Berechnung von Raumzeitkrümmung??

[Timm]

Eine gängige Veranschaulichung bietet die "Staubkugel", wie hier beschrieben. Gleichung (2) zeigt die Rate V../V mit der das Volumen der Kugel unter dem Einfluß der Raumzeitkrümmung expandiert, bzw. schrumpft. Dabei ist V../V proportional zu Energiedichte + Druck, im isotropen Fall der FRW Raumzeit zu (rho + 3P). Ich halte diese einfache Darstellung (auf die 'Ich' mehrfach hingewiesen hat) der Einstein'schen Feldgleichungen für sehr lehrreich.

Wenn die Raumzeit von einer zentralen Masse gekrümmt wird (Schwarzschild), verformt sich die Kugel zu einem Ellipsoid, wobei das Volumen erhalten bleibt.

[TomS]

Zitat von Timm

Wenn die Raumzeit von einer zentralen Masse gekrümmt wird (Schwarzschild), verformt sich die Kugel zu einem Ellipsoid, wobei das Volumen erhalten bleibt.

Gut.

Aber was bedeutet Weyl-Krümmung an einem Ort ohne Betrachtung einer Bewegung in der Zeit?

[Timm]

Zitat von TomS

Aber was bedeutet Weyl-Krümmung an einem Ort ohne Betrachtung einer Bewegung in der Zeit?

Soweit ich das verstanden habe, enthält der Wey-Tensor die Information über die Verformung der Kugel zum Ellipsoid. Die Kugel befindet sich im freien Fall, sodaß die Verformung als Funktion der Zeit zunimmt. Den Ricci-Tensor muß man nicht berücksichtigen, weil der im Vakuum verschwindet. Deshalb ist das Volumen zeitlich konstant.

[TomS]

Zitat von Timm

Soweit ich das verstanden habe, enthält der Wey-Tensor die Information über die Verformung der Kugel zum Ellipsoid. Die Kugel befindet sich im freien Fall, sodaß die Verformung als Funktion der Zeit zunimmt. Den Ricci-Tensor muß man nicht berücksichtigen, weil der im Vakuum verschwindet. Deshalb ist das Volumen zeitlich konstant.

Ja, das ist schon richtig.

Alles was ich sagen wollte ist, dass ich eine Veranschaulichung suche, die ohne die zeitliche Betrachtung auskommt.

[Timm]

Zitat von TomS

Alles was ich sagen wollte ist, dass ich eine Veranschaulichung suche, die ohne die zeitliche Betrachtung auskommt.

Hmm, eine Veranschaulichung der Krümmung der Raumzeit ohne zeitliche Betrachtung? Da bin ich skeptisch, denn das wäre die Krümmung des Raums.

Für mich ist die einfachste Veranschaulichung immer noch der zeitliche Verlauf des Abstands benachbarter Geodäten. Man malt die beiden Linien, fertig. Das funktioniert in der Schwarzschild-, wie auch in der FRW-Raumzeit. Für eine etwas umfassendere Betrachtung würde ich allerdings die Kugel (s. der Artikel von Baez) bevorzugen.

[TomS]

Zitat von Timm

Hmm, eine Veranschaulichung der Krümmung der Raumzeit ohne zeitliche Betrachtung? Da bin ich skeptisch, denn das wäre die Krümmung des Raums.

Es gibt schon Methoden, das rein geometrisch und ohne dynamische Überlegungen zu definieren.

Man beginnt mit einer Zusammenhangsform auf einer Mannigfaltigkeit sowie dem Paralleltransport eines Vektors entlang einer (beliebigen) geschlossenen Kurve.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parall..._Transport.svg

Dass die Parallelerschiebung entlang ABNA am Punkt A den Winkel alpha generiert, ist ein Ausdruck der nicht-trivialen Geometrie. Diese ist in der Zusammenhangsform ω kodiert (die fundamentaler ist als die Krümmung). Aus der 1-Form ω folgt die 2-Form

Ω = Dω = dω + ω ∧ ω

Diese 2-Form Ω entspricht nun im wesentlichen dem Riemannschen Krümmungstensor R. Man kann R auch direkt mittels D darstellen.

(leider ist das nicht besonders anschaulich)

[Timm]

Zitat von TomS

Es gibt schon Methoden, das rein geometrisch und ohne dynamische Überlegungen zu definieren.

Man beginnt mit einer Zusammenhangsform auf einer Mannigfaltigkeit sowie dem Paralleltransport eines Vektors entlang einer (beliebigen) geschlossenen Kurve.

Damit hat man aber doch erst mal 'nur' die Krümmung des Raums. Und in der 2-Form ist keine zeitliche Abhängigkeit implizit enthalten?

[TomS]

Zitat von Timm

Damit hat man aber doch erst mal 'nur' die Krümmung des Raums.

Nee, die 2-Form ist auf der Raumzeit definiert.

Zitat von Timm

Und in der 2-Form ist keine zeitliche Abhängigkeit implizit enthalten?

Doch, aber nicht im Sinne einer Dynamik. Das Bespiel mit der Staubkugel entspricht ja der geodätischen Abweichung, also dem Untschied der Bewegung entlang benachbarter Geodäten.

Die Krümmung mittels der eingeschlossenen Fläche zu definieren funktioniert für beliebige Kurven (die die Flächen beranden). Diese können zeitartige Abschnitte enthalten, das ist beliebig.