Eigenzeit für äußere Schwarzschild-Metrik

[eigenvector]

Zitat von Marco Polo

Kannst du in Schwarzschildkoordinaten auf die Eigenzeit eines frei fallenden Massenpunktes umrechnen? Und zwar so, dass man es auch versteht?

Und sorry SCR, für Off-Topic. Aber ich denke mal, das interessiert dich auch, oder?

Um Off-Topic-Diskussionen zu vermeiden, dachte ich mir, ich kann dafür ja auch gleich ein neues Thema aufmachen.

Naja, machen wir mal den Anfang:

Das Linienelement hat in der äußeren Schwarzschild-Lösung die Form:

ds²=dr²/(1-a/r)+r²(dϑ²+dφ²sin²(ϑ))-(1-a/r)(cdt)²

Je nach Vorzeichenkonvention könnte das auch ein bisschen anders Aussehen.
Hier ist φ der Azimutwinkel und ϑ der Polarwinkel.
Bei r ist die Sache etwas schwieriger, r beschreibt nämlich nicht den Radius, sondern r=const beschreibt Flächen mit einer Oberfläche von 4πr² (da der Raum gekrümmt ist, ist das nicht das Gleiche wie der Radius).
t beschreibt die Koordinatenzeit. Man kann relativ leicht sehen, dass diese Koordinatenzeit übereinstimmt mit der Eigenzeit einer stationären Uhr, die unendlich weit vom Zentrum entfernt ist.
a bezeichnet den Schwarzschild-Radius.

Um zur Eigenzeit zu kommen, die Eigenzeit, nennen wir sie mal τ, ist definiert über:

ds²=-(cdτ)²

Will man nun also die Eigenzeit für einen frei fallenden Massenpunkt berechnen, so man erst mal eine Lösung der Geodätengleichung zur Schwarzschild-Metrik finden. Die Geodäte beschreibt dann die Bahnkurve des frei fallenden Massenpunkts in den Koordinaten der Schwarzschild-Metrik.
Um dann auszurechnen, wie die Eigenzeit für den Massenpunkt entlang seiner Bahnkurve verläuft, muss man nur noch dτ entlang dieser Kurve integrieren.

Für gewöhnlich allerdings, nimmt man die Eigenzeit gleich als den affinen Parameter an, der das entlang laufen auf der Geodäte beschreibt, wenn man eine Geodäte für einen Massenpunkt ausrechnet.
Dann kann man sich die Integration sparen.

Das war jetzt zwar nicht die eigentliche Rechnung, ich kann mich nämlich grad nicht dazu aufraffen die Geodätengleichung zu lösen, aber ich hoffe, dass ich damit schon mal ein bisschen weiter geholfen habe.