Warum scheitert die Kritik an der Relativitätstheorie?

[Uli]

Zitat von Erik

...
Delta t ist aber nicht die Dauer, die man braucht, um die Energie zu messen, weswegen diese Bemerkung irrelevant ist.
...

Ich denke, wenn du mit Delta t nicht die Messdauer, sondern die Lebensdauer eines Zustands bezeichnest, dann kommst du der Sache schon näher. Zustände mit endlicher Lebensdauer weisen auch eine endliche Breite in der Energieverteilung auf (z.B. Breit-Wigner-Formel).

Ein Energie-Eigenzustand dagegen ist ein Peak und zerfällt nicht, da stationär.

Das ist nach meinem Verständnis eine Ausdruck der Energie-Zeit-Unschärfe, oder irre ich da ?

Gruss, Uli

[rene]

Zitat von Erik

Delta t ist aber nicht die Dauer, die man braucht, um die Energie zu messen, weswegen diese Bemerkung irrelevant ist.

Aus der Unschärferelation und der Schrödingergleichung folgt eine Zeit-Energie-Unschärferelation, wenn man als Zeitunschärfe diejenige Zeit definiert, die in einem Zustand vergeht, bis sich der Erwartungswert um seine Unschärfe geändert hat.

Es ist richtig, dass die Variable t in zeitabhängigen Ortswellenfunktionen grundverschieden von z.B. der Ortsvariablen x ist und über t nicht im Skalarprodukt integriert wird. Die Wahrscheinlichkeit als Funktion der Zeit ist nicht eine Wahrscheinlichkeit, einen Messwert t im Zeitintervall dt zu finden. t parametrisiert vielmehr die Zustände der Wellenfunktion Ψ(t) zwischen dem Quellaustritt bis zur Messapparatur.
Wenn der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist und sein Energiespektrum und seine Eigenzustände bekannt sind, ist es einfach, die Komponenten des Anfangszustandes in der normierten Eigenbasis des Hamiltonoperators zu bestimmen und den Zustand zur späteren Zeit mit diesen Komponenten zusammenzusetzen.

Entgegen anderer Ansichten kann mit der stationären Schrödingergleichung der Zustand eines Quantensystems nicht ausgerechnet werden, da sich quantenmechanische Systeme nicht unbedingt in ihren Energieeigenzuständen befinden müssen. Wartet man wie du richtig sagst genügend lang, so trennen sich verschiedene Energieanteile, die durch eine endliche Energiedifferenz getrennt sind, wenn sie verschieden schnell sind. So gesehen präparieren sich Energieeigenzustände häufig von selbst.

Ach, und übrigens: Willkommen im Forum!

Grüsse, rene

[Erik]

Zitat von Uli

Ich denke, wenn du mit Delta t nicht die Messdauer, sondern die Lebensdauer eines Zustands bezeichnest, dann kommst du der Sache schon näher. Zustände mit endlicher Lebensdauer weisen auch eine endliche Breite in der Energieverteilung auf (z.B. Breit-Wigner-Formel).

Ein Energie-Eigenzustand dagegen ist ein Peak und zerfällt nicht, da stationär.

Das ist nach meinem Verständnis eine Ausdruck der Energie-Zeit-Unschärfe, oder irre ich da ?

Du irrst IMHO keineswegs. Zu berücksichtigen ist noch, daß es nicht nur eine
Energie-Zeitunschärferelation gibt, sondern für jede (explizit zeitunabhängige) Observable
eine.

Wegen dA/dt = i[H,A], ist (bis auf Faktoren h)

Delta A Delta E > 1/2 |Mittelwert( dA/dt )|. (*)

Definiert man die durchschnittliche Zeit t_A, die der Mittelwert von A
braucht, um sich um Delta A zu ändern t_A = Delta A / Mittelwert(dA/dt),
dann hat man eine Energie-Zeit-Unschärferelation.

Für A kann man auch den Projektionsoperator auf den Anfangszustand
|Psi_0><Psi_0| einsetzen. Dann ist ist der Mittelwert von A, die
Überlebenswahrscheinlichkeit P(t)= |<Psi(t)|Psi(0)>|² des Zustands. Die
Lebensdauer ist dann die Zeitspanne, innerhalb deren diese Überlebenswahrscheinlichkeit
auf 1/2 abgesunken ist. Man erhält dann mit (*) (aus dem Gedächtnis)

Delta E * t > hquer/2 arccos(sqrt P(t)), und für P=1/2 also
Delta E * Lebensdauer > hquer*pi/4.

[Erik]

Zitat von rene

Aus der Unschärferelation und der Schrödingergleichung folgt eine Zeit-Energie-Unschärferelation, wenn man als Zeitunschärfe diejenige Zeit definiert, die in einem Zustand vergeht, bis sich der Erwartungswert um seine Unschärfe geändert hat.

Das sage ich doch. Aber das hat doch mit der Meßdauer von E nichts zu tun.
Es ist nicht mal von einer Messung die Rede.

Es ist richtig, dass die Variable t in zeitabhängigen Ortswellenfunktionen grundverschieden von z.B. der Ortsvariablen x ist und über t nicht im Skalarprodukt integriert wird. Die Wahrscheinlichkeit als Funktion der Zeit ist nicht eine Wahrscheinlichkeit, einen Messwert t im Zeitintervall dt zu finden. t parametrisiert vielmehr die Zustände der Wellenfunktion Ψ(t) zwischen dem Quellaustritt bis zur Messapparatur.
Wenn der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist und sein Energiespektrum und seine Eigenzustände bekannt sind, ist es einfach, die Komponenten des Anfangszustandes in der normierten Eigenbasis des Hamiltonoperators zu bestimmen und den Zustand zur späteren Zeit mit diesen Komponenten zusammenzusetzen.

Entgegen anderer Ansichten kann mit der stationären Schrödingergleichung der Zustand eines Quantensystems nicht ausgerechnet werden, da sich quantenmechanische Systeme nicht unbedingt in ihren Energieeigenzuständen befinden müssen. Wartet man wie du richtig sagst genügend lang, so trennen sich verschiedene Energieanteile, die durch eine endliche Energiedifferenz getrennt sind, wenn sie verschieden schnell sind. So gesehen präparieren sich Energieeigenzustände häufig von selbst.

Das sind zwar viele richtige Aussagen, aber ich verstehe nicht, was das mit unserem Streitpunkt zu tun hat,
ob es Zustände mit scharfer Energie gibt. Du behauptest jetzt ja sogar (richtigerweise), solche Zustände
präparierten sich unter Umständen von selbst. Also verstehe ich nicht, wie du ihre Existenz bestreiten kannst.

Ach, und übrigens: Willkommen im Forum!

Vielen Dank.;-)

[rene]

Zitat von Erik

Das sind zwar viele richtige Aussagen, aber ich verstehe nicht, was das mit unserem Streitpunkt zu tun hat, ob es Zustände mit scharfer Energie gibt. Du behauptest jetzt ja sogar (richtigerweise), solche Zustände präparierten sich unter Umständen von selbst. Also verstehe ich nicht, wie du ihre Existenz bestreiten kannst.

Vermutlich Missverständnisse! Energien, die Eigenwerte des Hamiltonoperators, der die Zeitentwicklung erzeugt, sind streng genommen nicht messbar, sondern nur Differenzen der Energien. Insbesondere ist die Grundzustandsenergie von physikalischen Systemen nicht aus der Zeitentwicklung rekonstruierbar.

Gilt die Schrödingergleichung für alle Zustände Ψ(t), so lassen sich diese Zustände nicht von Ψ ’ (t) für reelles α unterscheiden, denn
Ψ ’ und Ψ ergeben zu allen Zeiten für alle Messapparate dieselbe Verteilung von Messwerten.
Ψ ’ (t) erfüllt die Schrödingergleichung mit H’ = H - α. Deshalb kann nicht zwischen H und H - α unterschieden werden, auch nicht über Diskussionen über die Grundzustandsenergie.

Nach reiflicher Überlegung sehe ich’s mittlerweilen ein: In relativistischen Theorien muss das Vakuum, der Zustand niedrigster Energie (wenn er existiert) die Energie Null haben (also ein scharfer Wert). Ebenso muss für freie Teilchen mit Impuls p und Masse m die Energie
E = sqrt(m²*c^4 + p²*c²) sein.

Grüsse, rene

[Erik]

Zitat von rene

Vermutlich Missverständnisse!

Scheint so.

Energien, die Eigenwerte des Hamiltonoperators, der die Zeitentwicklung erzeugt, sind streng genommen nicht messbar, sondern nur Differenzen der Energien.

Klar, was aber ja noch keine Aussage über die Streuung von E impliziert.

Insbesondere ist die Grundzustandsenergie von physikalischen Systemen nicht aus der Zeitentwicklung rekonstruierbar.

Gilt die Schrödingergleichung für alle Zustände Ψ(t), so lassen sich diese Zustände nicht von Ψ ’ (t) für reelles α unterscheiden, denn
Ψ ’ und Ψ ergeben zu allen Zeiten für alle Messapparate dieselbe Verteilung von Messwerten.

Äh, solange Du nicht sagst, wie Ψ, Ψ’ und α zusammenhängen, ist diese Aussage reichlich
leer, aber Du meinst wahrscheinlich, daß Psi'(t) und Psi(t) im selben Strahl im
Hilbertraum liegen sollen (mit konstanter Phasendifferenz α). Das paßt dann zu "derselben
Verteilung von Meßwerten" und hierzu:

Ψ ’ (t) erfüllt die Schrödingergleichung mit H’ = H - α. Deshalb kann nicht zwischen H und H - α unterschieden werden, auch nicht über Diskussionen über die Grundzustandsenergie.

Genau das meinte ich oben mit "der Wert der Grundzustandsenergie ist irrelevant und
beeinflußt die Dynamik des Systems nicht".

[Jogi]

Grüezi rene.
(Ich hab' erst jetzt geschnallt, dass du Eidgenosse bist .)

Zitat von rene

Ebenso muss für freie Teilchen mit Impuls p und Masse m die Energie
E = sqrt(m²*c^4 + p²*c²) sein.

Na da kenn' ich einige Leute, die das freuen wird.
Darf ich die Formel so übernehmen?

Gruß Jogi

[rene]

Zitat von Jogi

Grüezi rene.
(Ich hab' erst jetzt geschnallt, dass du Eidgenosse bist .)


Na da kenn' ich einige Leute, die das freuen wird.
Darf ich die Formel so übernehmen?

Gruß Jogi

Guete n'Obe Jogi

Klar kasch du die Formle überneh. Ich ha se jo nit für mi pachtet (und scho gar nit sälber entwicklet). Sie stoht jedem zur Verfiegig wo öppis Sinnvolls demit kha afoh und unterstoht keine Patänträchtsschutzbestimmige.

E scheene Gruess us Basel, rene

[Jogi]

Zitat von rene

Klar kasch du die Formle überneh. Sie stoht jedem zur Verfiegig wo öppis Sinnvolls demit kha afoh.

Autsch.
Da legst du den Finger in meine tiefste Wunde.

Gleich mal 'ne Frage dazu:
Das Quadrieren unter der Wurzel dient doch der Vermeidung von negativen Lösungen, richtig?

E scheene Gruess us Basel, rene

I ha zwar e Schwager bi dir in d'r Näh, aber uff d'r anderi Site vom Rhi, sött i emol dort si, lueget i gere mol bi dir vorbi.

[rene]

Hi Jogi

Das Quadrieren unter der Wurzel dient doch der Vermeidung von negativen Lösungen, richtig?

Nein. Die beiden Summanden sind stets positiv und werden miteinander addiert, sodass sich unter dem Wurzelausdruck niemals ein negativer Wert ergibt, der eine komplexe Lösung mit Real- und Imaginärteil zur Folge hätte.

Grüsse, rene