Math DZGL Katalog

[richy]

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"Mersenne" kette
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f[k+2]=f[k+1]+2*f[k]+2
f0=0,f1=1

f[k+2]................2*f[k]+2
------ = 1 + -----------------
f[k+1].................f[k+1]


Der Term 2/f[k+1] laesst sich mittels z[k+2]=f[k+2] / f[k+1] nicht einfach substituieren.

LOESUNG DES SUBSTITUTION-PROBLEMS :
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Ich kenne doch die Loesung ! Und kann damit f[k+1] explizit ausdruecken :
f[k]=2^k-1
f[k+1]=2^(k+1)-1 ...yeah :-)

aufs Neue :
f[k+2]/f[k+1]=1+2*f[k]/f[k+1]+2/(2^(k+1)-1)

Substitution : z[k+1]=f[k+2]/f[k+1]
Substitution der Anfangswerte :
z[1]=f[2]/f[1]=3 (man muss den Index verschieben)

Eingesetzt :
z[k+1]=1+2/z[k]+2/(2^(k+1)-1)
(kann man auch weiter umformen ..)

Das ist ein neuer Gedanke. Existiert die Loesung, kann ich mit dieser Teile ersetzen, die sich nicht substituieren lassen ! Das ist auch praktisch fuer andere Probleme !

Die Mersene Kette ist ein Kettenbruch mit variablen Koeffizienten !!!
Diese stellen in der DZGL 2ter Ordnung eine Konstante dar !


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"Mersenne" kette
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z[k+1]=1+2/z[k]+2/(2^(k+1)-1)
z0=3

LOESUNG :
(2^(k+2)-1)/(2^(k+1)-1)
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[richy]

Fibonacci mit beliebigen Anfangswerten
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s[k+2]=s[k+1]+s[k]
fuer beliebige Anfangswerte c0=s[0], c1=s[1]

l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) )



Komplexwerige Darstellung :

l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) );



A) Ein exponentiell wachsender Anteil
B) Exponentiell gedaempfter Realteil
C) Exponentiell gedaempfter Imaginaerteil

A+ B bilden dabei die Loesung fuer ganzzahlige k

[richy]

Anwendung :
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Ueber letztere Darstelung lassen sich nun auch Anfangswerte so waehlen, dass verschiedene Charakteren vorgegeben werden koennen.

Beispiel 1
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Unterdruecken des Exponentielle Wachstums der Fib Zahlen :
Im Gegendatz zur ueblichen Darstellung sieht man sofort dass dies erfuellt ist wenn ich den ueber die Anfangswerte gebildeten Vorfaktors des Terms A geeignet waehle :

solve(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1=0,c0);

Die Loesung lautet :
c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
Fuer c1=-1 erhalt man (nicht unbedingt ueberraschenderweise)
c0= goldener Schnitt

Fib DZGL
s0=Phi, s1=1
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Bild der Spirale :

with(plots);
c1:=-1; c0:=-1/2*c1*(1+5^(1/2));
l:=evalc(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c 1},s));
complexplot(l,n=0..50);

[richy]

Einige einfachste Loesungen der DZGL's vom Fibonaccityp :

Anfangswert Kuehlschrankform (2011)
f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=k, f(1)=2*k

Loesung : k*2^n
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f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=i

Loesung : i^n = exp(i*Pi/2*n)
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f(n+2)=-2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-i

Loesung : (-i)^n
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f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=2*i

Loesung : (n+1)*i^n
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f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-2*i

Loesung : (n+1)*(-i)^n
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f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=k, f(1)=k

Loesung : k*(n+1)*(1/2)^n
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f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=2*k, f(1)=k

Loesung : 2*k*(1/2)^n
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Kuehlschrankform die zu Mersenne fuehrt
f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=1, f(1)=2

Loesung : 2^n
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EDIT 2010
Wenn ich noch bei allen wuesste wie ich damals darauf kam waere ich froh :-)

EDIT 2011
Indem man nicht den Re und Im Teil getrennt betrachtet wie im folgenden ?
Sowie durch herantasten.

