich meinte ich auch Seite 15 -> Sorry, mein Fehler.
Zitat:
Zitat von eigenvector Beitrag anzeigen
Die Ableitungen der Bahnkurve nach der Eigenzeit sind in den Gleichungen (40)+(41) angegeben.
Für unsere Betrachtungen interessant sollte IMHO doch jetzt folgende Passage sein:
Zitat:
Zitat von Stäheli
Für ein Testteilchen sagen diese Gleichungen aus, dass es die unendlich lange Zeit [Gleichung (42)] braucht, um die endliche Strecke [Gleichung (43)] zurückzulegen, aber schon in endlicher Eigenzeit [Gleichung (44)] an sein Ziel gelangt.
Das frei fallende Testteilchen würde also wahrscheinlich gar nichts aussergewöhnliches bei r = RS feststellen.
Ein Photon würde ebenfalls eine unendlich lange Zeit, nämlich [Gleichung (45)] benötigen, um die endliche Strecke S0 zurückzulegen.
Diese Feststellungen werden in dieser Intention von vielen/allen seriösen Fachpublikationen gedeckt und müssten damit dem kosmoligischen Standardmodell entsprechen.

Könntest Du (oder gerne auch jemand anderes *) bitte verbal etwas näher erläutern, was diese Aussage (in Deinen Augen) bedeutet?
Konkret wird z.B. in diesem Zusammenhang häufig davon gesprochen, dass am EH für einen weit entfernten Beobachter alles "einfriert" - Teilst Du diese Einschätzung?

Gerne möglichst ausführlich und präzise - Danke!

*: Das fände ich eigentlich sogar "fairer": Mir ist nicht bekannt, dass eigenvector eine solche Aussage bisher hier im Forum getätigt hätte -> Er würde an dieser Stelle durch mich erst zu einer solchen "provoziert" - "stellvertretend für andere".

Ge?ndert von SCR (15.11.10 um 06:44 Uhr)
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  #6  
Alt 15.11.10, 20:23
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Da habe ich diesbezüglich ein sehr schönes Zitat von Dir gefunden, Marco Polo:
Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Es wird auch immer wieder behauptet, dass aus unendlicher Entfernung (flache Raumzeit) ein Objekt quasi am EH einfriert, wenn es sich diesem nähert.
(Schön IMHO deshalb, weil Du es völlig neutral dargestellt hast -> Perfekt zum Zitieren geeignet)

Aber anscheinend vertritt gar niemand hier diese Meinung ... Das wäre IMHO völlig o.k.
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  #7  
Alt 15.11.10, 20:56
Benutzerbild von Marco Polo
Marco Polo Marco Polo ist offline
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Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Da habe ich diesbezüglich ein sehr schönes Zitat von Dir gefunden, Marco Polo:
Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Es wird auch immer wieder behauptet, dass aus unendlicher Entfernung (flache Raumzeit) ein Objekt quasi am EH einfriert, wenn es sich diesem nähert.
(Schön IMHO deshalb, weil Du es völlig neutral dargestellt hast -> Perfekt zum Zitieren geeignet)

Aber anscheinend vertritt gar niemand hier diese Meinung ... Das wäre IMHO völlig o.k.
Wie kommst du darauf, dass gar niemand hier diese Meinung vertritt und von welcher Meinung sprichst du eigentlich?

Mein ganzer Beitrag von damals lautete wiefolgt:

Zitat:
Hallo zusammen,

wenn ich auch kurz Stellung beziehen darf.

Man muss zwischen einer Uhr und einem Photon am EH unterscheiden.

Ein Freifall-Koordinatensystem ist auch am EH lokal ein Inertialsystem.

Die Zeit vergeht also in diesem lokalen Inertialsystem völlig normal.

Das kann man aber nicht auf ein Photon am EH übertragen.

Es wird auch immer wieder behauptet, dass aus unendlicher Entfernung (flache Raumzeit) ein Objekt quasi am EH einfriert, wenn es sich diesem nähert.

So wie ich das verstanden habe, gilt dies aber nur für Schwarzschildkoordinaten, also für die äussere Metrik.

Für die innere Metrik müssen angeblich die Kruskal-Szekeres-Koordinaten verwendet werden, wenn man Wikipedia Glauben schenkt.

Ein Photon kann den EH anhand dieses Koordiantensystems von innen heraus nie erreichen, braucht also unendlich lang.

Lokal gesehen bewegt es sich aber stes mit c.

Man muss also bei der ART genauso wie bei der SRT auf die Wahl und die damit verbundenen Eigenheiten, bezüglich des verwendeten Bezugssystems acht geben.

Weiter möchte ich mich dazu aber nicht hervorwagen.

Gruss, Marco Polo
daraufhin hattest du erwiedert:

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Das war gut - Sehr gut. Zumindest aus meiner Sicht.
Anscheinend hast du deine Meinung geändert.

