ART & Raumzeitkrümmung - Positiv und negativ?

[Timm]

Zitat von Ich

Hier wurde ja nach dem lokalen frei fallenden System gefragt. Man würde einer frei fallenden Beobachter nehmen und in einem gewissen Abstand dazu einen zweiten. Dieser Abstand müsste konstant gehalten werden, indem man die Zweiweg-Rotverschiebung auf Null bringt. Alles, was dann übrigbleibt, ist die Zeitdilatation zwischen den beiden. Und die verschwindet quadratisch, wenn man den Abstand kleiner macht.

Bedeutet Zweiweg-Rotverviebung Null daß sich beide Beobachtet unter derselben Rotverschiebung sehen?

[Ich]

Zitat von TomS

Ich denke, das hast du mit dem "teilweise" gemeint.

Genau. Ich versuche, weder so wenig zu schreiben, dass der Sinn total verloren geht, noch so viel, dass man vor lauter Komplexität verlorengeht. Das fällt mir schwer.

Zitat von Timm

Bedeutet Zweiweg-Rotverviebung Null daß sich beide Beobachtet unter derselben Rotverschiebung sehen?

Das war für ein ausgesandtes, reflektiertes und wieder empfangenes Signa gedacht. Wenn das mit der selben Frequenz zurückkommt, dann darf man sich noch am ehesten als ruhend relativ zum Reflektor betrachten.

[Plankton]

Zitat von Ich

Im Prinzip ja. Allerdings haben wir nicht einfach Masse/Energie, sondern einen Energie-Impuls-Tensor mit 10 unabhängigen Elementen, darunter auch Druck. Wenn diese Elemente relevant sind, wie in deinen Beispielen zu dS/AdS, dann geht es eben nicht nur um Masse.
Und noch ein wichtiger Punkt: dieser Tensor ist bis auf einen Faktor gleich dem Ricci-Tensor, der die Raumzeitkrümmung (teilweise) an jedem Punkt beschreibt. Diese lokal definierte Größe (bzw. etwas direkt daraus abgeleitetes) ist das, was man als Raumzeitkrümmung bezeichnet. Deswegen ist das mit "positiv" und negativ etwas kompliziert, es handelt sich nicht nur um eine Zahl, sondern mehrere.

Klar, unter bestimmten Bedingungen mit bestimmten Definitionen haben die Größen miteinander zu tun. Im Sinne von "geeignet definiertes doppeltes Raumintegral über die Krümmung ist proportional zur Zeitdilatation".

Super! Das klingt alles für mich (leicht) bekannt und einleuchtend! Danke für die vielen Antworten "Ich"!

Und nochmal eine kurze Frage:
Wenn ich z.B. einen Tennisball irgendwo frei im Raum, Universum auf 0,7 c (LG) beschleunige, wird dann der Energie-Impuls-Tensor nicht zwingend größer und damit verbunden auch die Raumzeitkrümmung?

[TomS]

Energie ist - wie bereits in der Newtonschen Mechanik - beobachter- bzw. bezugsystemabhängig.

D.h. man muss den Energie-Impuls-Tensor sowie den Krümmungstensor transformieren; und damit ändern Sie sich tatsächlich.

[Timm]

Zitat von Ich

Das war für ein ausgesandtes, reflektiertes und wieder empfangenes Signa gedacht. Wenn das mit der selben Frequenz zurückkommt, dann darf man sich noch am ehesten als ruhend relativ zum Reflektor betrachten.

Ok, dann verstehe ich allerdings nicht, wie es funktionieren soll. Der Abstand zwischen zwei Freifallern ändert sich doch, egal wie sie fallen, radial, tangential oder "schräg". Oder hattest Du im Sinn, daß nicht beide Weltlinien Geodäten sind?

[Timm]

Zitat von Ich

Und noch ein wichtiger Punkt: dieser Tensor ist bis auf einen Faktor gleich dem Ricci-Tensor, der die Raumzeitkrümmung (teilweise) an jedem Punkt beschreibt. Diese lokal definierte Größe (bzw. etwas direkt daraus abgeleitetes) ist das, was man als Raumzeitkrümmung bezeichnet. Deswegen ist das mit "positiv" und negativ etwas kompliziert, es handelt sich nicht nur um eine Zahl, sondern mehrere.

Ein Effekt der Raumzeitkrümmung ist die Geodätenabweichung. Wenn es darum geht, spielt es doch eigentlich keine Rolle, wie genau die aus den 10 Komponenten resultiert. Dann läge es nahe, den beiden Möglichkeiten der Abweichung willkürlich ein Vorzeichen zuzuschreiben, oder? Etwa so, wie die Winkelsumme des Raums > 180° willkürlich für positive Raumkrümmung steht.

[Eyk van Bommel]

Zitat von Timm

Ok, dann verstehe ich allerdings nicht, wie es funktionieren soll. Der Abstand zwischen zwei Freifallern ändert sich doch, egal wie sie fallen,

Der Abstand ändert sich nicht, wenn eine zusätzliche Beschleunigung („Rakete“) zum Einsatz kommt?

Die Frage die ich mir nun stelle.

Wenn beide (ein bisschen) beschleunigen (so dass die Frequenz gleich bleibt), wieso kommt es ihnen dann nicht komisch vor, dass sie sich nicht annähern?

Denn mein Bauch sagt mir spontan, dass beide Beobachter behaupten würden, dass sie aufeinander zu beschleunigen (kann man ja am Triebwerk erkennen)?

[Ich]

Zitat von Timm

Ok, dann verstehe ich allerdings nicht, wie es funktionieren soll. Der Abstand zwischen zwei Freifallern ändert sich doch, egal wie sie fallen, radial, tangential oder "schräg". Oder hattest Du im Sinn, daß nicht beide Weltlinien Geodäten sind?

