Math - Zahlenspielerei

[regeli]

Hi ! Muss zugeben , dass in der Schnelle nicht zu durchschauen , weil
ich hatte jetzt immer Probleme. Nach meiner Meinung gibt es einen
math.Satz , der vielleicht mehr Klarheit bringt.

Zuerst will ich nochmals meine Sache darstellen.

Für a hoch n wird für n eine Primteilerprodukt angenommen, Gegenbeispiel
wäre n ist prim.

Da n Primteilerprodukt wird nach dem Gesetz des Potenzierens , so gibt es mehrere
Darstellungen einer solchen Potenz, mehrere darstellbare Potenzen zu a .

Beispiel
Für 64 gibt es z.B. 4 ^3 mit 4= 2² Die Nachbarn sind hier 3 und 5. Diese Zahlen sind im Zahlenstrahl
neben der 4.


Für ungerade nat.Zahlen ( auch Primzahlen ) als Exponent gilt der untere
Teiler teilt unten und der obere teilt oben.

die 3 teilt 64 -1 und die 5 teilt 64 +1.

Die andere mögliche Darstellung ist 8² mit 8 = 2³ = 64

7 und 9 sind die Nachbarn von 8 und bei geradem Exponenten teilen beide unten bei 64 ist das nach der 3.Binomischen Formel 64-1 , das geteilt wird. (8+1)x(8-1)

Unten teilt unten ( Vorläufer teilt Vorläufer ) Oben teilt oben bei ungeradem
Exponenten und unten bei ungeradem Exponenten.

In dem Fall hier sind die Teiler richtig platziert und es ist erklärt , wie es
geht. Man muss wohl etwas üben.

Für den Fall dass der Exponent eine Primzahl ist ,schreibe ich noch etwas.

Gruss regeli

[richy]

Bischen weiter bin ich gekommen.
Hier das Ergebnis :


P=goldener Schnitt
Die drei Klammerausdruecke konvergieren fuer grosse a,b,gegen -1, so dass man auch naeherungsweise anschreiben kann:
Fib(a*b) etwa fib(a)*fib(b)*PHI^(a*b-a-b+1)*(PHI^2+1)/(PHI^2)
Fib(a*b) etwa fib(a)*fib(b)*PHI^(a*b-a-b+1)*(PHI+2)/(PHI+1)

[regeli]

Hi ! Wahnsinnstolle Formel , vorallem der Näherungstrick
an und mit dem Grenzwert.




Da fühlt man sich mit seinen einfachen Zahlenspielereien doch
etwas zu einfach aufgestellt.


Trotzdem noch eine kl. Fortsetzung , weil man ja nie weiß....

Man kann also z. B . die Zahl 64 durch verschiedene Potenzen
darstellen.

2^6 ,4^3 , 8 ^2 .

Die Basiswert 2,4,8 haben die Vorgänger 1,3,7 und die Nachfolger
3,5,9
Diese Vorgängerzahlen und Nachfolger teilen
die Nachbarn des Zahlenwertes der Potenz 64.

Dabei gelten zwei Regeln. Die Vorgänger der Basiswerte (1,3,7) teilen (Vorgänger teilen immer nur den Vorgänger)
den Vorgänger des Potenzwertes 64-1 (63) unabhängig davon ,ob der Exponent geradzahlig oder ungeradzahlig ist.

Die Nachfolger (3,5,9) teilen abhängig vom Exponenten entweder
die Vorgängerzahl der Potenz , bei geradzahligem Exponenten , oder
den Nachfolger bei ungeradem Exponenten.

Ist der Exponent primzahlig , so liegt ein ungerader Exponent vor.
Ist der Exponent primzahlig , so hat die Potenz nur eine Basis , ( Man kann die Ptenz nicht auf mehrere
Arten darstellen) Für Mehrfachdarstellungen ist die zerlegbarkeit des Exponenten in Primfaktoren
Voraussetzung.
Hier in der Diskussion
hatten wir ja die 2 als Basis , wegen Mersenne.

Die 2 hat den Vorgänger 1 und den Nachfolger 3.

Der Nachfolger 3 teilt die Folgezahl der Potenz ( des Zahlenwertes der
Potenz) Die Zahl 1 teilt den Vorgänger . Die 1 schränkt den Vorgänger-
wert der Potenz nicht ein. Verbietet den primen Charakter der Vorgänger-
zahl der Potenz nicht.

Da das Gesetz für alle a (Basiszahl) gilt , kann man eigentlich nur
sagen ob eine Teilbarkeitsaussage vorliegt oder keine Aussage gemacht
werden kann. Und wenn ja , so kann man Teiler angeben , wie in vor-
beschriebener Weise angegeben.

