Diskretisierung der ART Betrachtung Schwachfeld-Approximation

[ghostwhisperer]

Zitat von Bernhard

Die Existenz einer "Metrik" wird üblicherweise vorausgesetzt. Dh man geht von einer riemannschen Mannigfaltigkeit aus und hat damit automatisch einen Atlas, d.h. eine Darstellung des vorausgesetzten metrischen Tensorfeldes und deren Koordinatendarstellung.

Ausgehend davon kann man dann ein allgemeines Tetradenfeld definieren, um so Dinge wie die lokale Krümmung etwas komfortabler und anschaulicher zu berechnen. Aus dem Tetradenfeld kann man dann auch gemäß den Gesetzen der Tensorrechnung auf Mannigfaltigkeiten auch wieder die Komponenten des metrischen Tensors in den verschiedenen Darstellungen ausrechnen.

Diese Grundlagen kann man sehr gut in dem Standardlehrbuch von Misner, Thorne und Wheeler nachlesen - starke Empfehlung um sich hier mühsame Tipparbeit ohne LaTeX-Darstellung zu ersparen .

Das war klar. Ich komme jedoch ncht mit dem Summieren über Indizes klar.
Was ich gefunden hab lautet :
gµv = e^(i)µ*e^(j)v * nij (in klammern: obere indizes)

Deswegen hab ich erstmal versucht das Ganze geometrisch zu zeichnen. Und
komme dann auf die vorhin angegebene Metrik.
(1 b)
(a 1)

Ich verstehe nur nicht, wie die Formel zum selben Ergebnis kommen soll wie die Zeichnung.
Ich hab schon ewig im Internet gesucht, finde aber keine wirklich einleuchtende Erklärung bzw. komplette Durchrechnung.

Da fällt mir gerade auf: mit Tetraden ist die Metrik nicht zwangsläufig symmetrisch... hätte in 4D also 16 statt 10 Komponenten. Wenn die Angaben richtig sind.
Danke!

Nachtrag : Ich gehe jetzt aus von der Definition in https://de.wikipedia.org/wiki/Tetrad...3%A4tstheorie)

Das führt auf das selbe Ergebnis wie meine Zeichnung von Verschiebungs-Vektoren. Leider.. Ich hatte eigentlich was anderes erhofft.

DANK nochmal!

[Bernhard]

Zitat von ghostwhisperer

Ich komme jedoch ncht mit dem Summieren über Indizes klar.

Du musst halt strikt zwischen den Koordinaten- und Tetradenindizes unterscheiden. Jeder Vektor/Tensor kann entweder mit Koordinaten- oder Tetradenindizes dargestellt werden.

Da fällt mir gerade auf: mit Tetraden ist die Metrik nicht zwangsläufig symmetrisch...

Das stimmt nicht und hat nichts mit den Tetraden zu tun. Entweder du hast einen symmetrischen metrischen Tensor (wie in der ART) oder eben nicht. Der symmetrische metrische Tensor ergibt in den Tetradenindizes global normalerweise immer die Minkowski-Metrik und bleibt damit symmetrisch. Das ist ja gerade der Sinn der Tetraden, dass man eine möglichst einfache und anschauliche Darstellung des metrischen Tensors bekommt.

[ghostwhisperer]

Zitat von Bernhard

Du musst halt strikt zwischen den Koordinaten- und Tetradenindizes unterscheiden. Jeder Vektor/Tensor kann entweder mit Koordinaten- oder Tetradenindizes dargestellt werden.


Das stimmt nicht und hat nichts mit den Tetraden zu tun. Entweder du hast einen symmetrischen metrischen Tensor (wie in der ART) oder eben nicht. Der symmetrische metrische Tensor ergibt in den Tetradenindizes global normalerweise immer die Minkowski-Metrik und bleibt damit symmetrisch. Das ist ja gerade der Sinn der Tetraden, dass man eine möglichst einfache und anschauliche Darstellung des metrischen Tensors bekommt.

Ok, dann hab ich die Metrik doch falsch ausgerechnet oder man muss die Freiheitsgrade der Vierbeine einschränken (1 a)(b 1) nur wenn a=b:
e1_1*e1_1 = 1
e2_2*e2_2 = 1
e1_2*e2_2 = a
e2_1*e1_1 = b
So hab ich das im Net jedenfalls gefunden.
Es geht mir darum aus den Tetraden auf eine Metrik zu schließen, nicht umgekehrt. Und wenn ich das noch richtig im Kopf hab.. ich hab irgendwo mal gelesen dass die Vektordarstellung sei fundamentaler als die dazugehörige Metrik.

[Bernhard]

Zitat von ghostwhisperer

Ok, dann hab ich die Metrik doch falsch ausgerechnet oder man muss die Freiheitsgrade der Vierbeine einschränken (1 a)(b 1) nur wenn a=b:
e1_1*e1_1 = 1
e2_2*e2_2 = 1
e1_2*e2_2 = a
e2_1*e1_1 = b
So hab ich das im Net jedenfalls gefunden.

Das ist irgendein Spezialfall und ohne Kontext so gut wie wertlos.

Es geht mir darum aus den Tetraden auf eine Metrik zu schließen, nicht umgekehrt.

