Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5

[Zweifels]

Zitat von TomS

(1) und (2) klingen nach endlich-dimensionalen Erweiterungskörpern von C, von denen wir wissen, dass die nicht existieren;

Ich hab dazu folgendes gefunden:
https://www.math.uni-sb.de/ag/wittst...is2/Kap3_4.pdf
S. 93 bzw. S. 309:

Satz 3.4.149 (C algebraisch abgeschlossen) Es gibt keinen echten endlichen Erweiterungskörper von C.

Der Beweis ist:

Da P(w) = 0 ist, verschwindet einer der Faktoren w−zκ. Also ist w ∈ C.

Das versteh ich noch nicht ganz (vielleicht hast du auch eine bessere Quelle).

Auch wenn gilt, dass in diesem Fall w−zκ=0 ist, und damit w=zκ , heisst das nicht, dass w element von C sein muss. Z.B. gilt i² = -1 und auch i²+1 = 0, deshalb ist aber nicht i² Element der Reellen Zahlen (nur weil +1 eine Reelle Zahl ist.)

Beispiel: (r := Reelle Zahl, i := Imaginäre Zahl, k := Körperzahl.)
r² + i² = 0
r³ + i³ + k³ = 0

Für r³ = 0:
k³ = -i³ = i
=> r³ + i³ + k³ = 0

Für i³ = 0:
k³ = -r³
=> r³ + i³ + k³ = 0

Da für k³ andere Gesetze gelten wie für i³ und r³, kann weder i³ noch r³ die Körperzahl k³ ersetzen.

Irgendwas versteh ich das grad nicht. Kannst du das mal mit deinen Worten erklären, Tom?

[TomS]

Zitat von Zweifels

Ich hab dazu folgendes gefunden:
https://www.math.uni-sb.de/ag/wittst...is2/Kap3_4.pdf
S. 93 bzw. S. 309

In diesem und in den nächsten Abschnitten

1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, daß C der einzige endliche Erweiterungskörper von R ist.
2. Die rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten bilden einen unendlich- dimensionalen Erweiterungskörper von R.
Satz 3.4.151 (Einzigkeit von C)
Es sei K ein echter Erweiterungsköper der reellen Zahlen, so daß
dimR K = n ∈ N ist. Dann ist n = 2 und K ist isomorph zu C.

steht etwas verklausuliert, dass keine endlich-dimensionale Körpererweiterung zu C existiert.

Zu R gibt es genau eine endlich-dimensionale Körpererweiterung, nämlich C.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Divisionsalgebra

Jeder Körper über R ist eine Divisionsalgebra (Addition, Multiplikation, Division, Eins-Element). Aber nicht jede Divisionsalgebra ist auch ein Körper (insbs. fehlende Kommutativität). Offenbar gibt es genau vier dieser Divisionsalgebren über R, nämlich R, C, H, O. Da jedoch H und O keine Körper sind, bleiben als solche nur R und C.