Davon abgesehen, würde ich den Beitrag so nicht noch mal formulieren. Tatsächlich ist es so, dass sich aus Sicht eines unendlich weit entfernten feldfreien Beobachters, Objekte lediglich asymptotisch dem EH annähern, dafür also unendlich lange brauchen.

Gäbe es ungeladene nichtrotierende SL´s (was eher unwahrscheinlich ist), dann würden wir das auch tatsächlich so wahrnehmen. Dazu brauchen wir keine Schwarzschildmetrik. Die dient nur zur Berechnung.

Ge?ndert von Marco Polo (15.11.10 um 20:58 Uhr)
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  #8  
Alt 15.11.10, 21:45
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Hallo Marco Polo,
Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Wie kommst du darauf, dass gar niemand hier diese Meinung vertritt und von welcher Meinung sprichst du eigentlich?
? Von genau dieser hier:
Zitat:
Es wird auch immer wieder behauptet, dass aus unendlicher Entfernung (flache Raumzeit) ein Objekt quasi am EH einfriert, wenn es sich diesem nähert.
Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Anscheinend hast du deine Meinung geändert.
Ehrlich gesagt weiß ich heute nicht mehr, welche Meinung ich (bzw. weshalb ich diese) damals vertreten hatte ...
Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Davon abgesehen, würde ich den Beitrag so nicht noch mal formulieren.
In welchem Punkt / In welchen Punkten? Denn auch heute würde ich diesen Beitrag eigentlich als (grundsätzlich) richtig erachten: Ich sehe da jetzt nichts konkret Falsches.

Ich hatte Dein Zitat eigentlich gerade deshalb gewählt, weil Du (als einziger!) das mit dem "Einfrieren" hier einmal in einer "Möglichkeitsform" formuliert hattest - Das sollte jetzt gerade kein explizites Herausgreifen Deiner Person sein.
Ich wollte niemanden mittels einer von ihm diesbezüglich getätigten Aussage zu einer Erwiderung nötigen - Sondern eigentlich "Freiwillige vor": "Ja, das ist meine Meinung - Das werde ich SCR jetzt auch hier so sagen."
Na ja, wie man's halt immer macht - man macht's verkehrt ... Und SCR ist eben einer der diesbezüglich keinen sich beitenden Napf auslässt ;-)
Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Tatsächlich ist es so, dass sich aus Sicht eines unendlich weit entfernten feldfreien Beobachters, Objekte lediglich asymptotisch dem EH annähern, dafür also unendlich lange brauchen.
Nachdem ich es jetzt eh schon verhunzt habe:
Ein feldfreier Beobachter sieht demnach gar nichts in ein SL hineinstürzen, alles bewegt sich zwar darauf zu, wird mit zunehmender Nähe zum EH aber (scheinbar) immer langsamer um am EH in der Bewegung gänzlich zu erstarren - Das ist doch (so ganz grob) mit diesem "Einfrieren" gemeint, oder?
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  #9  
Alt 16.11.10, 00:18
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beitr?ge: 4.170
Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Hi
Zitat:
Das ist doch (so ganz grob) mit diesem "Einfrieren" gemeint, oder?
So ergibt sich dies. Wobei zusaetlich Amplituden von EM Wellen auf 0 sinken.
Und umgekehrt bedeutet dies, dass in dem Moment in dem der Freifaller den EH ueberquert das Universum des Astronomen um weit ueber 10^100 Jahre gealtert ist. Genauer limit t->oo

Ge?ndert von richy (16.11.10 um 00:20 Uhr)
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  #10  
Alt 16.11.10, 02:44
zttl zttl ist offline
Aufsteiger
 
Registriert seit: 18.03.2008
Beitr?ge: 88
Standard AW: Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

Zitat:
Zitat von eigenvector
Die Ableitungen der Bahnkurve nach der Eigenzeit sind in den Gleichungen (40)+(41) angegeben.
Die erste von beiden kann man integrieren um die Eigenzeit zu erhalten, die verläuft, wenn man sich entlang der r-Koordinate bewegt.
Und wie berechnest du mit der Gleichung (12) die Konstante A, die du in (40) und (41) einsetzen willst? Klingt ganz nach "Sich an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen".

Wie lange braucht denn eine radial freifallende Uhr bis zum Ereignishorizont der als SL gedachten Erde in ihrer Eigenzeit? Start ist von der "Erdoberfläche" mit der Anfangsgeschwindigkeit 0.

Eine mit konkreten Zahlen belegte Newton-Lösung wäre bereits ein Highlight. Von Einsteins ART nicht zu reden.
__________________
"Es gibt keinen Unsinn, den man der Masse nicht durch geschickte Propaganda mundgerecht machen könnte." – Lord Bertrand Russell

Ge?ndert von zttl (16.11.10 um 02:48 Uhr)
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