Ja, hatte ich. Das habe ich aber schlecht formuliert, sorry.

Zitat von Timm

Ein Effekt der Raumzeitkrümmung ist die Geodätenabweichung. Wenn es darum geht, spielt es doch eigentlich keine Rolle, wie genau die aus den 10 Komponenten resultiert. Dann läge es nahe, den beiden Möglichkeiten der Abweichung willkürlich ein Vorzeichen zuzuschreiben, oder? Etwa so, wie die Winkelsumme des Raums > 180° willkürlich für positive Raumkrümmung steht.

Wenn es genau darum geht, ja. Allerdings bleiben dann ggf. immer noch ziemlich viele Zahlen übrig. Denke z.B. an das statische Universum in Baez' paper, wo sich das Volumen eines Balls ändert, wenn er sich bewegt.
Wenn es um Zeitdilatation geht, ist es noch viel blöder, weil das nicht einmal mehr ein lokaler Effekt ist. Es ist einfach etwas komplizierter als "positive Raumzeitkrümmung -> Zeitdilatation".

Zitat von Eyk van Bommel

Wenn beide (ein bisschen) beschleunigen (so dass die Frequenz gleich bleibt), wieso kommt es ihnen dann nicht komisch vor, dass sie sich nicht annähern?

Denn mein Bauch sagt mir spontan, dass beide Beobachter behaupten würden, dass sie aufeinander zu beschleunigen (kann man ja am Triebwerk erkennen)?

https://www.youtube.com/watch?v=RPGUQySBikQ

[Ich]

Zitat von Plankton

Wenn ich z.B. einen Tennisball irgendwo frei im Raum, Universum auf 0,7 c (LG) beschleunige, wird dann der Energie-Impuls-Tensor nicht zwingend größer und damit verbunden auch die Raumzeitkrümmung?

Ich zeig' dir, was der Energie-Impuls-Tensor macht.
Um Toms berechtigten Einwand zu umgehen: Der Tensor ändert sich natürlich, wenn beschleunigt wird. Im Ruhesystem des Balls bleibt er aber gleich, und es ist irrelevant, ob man den Ball beschleunigt hat oder ihn von einem mit -0,7 c bewegten Beobachter anschauen lässt. Diese letztere Aktion ließe alles gleich, man hat die normale Schwarzschildmetrik um den Ball und einen bewegten Beobachter. Mir erscheint diese Version deutlich klarer.

ACHTUNG: Damit der Zusammenhang zur Newtonschen Physik klarer wird, spreche ich hier von "Masse", wenn ich eigentlich die relativistische Größe "Energie" meine! Also nicht über größer werdende Masse etc. wundern.
So, der Ball habe eine Massendichte von 1 [Einheit egal, z.B. kg/m³]. Der Tensor (nur t und x-Komponenten) des ruhenden Balls ist dann
1 0
0 0
wenn man das transformiert, dann sieht genau dieser Tensor für den bewegten Beobachter so aus:
1.96 1.37c
1.37c 0.96c²
bzw. allgemein gamma² mal
1 v
v v².
Die Zahlen haben folgende Bedeutung:
1.96: die Massendichte. Die Masse wächst mit gamma, das Volumen, in dem sie sich befindet, schrumpft mit gamma, macht insgesamt eine um gamma² höhere Massendichte. Wie gesagt, korrekt wäre es, von Energiedichte zu sprechen, aber dann müsste ich das Thema "Einheiten" auch noch diskutieren.
1.37: die Massenstromdichte. Besagte Massendichte von 1.96 bewegt sich mit v=0.7c durch die y-z-Ebene, gibt einen Faktor v*gamma².
0.96: die Impulsstromdichte = der Druck. Besagter Massenstrom trägt pro Sekunde und Flächeneinheit einen Impuls von m*v durch die y-z-Ebene, Faktor also v²*gamma² .

Worauf ich hinauswill: der Tensor ist nicht einfach "größer geworden", sondern er sieht komplett anders aus. Und dasselbe gilt für die Raumzeitkrümmung. Insbesondere ist jetzt eine Richtungsabhängigkeit drin, sowohl Tensor als auch Krümmung sind für x anders als für y und z. Je nachdem, wo man sich befindet und in welche Richtung man misst, ist die durch den Ball hervorgerufene Krümmung mal größer oder auch nicht. Wobei es schon so ist, dass die Komponenten - wenn sie sich ändern - größer werden. Hier mal ein alter Beitrag von pervect dazu.

[Timm]

Zitat von Ich

Ja, hatte ich. Das habe ich aber schlecht formuliert, sorry.

Und das gilt uneingeschränkt?
Man kann ja beliebig viele Fälle heranziehen. Ein einfacher ist der: Ein Beobachter beschleunigt nach oben, sodaß der Abstand zum frei fallenden Beobachter über ihm konstant ist. Dann setzt Zweiweg-Rotverschiebung Null ja wohl voraus, daß sich kinematische und gravitative Verschiebung exakt aufheben. Wobei ich annehme, daß mit Abstand nicht ein delta r in Schwarzschildkoordinaten, sondern der Eigen-Abstand gemeint ist.

Oder: Beide Beobachter haben gleiches r und der eine beschleunigt tangential vom anderen weg. Dann müßten kinetische und gravitative Verschiebung jeweils Null sein.

Ich bin nicht sicher, ob ich das richtig sehe.

Zweiweg-Rotverschiebung Null zwischen 2 stationären Beobachtern dürfte klar sein, aber dann reden wir nicht von Freifallern.