Kennt man die Tetraden, kennt man wie gesagt vorher schon die Metrik, weil man die Tetraden normalerweise ausgehend von der Metrik konstruiert. Man kann aber natürlich aus dem Tetradenfeld auch wieder die Koordinatendarstellung des metrischen Tensors rekonstruieren. Du hast oben schon die passende Formel dazu angegeben. Das ist die hier:

Zitat von ghostwhisperer

Was ich gefunden hab lautet :
gµv = e^(i)µ*e^(j)v * nij (in klammern: obere indizes)

Man muss halt nur genau wissen, was die e^(i)µ sind: Es sind die Tetradenfelder. gµv ist die Koordinatendarstellung des metrischen Tensors und nij ist die Minkowski-Metrik. Ob die Formel in allen Details stimmt, wie Index oben unten und Art der Indizes lasse ich mal außen vor - dafür gibt es besagtes Lehrbuch. Da kann man das in allen benötigten Details nachlesen und damit dann auch rechnen.

BTW: Die Tetrade definiert für jeden Punkt der Raumzeit ein frei fallendes Bezugssystem in dem man dann streng lokal eben die Minkowski-Metrik verwenden darf. Da die Minkowski-Metrik lorentzinvariant ist, hat man bei der Wahl eines Tetradenfeldes große Freiheitsgrade. Meist verwendet man die Tetrade so, dass alle benötigten Rechnugen damit möglichst einfach und übersichtlich ausfallen.

ich hab irgendwo mal gelesen dass die Vektordarstellung sei fundamentaler als die dazugehörige Metrik.

Den Satz findet man bei C. Rovelli. Die Rechnungen zeigen, dass man mit den Tetraden unphysikalische Koordinateneffekte ein Stück weit los wird. Die cartansche Krümmungsform hat nur noch sechs unabhängige Komponenten und aus der kann man immerhin alle Komponenten des riemannschen Krümmungstensors ableiten. Es geht also vor allem um eine Vereinfachung von Rechnungen.

[TomS]

Tetraden / 4-Beine sind zwingend notwendig, wenn man Spinoren an die Raumzeit koppeln möchte. Die notwendige Erweiterung der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie ART ist die Einstein-Cartan-Theorie ECT, die im Vakuum d.h. bei Abwesenheit von Feldern äquivalent zur ART ist, du die bei Anwesenheit von Feldern experimentell ununterscheidbar ist, da keine makroskopischen Spinströme bekannt sind, über die erst Abweichungen ins Spiel kommen.

Darüberhinaus erlaubt die Verwendung der ECT die Formulierung als Eichtheorie, wobei zwei lokale Symmetrien auftreten:
1) Diffeomorphismen
2) SO(3,1) oder verwandte Symmetrien als lokale Rotation der 4-Beine

Die kovariante Ableitung bzgl. letzterer führt auf eine Zusammenhangsform, aus deren Eichfeldern die 4-Beine als verallgemeinerte Feldstärken folgen.

[ghostwhisperer]

Zitat von TomS

Tetraden / 4-Beine sind zwingend notwendig, wenn man Spinoren an die Raumzeit koppeln möchte. Die notwendige Erweiterung der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie ART ist die Einstein-Cartan-Theorie ECT, die im Vakuum d.h. bei Abwesenheit von Feldern äquivalent zur ART ist, du die bei Anwesenheit von Feldern experimentell ununterscheidbar ist, da keine makroskopischen Spinströme bekannt sind, über die erst Abweichungen ins Spiel kommen.

Darüberhinaus erlaubt die Verwendung der ECT die Formulierung als Eichtheorie, wobei zwei lokale Symmetrien auftreten:
1) Diffeomorphismen
2) SO(3,1) oder verwandte Symmetrien als lokale Rotation der 4-Beine

Die kovariante Ableitung bzgl. letzterer führt auf eine Zusammenhangsform, aus deren Eichfeldern die 4-Beine als verallgemeinerte Feldstärken folgen.

Stimmt. Es erklärt leider nur nicht, was Spin letztlich sein soll..

[Bernhard]

Zitat von ghostwhisperer

Stimmt. Es erklärt leider nur nicht, was Spin letztlich sein soll..

Ist doch bekannt. Der Spin ist der Eigendrehimpuls der Elementarteilchen ...

[TomS]

Zitat von ghostwhisperer

Stimmt. Es erklärt leider nur nicht, was Spin letztlich sein soll..

Das war ja auch nicht die Frage, oder?

Letztlich ist der Spin eine eher abstrakte mathematische Eigenschaft. Aber die ist sehr gut verstanden.

[ghostwhisperer]

Zitat von TomS

Das war ja auch nicht die Frage, oder?

Letztlich ist der Spin eine eher abstrakte mathematische Eigenschaft. Aber die ist sehr gut verstanden.

Hallo! Mal eine Frage, die meiner Ansicht nach naheliegend ist:

Wurde irgendwo schon einmal überlegt, Spin bzw. magnetisches Dipol-Moment von Fermionen mit Verschiebungsstrom in Zusammenhang zu bringen?
Das wäre mal eine Alternative zu drehenden Teilchen,bzw. normalen Stromdichten.
Mein Ansatz: Was bewirkt Spin? Bei elektrisch geladenen Teilchen ein Magnetfeld. Klassisch Maxwell wird es von Stromdichten und Verschiebungsstrom, also zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern hervorgerufen.
In QFT sind Felder die elementaren Größen, die sich im Allgemeinen räumlich und zeitlich entwickeln. Daher meine Frage..
ghosti

[Bernhard]

Zitat von ghostwhisperer

Wurde irgendwo schon einmal überlegt, Spin bzw. magnetisches Dipol-Moment von Fermionen mit Verschiebungsstrom in Zusammenhang zu bringen?

Veröffentlichungen in diese Richtung kenne ich keine. Üblicherweise wird der Spin sehr effektiv mit Hilfe von Spinoren, bzw. Spinorfeldern beschrieben.