Pyramiden und mehr

[richy]

Hi
Ich habe mich noch ein bischen weiter mit Kettenbruechen beschaeftigt. Fuer konstante Koeffizienten ergeben sich recht einfache Verhaeltnisse. Man kann man sogar eine explizite K(n) angeben, welchen Wert der Kettenbruch (auch fuer nichtganzzahlige n) liefert. Diese Funktion K(n) interessiert mich besonders, um zu sehen was Mueller denn hier im Grunde anschreibt.

Sind die Koeffizienten nicht konstant wird es ausserordentlich schwierig. Bei Global Scaling ist dies der Fall.
Man kann hier einfach einige Ergebnisse akzeptieren. Sehr viel weiter bin ich bisher nicht gekommen. Mehr duerfte fuer die Global Scaling Teilnehmer auch nicht drin sein. Es ist ein recht heftiges Thema, das Mueller hier auftischt. Allerdings bietet die Ueberfuehrung in Potenzreihen eine Loesungsmethode

Mein Weg :
Einfache Dartstellung von Kettenbruechen ueber Differenzengleichungen.
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Vorbemerkung :
Im allgemeinen interessiert an einem Kettenbruch gegen welchen Wert er fuer k->oo konvergiert. Die Loesung der hier hergeleiteten Differenzengleichungen wuerde mehr leisten, da eine geschlossene Darstellung als Funktion K(k) moeglich waere.
Umgekehrt ist nur daher auch nur fuer einfachste Faelle eine Loesung zu erwarten.
Fuer einen einfachen Typ kann man K(k) jedoch geschlossen angeben .Die Methode dafuer ist sehr einfach :

Kettenbruch mit konstanten Koeffizienten.
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Man loese die Differenzengleichung :
g(k+1)=a+1/g(k)

Das ist eine Differenzengleichung erster Ordnung mit konstantem Koeffizient a. Setzt man den Ausdruck der rechten Seite a+1/g(k) in g(k) ein, so sieht man, dass die Iteration einen sich entwickenden Kettenbruch K(k) darstellt.
Siehe auch :
http://home.arcor.de/richardon/richy...tic/sofort.htm
Man koennte den Grenzwert auch berechnen, indem man einfach
g(k+1)-g(k)=0 setzt. Fuer a=1 waere dies bekanntlicherweise der goldenen Schnitt.

Gibt es auch eine geschlosene Loesung fuer g(k) ?
MAPLE verweigert hier seine Arbeit :-), da die Gleichung nichtlinear ist. Betrachtet man Zaehler und Nenner von g(k) getrennt, g(k)=Z(n)/N(n), so sieht man durch sukzessives einsetzen, dass diese wie ewartet einer Fibonacci Reihe folgen.
Hier hatte ich dies schon einmal konkret gerechnet :
http://www.quanten.de/forum/showthre...Transformation
Ueber eine Substitution geht dies allerdings sehr viel schneller :-)

Die Reihe ist analytisch als Fib(k) beschreibbar und damit auch der Kettenbruch Fib(k+1)/Fib(k) !

Daher :
Trick um die DZGL g(k+1)=a+1/g(k) zu loesen :
Umwandeln in eine DZGL 2 ter Ordnung ueber Substitution :

g(k+1)=a+1/g(k)

SUBSTITUTION:
g(k+1)=F(k+1)/F(k)
***************
=> g(k)=F(k)/F(k-1)

F(k+1)/F(k)=a+ F(k-1)/F(k)
1) F(k+1)=a*F(k)+ F(k-1)
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Kann man diese DZGL loesen (und das kann man natuerlich, da sie linear ist), so ist auch der Kettenbruch g(k) analytisch angebbar.

Ueber die Substitution sieht man uebrigends sehr schoen den Zusammenhang zwischen goldenem Schnitt und Fib Zahlen.

Die Loesung von 1) ist ein etwas unhandlicherer Ausdruck, so dass ich diese hier nicht anschreibe. Fuer k element R ist die Funktion komplexwertig und beschreibt eine Spirale um das Konvergenzzentrum.
Man kann die Naeherungen von Binet zur Vereinfachung verwenden.
Ebenso studieren, warum Kettenbrueche nur schwer zu addieren sind.
(Multiplikation duerfte einfacher sein)
ciao