Also an die Primzahlen kommt man da nicht heran. Trotzdem ist es ein universales Zahlengesetz , mit dem ich Teiler auch für sehr große Potenzen
bzw. deren Nachbarn direkt vorherbestimmen kann.

Gruss regeli

[richy]

Hi regeli

Es ist normal, dass man dem was man so herleitet selbst immer am besten folgen kann. Aber auch nur solange man sich noch intensiv mit dem Thema befasst. Die Ascii Schreibweise ist natuerlich auch sehr unanschaulich. Ich schreibe ganz gerne in Maple Code. Dann kann ich mir die Gleichungen jederzeit wieder in Maple reproduzieren.

Es gibt bereits recht komplizierte Zusammenhaenge fuer Fib(a*b). Zur Erinnerung. Der Ausdruck hat Bedeutung wenn man wie bei den Mersenne Primzahlen die dritte binomische Formel anwenden moechte um die Fibonacci Primzahlen zu begruenden. Das leistet mein Ausdruck leider nicht. P ist darin der goldene Schnitt (1+Wurzel(5)), irrational. Dennoch ist neben fib(a) und fib(b) der restliche Ausdruck ganzzahlig.
Das kann ich nur indirekt beweisen. Es ist ja eher wie ein Wunder :-) (Im Grunde ist die Begruendung einfach. Weil fib(a) und fib(b) Teiler von fib(a*b) sein muessen ! )

Dennoch bin ich zum Teil zufrieden, da in meinem Ausdruck die Zahlen a und b voellig gleichberechtigt sind. Der Ausdruck ist symetrisch. Immerhin.
Nachdem ich nun weiss wie man dieses Zwischenziel einfach erreicht, will ich dies auch nochmal auf die Mersenne Primzahlen anwenden. Da wird die Vorgehensweise wohl am klarsten. Und dann nochmal allgemein fuer x^(a*b)-y^(a*b) herleiten. Der Genaue Zweck ist mir noch unklar. Mal sehen was sich ergibt.
Dein ganzen Zusammenhaenge will ich dann nachvollziehen. Wie kommst du auf diese ? Wahrscheinlich haengen die meisten mit der dritten binomischen Formel zusammen. Hast du einen anderen Weg fuer die Herleitung ? Es waere interessant dies einmal gemeinsam zusammenzustellen.

ciao

[richy]

Symetrische Darstellung des Mersenne Arguments
*************************************

Wiederholung der uebliche Vorgehensweise :
Man setzt in 2^(n)-1 fuer n eine zusammengesetzte Zahl n=a*b ein :
Mers(a*b)=2^(a*b)-1
Und wendet ein Exponentilagesetz und die dritte allgemeine binomische Formel an, sowie den Sachverhalt : 1^(a*b)=1 :
2^(a*b)-1^(a*b)=(2^a)^b-(1^a)^b
*****************************
ebenso gilt aber auch
2^(a*b)-1^(a*b)=(2^b)^a-(1^b)^a
*****************************
Fuer die dritte binomische Formel kann man aber zunaechst nur einen der beiden Ausdruecke verwenden : Zum Beispiel :
(2^a)^b-(1^a)^b=(2^a-1^a)*Restpolynom_a
***********************************
Mers(a*b)=Mers(a)*Restpolynom_a
Das genuegt als Begruendung, dass die Zahl Mers(a*b) zusammengesetzt ist.

Hier nochmals die allgemeine dritte binomische Formel :

a ud b wird hier anders verwendet. In unserem Fall gilt :
a=2^a
b=1^a
n=b
Wir koennen somit direkt (in Maple Code zum Testen) anpinseln :
2^(a*b)-1=(2^a-1)*2^(a*(b-1))*sum(1/2^(a*k), k=0..b-1);
**********************************************
passt :-)
Nun ist die Summe eine geometrische Reihe und laesst sich geschlossen Darstellen :

sum(1/2^(a*k), k=0..b-1)=2^a*((1/(2^a))^b-1)/(1-2^a)
(Wobei diesere Vereinfachungsschritt vielleicht kontraproduktiv ist)
Bis jetzt ist das alles nichts Neues.

Der optische Trick
besteht nun darin aus dem Ausdruck 2^(a*(b-1))*sum(1/2^(a*k), k=0..b-1);
den enthaltenen Faktor (2^b-1) zu extrahieren. Das muss ein Faktor dieser Summe sein !
Aber so einfach will dies nicht gelingen :-(
Mers(a*b)=Mers(a)*Rest_a
Mein erster Ansatz ist zunaechst eine Erweiterung um Mers(b)/Mers(b)
Mers(a*b)=Mers(a)*Mers(b) * (Rest_a/Mers(b))
Naja ... das ist noch nicht ganz die angestrebte Symetrie.
Und ich (oder Maple) bekomme (Rest_a/Mers(b)) nicht faktorisiert, so dass man etwas kuerzen koennte. Rest_a/Mers(b) liefert natuerlich in Beispielen den gewuenschten Restfaktor, aber das gefaellt mr so nicht.
Was tun ?

