Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

[Bernhard]

Zitat von Timm

Vielleicht macht es Dir Spaß, die zu berechnen?

EDIT: Sorry, aber es zeigt sich sehr schnell, dass diese Rechnung schnell recht kompliziert wird und zudem unvollständig ist, weil die konkrete Geodäten-Gleichung auch noch benötigt wird. Ein Blick in das Paper zeigt aber, wie die ganzen Kurven berechnet wurden. Es ist eine numerische Integration der Gleichung 11. Mit Papier und Bleistift kommt man hier also nicht besonders weit. Man müsste das Maximum numerisch berechnen, müsste dazu aber erst mal odepack aufsetzen oder etwas programmieren und das ist mir momentan eigentlich zu aufwendig.

Siehst Du die grundsätzliche Überlegung, die zur Annahme eines Maximums führt?

Fig 2 zeigt, dass es so ein Maximum gibt. 'Ich' hat es bereits erklärt, dass man sich mit Hilfe der Triebwerke prinzipiell möglichst nahe an den freien Fall mit r0 = rS annähern muss und dann die Triebwerke abschalten kann. Bei konstanter Beschleunigung bekommt man ein entsprechendes Optimierungsproblem.

[Timm]

Zitat von Bernhard

Mit Papier und Bleistift kommt man hier also nicht besonders weit. Man müsste das Maximum numerisch berechnen, müsste dazu aber erst mal odepack aufsetzen oder etwas programmieren und das ist mir momentan eigentlich zu aufwendig.

Verstehe ich natürlich. Immerhin ist der Weg aufgezeigt.

Zitat von Bernhard

Fig 2 zeigt, dass es so ein Maximum gibt. 'Ich' hat es bereits erklärt, dass man sich mit Hilfe der Triebwerke prinzipiell möglichst nahe an den freien Fall mit r0 = rS annähern muss und dann die Triebwerke abschalten kann. Bei konstanter Beschleunigung bekommt man ein entsprechendes Optimierungsproblem.

Mit Start bei r = 3 M hat man mit konstanter Beschleunigung (rote Linie in Fig 2.) nach Passieren des EH die unter diesen Umständen erreichbare maximale Eigenzeit, die größer ist als die mit freiem Fall ab r = 3M bis zu r =0. Mit Start bei r = rS sind die Voraussetzungen anders.
Die Tatsache, daß es dieses Maximum gibt, spricht sicherlich für ein Optimierungsproblem, erklärt dieses aber nicht, zumindest sehe ich das nicht. Eine heuristische Erklärung, nach der ich suche, wäre vielleicht die, daß mit extrem hoher Beschleunigung eine asymptotische Annäherung an die Null (sprich Null Eigenzeit) Geodäte verbunden ist. Aber ob das wirklich Sinn macht, weiß ich nicht.

[Bernhard]

Zitat von Timm

Verstehe ich natürlich. Immerhin ist der Weg aufgezeigt.

Mal sehen. Man könnte es auch mit einer numerischen Runge-Kutta-Integration von Gleichung 5 probieren. Vielleicht findet sich ja noch jemand, der das mal austesten will.

Eine heuristische Erklärung, nach der ich suche, wäre vielleicht die, daß mit extrem hoher Beschleunigung eine asymptotische Annäherung an die Null (sprich Null Eigenzeit) Geodäte verbunden ist. Aber ob das wirklich Sinn macht, weiß ich nicht.

Die ideale Strategie bei r0 = 3M ist ein starkes Beschleunigen unmittelbar nach dem Überqueren des EH, um möglichst nahe an die Bahn mit r0 = 2M zu kommen und ein anschließendes Abschalten der Triebwerke. Die rote Kurve erfüllt die Abschaltungs-Bedingung wesentlich besser, als die blaue Kurve, was meiner Meinung nach die deutlich höhere Eigenzeit erklärt.

[Bernhard]

Zitat von Bernhard

Mal sehen. Man könnte es auch mit einer numerischen Runge-Kutta-Integration von Gleichung 5 probieren.

Dazu würde ich allerdings auf Gullstrand-Painleve-Koordinaten gehen. Dort ist die Metrik nochmal etwas einfacher, wodurch sich die Rechnungen vereinfachen sollten.

Man kann über die oben angegebene Formel für E und den Wikipedia-Link auf die Schwarzschild-Geodäten als Startbedingung auch noch u^r = 0 ableiten. Das gilt dann sowohl für die Eddington-Finkelstein-, als auch für Gullstrand-Painleve-Koordinaten, weil das r für alle drei Koordinatensysteme gleich bleibt.

[Timm]

Zitat von Bernhard

Die ideale Strategie bei r0 = 3M ist ein starkes Beschleunigen unmittelbar nach dem Überqueren des EH, um möglichst nahe an die Bahn mit r0 = 2M zu kommen und ein anschließendes Abschalten der Triebwerke. Die rote Kurve erfüllt die Abschaltungs-Bedingung wesentlich besser, als die blaue Kurve, was meiner Meinung nach die deutlich höhere Eigenzeit erklärt.

Fig. 4 zeigt, daß nach Überqueren des EH bei einer bestimmten gewählten Beschleunigung hier a = 2 die Eigenzeit bis r = 0 bei nicht abschalten kürzer ist (rote Linie). Diese Eigenzeit ist mit a = 0,5 maximal s. Fig. 2. Von daher ist dieses "Suboptimum" klar. Wie kann man ohne Einbeziehung der Abschaltvariante und ohne auf die Rechnung zu verweisen die Behauptung widerlegen, daß kontinuierlich zunehmende konstante Beschleunigung die Eigenzeit kontinuierlich erhöht?

[TomS]

Zitat von Hawkwind

Ich denke, Abstände im Minkowski-Raum charakterisiert man so. Das kann man dann naheliegend auf Weltlinien erweitern: wenn der Abstand zwischen Punkten einer Weltlinie immer zeitartig ist, dann bezeichnet man auch die Weltlinie so.

Man kann das auf jeden Vektor verallgemeinern, also auch Viererimpulse, Killingvektoren, Viererpotentiale, ...