[richy]

Gleichungen um die einfachen Loesungen zu konstruieren :

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Fib P 1 DZGL
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f[k]=P*f[k-1]+f[k-2]

f0=1, f1=c1

l:=((rsolve({y(n+2)=P*y(n+1)+y(n),y(0)=1,y(1)=c1}, y)));



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Fib Q 1 DZGL
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f[k]=f[k-1]+Q*f[k-2]

f0=1, f1=c1

l:=((rsolve({y(n+2)=y(n+1)+Q*y(n),y(0)=1,y(1)=c1}, y)));



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Fib PQ 1 DZGL
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f[k]=P*f[k-1]+Q*f[k-2]

f0=1, f1=c1

l:=((rsolve({y(n+2)=P*y(n+1)+Q*y(n),y(0)=1,y(1)=c1 },y)));

[richy]

Verhulst DZGL Logistische Gleichung :
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x[n]=r*x[n-1]*(1+x[n-1])
x0=0..1

Loesungen :
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(Erwin Schreoeder verwender den sinus statt cosinus bei r=4)

Losungsweg A :
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Der Loesungsansatz der Verhulst Gleichung besteht aus zwei Koordinatentransformationen. Eine lineare Transformation
T1: z(k)=1-2*x(k)
sowie eine nichtlineare Substitution, Transformation :
T2: s(k)=g{z(k)}

Folgende Aquivalenzen fueren zu T2:
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r=4 : arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)|
r=2 :ln(x)^2=2*ln(x)

Loesungsweg B fuer r=2
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Bestimmen der einzigen mehrfachen Nullstelle des Uebertragungspolynoms nach der Transformation T1

[richy]

Der einfachste Prototyp der quadratischen Form ist

Die zentrierte Verhulst DZGL (Mandelbrotform)
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x(k+1) = 1/2*r*(x(k)-1)*(x(k)+1)+1
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x0=-1..1

Loesungen :
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r:=2
x(k)=exp(2^(k)*ln|x0|) (strebt gegen 0)
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r:=4
x(k)=cos(2^(k)*arccos|x0|)
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Synthese:
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Folgt aus der Verhulst Gleichung unter T1 : x(k)=1/2*(1-z(k))

Beispiele der verketteten Polynome der zentrierten Verhulst Gleichung






Feigenbaumdiagramm der modifizierten Iteration :



http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2077

[richy]

Aus der zentrierten Form lassen sich durch lineares Dezentrieren viele weitere Varianten der Verhulst Gleichung konstruieren, die mit der selben Methode geloest werden koennen.

Ansatz :
zentriertes Polynom :
1/2*r*(s-1)*(s+1)+1

lineares dezentrieren :
Substitution s:=p+q*z

fuehrt auf das Polynom :
1/2*r*(p+q*z)^2-1/2*r+1

Loesbarer Fall r=2 :
(p+q*z)^2

Loesbarer Fall r=4 :
2*(p+q*z)^2-1

[richy]

allgemeine Verhulst DZGL
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Jede Differenzengleichung der Form

x[k+1]=(p+q*x[k])^2
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oder

x[k+1]=2*(p+q*x[k])^2-1
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laesst sich mit folender Substitution "zentrieren"

T1 : x[k]=(z[k]-p)/q

Und ist dann ueber T2 loesbar.

Beispiel VDZGL:
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Die Verhulst DZGL laesst sich durch folgende Substitution zentrieren :
x(k)=1/2*(1-z(k))

MAPLECODE ALS TEST
restart;g:=x1=2*x0*(1-x0);
> x1:=(1-z1)/2;
> x0:=(1-z0)/2;
> solve(g,z1);

und mittels x(k)=(1-2*z(k)) dezentrieren

MAPLECODE ALS TEST
restart;g:=x1=x0^2;
> x1:=(1-2*z1);
> x0:=(1-2*z0);
> solve(g,z1);

[richy]

Nichtlinearer Fibonaccityp der zentrierten VDZGL fuer r=2

Die zentrierte VDZGL :
x(k+1)=x(k)^2, x(0)=x0

ist identisch mit folgender nichtlinearen DZGL zweiter Ordnung :

x(n+2)=|x(n+1)|*x(n)^2, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
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(Es kann nur eine Aussage ueber den Betrag getroffen werden)

Dezentrieren auf Verhulst Form :
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Die Vehulst DZGL :
x(k+1)=2*x(k)*(1-x(k), x(0)=x0

ist identisch mit folgender nichtlinearen DZGL zweiter Ordnung :

x(n+2)=-1/2*( (1-2*x(n+1))*(1-2*x(n)^2)-1), x(0)=x(0), x(1)=2*x(0)*(1-x(0))
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