Der eigentliche "Trick" :
************************
Ich stelle Mers(b) so dar, dass es der Form von Rest_a entspricht.
Und das geht ganz einfach denn :
Mers(1*b)=Mers(1)*Rest_1
Und da gilt Mers(1)=1 ergibt sich Rest_1=Mers(b)

Mers(b)=2^(1*(b-1))*sum(1/2^(1*k), k=0..b-1);

Damit haben wir auch kostenlos eine geometrische Reihe der Mesenne Zahlen erhalten. Die wir wie oben auch geschlossen angeben koennen :
Mers(b)=2^(b-1)*(-2*(1/2)^b+2);
Und wenn man dies aufloest, sieht man, dass die ganze Maßnahme eher nur ein optischer Trick ist.
Dennoch laesst sich nun wenigstens der Ausdruck so vereinfachen, dass eine Symetrie vorliegt.
Das schreibe ich im naechsten Beitrag in allgemeiner Form an

ciao

[richy]

Symetrische allgemeine Form plus Beispiel Mersenne



Was passiert wenn man (y/x)^(a*b)-1 genau so nachmals entwickelt ?

[richy]

Du bist mal wieder so richtig in deinem Element richy, stimmst?

Ja klar. Was denkst du wie ich drauf brenne das (y/x)^(a*b) zu entwickeln. Man sieht doch, dass dann der ganze Nenner gekuerzt wird. Leider gibt es dafuer nen neuen Nenner *fg

Damit sollten(theoretisch) alle Primzahlen auffindbar sein.

Na dann ist schon was faul an der Sache :-)

Die Zahl p ist dann und nur dann eine Primzahl wenn:
1*2*3*...(p-1)+1 , sprich (p-1)!+1 durch p ohne Rest teilbar ist.

Du meinst mit 1*2*3*5...(p-1) = (p-1)! die Primzahlfakultaet auch Primorials genannt ? Offizielles Zeichen p#
Der haben regli und ich schon viele Winterabende gewidmet. :-)
Oder 1*2*3*4*5 ? Die einfache Fakultaet ? Wobei dies 1*(2^3)*3*5 ist,
Sollte ich zunaechst wissen.

[richy]

Na ja, Du weist ja ich und Mathe, Schwamm drüber.

Kommt mir bei deinen Berechnungen aber nicht so vor .

wenn (p-1)!+1 / (p) ohne Rest teilbar ist, dann ist p ne Primzahl
...
Nagut nehmen wir mal eine etwas groessere Primzahl :
Wobei das Problem ist, dass die Fakultaet natuerlich irre gross wird.
frac((1986!+1)/1987)=0
Da stimmt deine Vermutung also

1987 ist die 300. te Primzahl und mit 4 Ziffern noch recht harmlos.
Von 1986! kann man das weniger behaupten. Denn das ist eine Zahl mit 5690 Stellen. Fuer den Heimgebrauch schon grenzwertig.

Deine Vermutung, die mich natuerlich naeher interessiert erzeugt keine Primzahlen, sondern ist ein Primzahltest.
Das schoene daran.
Man muss nur wenige Operationen durchfuehre. Aber als Beispiel ....

Bei diesem 100 000 $ Wettbewerb wird eine Primzahl mit ueber 10 Millionen Stellen gesucht !
http://www.computerbase.de/news/allg...kord-primzahl/
"Deine" Testzahl (10^(10^7)) ! waere da .. hmm.. wie soll man sagen. Recht lang !

Wie koennte man deren Stellenzahl abschaetzen ?
*************************************
Statt der Fakultaet wurde ich vorschlagen die Gamma Funtion zu betrachten. Das ist deren nichtdiskrete Form :
http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
Und hier findet man die Sterling Naeherung fuer Gamma, also der Fakultaet:

Fuer die Stellenzahl bilden wir den Log10(Sterling) und wenden die ln Regeln an :
Log10(sterling(x))=log10(2*Pi*x^(x-1/2)*exp(-x));
Testen wir das mal mit 1986!
Log10(sterling(1986))= 5686.4.. das passt.
Mit der Zahl 10^(10^7) kann der Heimwerker PC natuerlich nichts anfangen. log10(sterling(10^(10^7))) laesst sich aber leicht abschaetzen, indem man die ganzen Peanuts vernachlaessigt.
log10(sterling(x)) etwa log10(x^x)=x*log10(x)
Jetzt setzen wir x=10^(10^7) ein
Stellenzahl = 10^(10^7) * 10^7
Die 10 hoch 7 kann man natuerlich auch vergessen.

