Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[Hawkwind]

Zitat von richy

Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein.

Ist auch ohne Polarform easy.
Gesucht sei die komplex Zahl z, die erfüllt:

(0) z = sqrt(i)

also ist Erfüllung der quadrierten Gleichung notwendige Bedingung:
(1) z*z = i

Nun stellen wir die unbekannte komplexe Zahl z durch ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y dar: z = x + i*y und setzen in (1) ein:

(2) x^2 - y^2 + 2*i*x*y = i

Zerlegung dieser Gl. in 2 Gleichungen für Real und Imaginärteil:

(2a) Realteil: x^2 - y^2 = 0 (Realteil von i ist ja 0)
(2b) Imaginärteil: 2*x*y = 1 (Imaginärteil von i ist 1)

Das sind 2 Gleichungen für die 2 reellen unbekannten x und y. Eine der Lösungen ist die von richy und benjamin angegebene. Eine 2. erhält man, da man bei Auflösung von (2a) vor Einsetzen in (2b) auch die negative Wurzel ziehen kann.

eine Lösung:
x = 1/sqrt(2),
y = 1/sqrt(2)
also z = 1/sqrt(2) + i/sqrt(2)

Bei den weiteren Lösungen mass man a bisserl aufpassen, nur die mitzunehmen, die auch Gl. (0) erfüllen. Durch das Quadrieren von Gl. (0) ist Gl. (1) nicht mehr äquivalent zu Gl. (0), sondern enthält weitere Lösungen, nämlich auch die für z = -sqrt(i).

Das ist übrigens reine Mathematik und hat nichts mit dem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Minkowskiraum zu tun.