#61
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Oder im Umkehrschluß: Ansonsten verloren?
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Besser gesagt: Kann jede Zahl für sich betrachtet "unterschiedliche Richtungen" im Sinne einer Eigenschaft aufweisen? (In diesem Falle dürfte es aber z.B. die Zahl -1 gar nicht geben sondern nur die Zahl 1 mit der Eigenschaft + oder -) Und ohne Berücksichtigung dieser Richtung (bzw. differenzierte Betrachtung der Richtung) wird es mehrdeutig? Um die Mehrdeutigkeit zu vermeiden kann man willkürlich eine Festlegung treffen ... Eigentlich ist das aber dann keine Festlegung zu deren Vermeidung sondern nur zum Umgang mit einer solchen - Oder sehe ich das falsch? |
#62
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Bei Gleichungen geht es eher darum, bei den Umformungen keine Lösungen zu verlieren. Das ist gewährleistet, solange man Äquivalenzumformungen durchführt. Mulitiplikation beider Seiten einer Gleichung mit 0 oder auch das Ziehen der positiven Wurzel aus beiden Seiten einer Gleichung sind keine Äquivalenzumformungen. auch http://www.lern-online.net/mathematik/pdf/umformung.pdf |
#63
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Zitat:
P = 1*x + i*y Wir können aber auch Polarkoordinaten wählen, anstatt x und y bekommen wir dann r und phi. In dem Sinne spannt phi eine Dimension des Vektorraumes auf und ist daher grundsätzlich verschiedenen von einem Vorzeichen. Das Vorzeichen erweitert unsere Zahlenmenge und sorgt für ein inverses Element bezüglich der Operation Addition. Invers heißt, dass man aus jedem Element der Menge das so genannte Nullelement machen kann. Um aus der Zahl 3 eine 0 zu machen, bedarf es der Zahl -3. Wir können damit außerdem jedes Element der Menge durch addieren bekommen und erlangen auch Abgeschlossenheit. Wir können weitere Operationen definieren, ohne dass diese Eigenschaft verloren geht, zB. Multiplikation und Division. Abgeschlossenheit verlieren wir aber, wenn wir die Wurzel als inverse Operation zum Potenzieren definieren. Erst eine Erweiterung der Dimension unseres Zahlenraumes erlaubt es, dass die möglichen Ergebnisse dieser Operation wieder Teil unserer Ausgangsmenge sind. Dafür verlieren wir aber Eindeutigkeit, ein Phänomen, das bis dato nicht existierte. D.h. eine Operation führt zu mehreren Ergebnissen. Es zeigt sich also, dass gewisse Forderungen an eine Operation (wie Abgeschlossenheit,...) die Menge erweitern. Bei der Addition gelangten wir dadurch zu den negativen Zahlen. Die Wurzel führt uns zu den komplexen Zahlen.
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"Gott würfelt nicht!" Einstein |
#64
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hallo richy,
Zitat:
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sqrt[(i²)*(i²)]*sqrt(irgendwas_reelles) == i²*sqrt(irgendwas_reelles) == -1 * sqrt(irgendwas_reelles) Ein Ergebis also wieder mit Plus und Minus. mfg quick |
#65
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hallo richy,
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mfg quick |
#66
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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Gruß, Johann |
#67
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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Aus a+i*b ist die Orientierung nicht sofort erkenntlich. In der Darstellung |r|exp(i*phi) gibt der Winkel phi diese direkt an. Ob man dieses nun als Vorzeichen betrachtet bleibt jedem ueberlassen. Fuer -i, i, -1, 1 ergeben sich fuer phi jedenfalls spezielle Werte (mehrdeutig). @quick Zitat:
Zitat:
Und das Hamsterbeispiel hat nochmals gezeigt wo der Hase bei dem zitierten Widerspruch begraben liegt. (-1)^2 =1. Hier geht die Information ueber das urspruengliche Vorzeichen verloren. exp(i*2*Pi). In dieser Schreibweise bleibt das Ausgangsvorzeichen im Winkel erhalten. Wurzel(exp(i*2*Pi))=-1 Wurzel(exp(i*2*0))=1 Es kommt nun darauf an welche Vereinbarungen man trifft. Aus komplexer Sicht ist bereist folgende Aussage falsch,denn nur der Betrag ist gleich : (+2)² = (-2)² Gruesse Ge?ndert von richy (16.06.11 um 15:40 Uhr) |
#68
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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Diese Gleichung ist sicher nicht falsch, richy ... ganz gleich, welche Sicht du auch wählst. |
#69
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hi Hawkwind
(+2)² = (-2)² Zitat:
4*exp(i*0)^2=4*exp(i*Pi)^2 4*exp(i*2*0)^2=4*exp(i*2*Pi) Der Betrag ist gleich, aber nicht das Argument : 0<>2*Pi Es ist mir natuerlich klar, dass beides das positive Vorzeichen repraesentiert. Dass beides dennoch nicht identisch ist siehst du wenn du die Wurzel ziehst. Das ist letztendlich die Erklaerung des diskutierten Beispiels : (Wobei man eine andere Vorgehensweise verwendet) Oder wie wuerdest du obige (Un) Gleichung interpretieren ? Wuerde man sich dort stets an den komplexen ln() halten ware die Sachlage eindeutig. Bereits die Umformung Wurzel(1)=Wurzel((-1)*(-1)) waere falsch. Praktisch betrachtet man das mehrdeutige Argument als "Fehler" um nicht die ganze Algebra umbauen zu muessen. Denn bei den reellen Zahlen geht die Information ueber den urspruenglichen Winkel verloren. Im Grunde ist dieser Informationsverlust der "Fehler". Es ist aber praktischer im komlexen die Regel zu formulieren, dass Vergleiche nur auf dem selben Ast des ln() sinnvoll sind, anstatt die ganze Algebra umzubauen. Man dreht den Hamster zurueck und dann passt es ebenso. Man kann in der Grundschule ja nicht ploetzlich argumentieren. "Kinder aufgrund der komplexen Zahlen ist ab sofort minus mal minus nicht mehr plus sondern exp(i*2Pi)" Ge?ndert von richy (16.06.11 um 16:44 Uhr) |
#70
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
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Richy, was da steht, das ist eine triviale Identität 2er reeller Zahlen: (+2)² = (-2)² und die ist 100%ig äquivalent zu 4 = 4 Wenn du nun anfängst, beide Seiten zu potenzieren oder komplexe Wurzeln zu ziehen, dann musst du natürlich "aufpassen"; das sind ja keine Äquivalenzumformungen. Aber an 4=4 lässt sich doch wohl nicht rütteln, oder? Gruß, Hawkwind |
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