10^(10 Millionen) Faklulatet ist somit eine Zahl mit 10^(10 Millionen) Stellen !
************************************************** *******

Die Anzahl der Atome in Universum (10^80) ist schon gegen die groesste bekannte Primzahl laeppisch. Deren Fakultaet .....


Aber natuerlich interessiert mich dieser Primzahltest.
Warum besteht der von dir vermutete Zusammenhang ?

Bis dahin(Wiederlegung) sind so alle Primzahlen auffindbar. IMHO.

Das sind sie auch so. Du musst nur auf jede fortlaufende Zahl als einfacheren Primzahltest das Sieb von Eratosthenes anwenden.
Unendlich mal.
Dein Primzahltest koennte aber von theoretischer Natur aus interessant sein.

[richy]

Beweis fuer deine Vermutung :

(p-1)! +1 ist stets groesser gleich p (Nur als Voraussetzung fuer Teilbarkeit, sonst unwichtig)
Da (p-1)! als Fakultaet bereits alle moeglichen Primteiler enthaelt gilt wegen (richies) Summensatz:
(p-1)! +1 kann keinen Primteiler des Intervalls [2..(p-1)] aufweisen.
Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind somit groesser als (p-1)

Der kleinste dieser Primteiler ist p (Falls p ein Teiler ist)
Der kleinste zusammengesetze Teiler ist p^2

Wie kann man deine Aussage anders formulieren ?

Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind groesser als (p-1)
Wenn (p-1)! +1 ohne Rest durch p teilbar ist, dann enthaelt (p-1)! +1 den kleinsten moeglichen Primteiler p
Waere der Teiler zusammengesetzt so muesste dieser Teiler groesser p^2 sein.
Dann muesste aber gelten p>=p^2 und das ist nur fuer p=+-1 kein Widerspruch.

Das ist der Widerspruchs Beweis, dass deine Aussage allgemein gueltig ist.

Entscheidend ist der Fett hervorgehobene Satz. Aus dem kannst du dir auch selbst alles weitere herleiten.
Nochmal in einfachen Worten
Man stelle sich die Primfaktorzerlegung von (p-1)! + 1 vor.
Alle Primfaktoren muessen groesser als (p-1) sein. Dass (p-1)! + 1 durch p teilbar ist, kann gerade noch erfuellt werden. (Vorausgesetzt p ist als Primfaktor enthalten.)
Denn p>p-1
Waere p aber keine Primzahl, so waere es das Produkt mindestens zweier der Primfaktoren von (p-1)! + 1.
Das kleinste Uebel waere p^2. Aber selbst dies ist zu gross.
Also kann p hoechstens ein Primfaktor von (p-1)! + 1 sein und nicht ein Produkt mehrerer seiner Primfaktoren.
Zwei Zahlen. Beide groesser gleich p. Deren Produkt soll gleich p sein. Des geht net :-) (Ausser fuer eins)


EDIT: elegantere genauere Verifikation hier :
http://www.quanten.de/forum/showthre...1644#post61644
ciao
BTW:
Dass p der kleinste Primteiler sein muss koennte man vielleicht geschickt ausnuetzen.
Dein Test muss auch fuer die Primfakultaet gelten. Diese ist etwas kleiner als die Fakultaet.
So koennte man tatsaechlich rekursiv alle Primzahlen erzeugen. Mit den in vorherigen Beitrag genannten Komplikationen.

[Bauhof]

Zitat von EMI

Ich meine wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p halt ne Primzahl und das gilt bis auf Wiederlegung.

Hallo EMI,

das ist der Primzahlsatz von Wilson und der ist bereits bewiesen:

Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.

Anders formuliert:
Die Zahl p ist dann und nur dann eine Primzahl, wenn 1•2•3•4• ... •(p - 1)+1 durch p ohne Rest teilbar ist.

Anders als beim Fermatschen Test ist der Wilsonsche Test notwendig und hinreichend dafür, dass eine Zahl prim ist. Diesen Satz hat John Wilson Armiger (1741 - 1793) entdeckt. Den Beweis dafür erbrachte Joseph Louise Lagrange (1736 - 1813). Praktisch hat der Satz jedoch keine große Bedeutung für die Primzahlforschung, denn schon für kleine p-Werte ergibt der Ausdruck (p-1)! riesige Zahlen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof