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  #11  
Alt 06.10.10, 22:23
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Standard AW: Heureka oder Helau ?

Hi Emi
Wenn ich die Grundannahmen einiger Interpretationen (nicht positivistischer Deutungen) objektiv darstelle und darum habe ich bemueht verstoesst dies nicht gegen die wissenschaftliche Vorgehensweise. Ebensowenig, dass die Interpretationen hier gewoehnungsbeduerftige Dinge annehmen muessen. Denn der Grund liegt in der Nichtlokalitaet. Da muesste man ja der Natuer vorwerfen, dass sie sich nicht an die wissenschaftliche Vorgehensweise haelt.
Unwissenschaftlich ist es dagegen versuchen zu verbergen, dass man etwas nicht weiss. Und je nach Motivation sogar unmoralisch.

Ich habe mich aber entschlossen die Diskussion darueber einzustellen.
Zur Esoterik Mathematik. So hat man die die Chaostheorie, nichtlineare Systemdynamik in den 80 er Jahren tatsaechlich teilweise verstanden. Es fiel manchen sicherlich nicht leicht einzugestehen, dass manche Probleme analytisch nicht loesbar sind,. Und eine Linearisierung nicht eine Naeherung darstellt sondern ein vollig unzureichendes Hilfsmittel.

Und heute ist die Verhulst Gleichung Schulstoff. Nichtlinearitaeten werden teilweise als Begruendung fuer die Dekohaerenz eingestuft.

Ich war bis vor wenigen Jahren noch fest davon ueberzeugt dass gerade fuer r=4 niemals eine analytische Loesung existieren koennte. Wie sollte die denn aussehen ?
Mit Wolframs Loesung erhaelt man Einblick was hier wirklich passiert. Der Zufall basiert auf einer irrational, fehlabgetasteten Kosinus Schwingung.
In dem Sinne hab ich auch mal einen Ljapunov Exponenten getestet der den arccos() verwendet statt den ln() und diese Eigenschaft tatsaechlich detektieren kann.
Wenn man noch weitere Loesungen finden koennte. Wir wuerden immer mehr Einblick und Detektionswerkzeuge in das nichtlineare Verhalten der Natur gewinnen. Das waere ungemein wichtig in allen Bereichen. Und dies funktioniert wie man jetzt schon sieht nicht mit althergebrachten Loesungsmethoden.
Vielleicht funktioniert es auch gar nicht. Dann ist Wolframs Loesung lediglich ein kleines Schmankerl.

Gruesse

Ge?ndert von richy (04.11.11 um 02:31 Uhr)
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  #12  
Alt 06.10.10, 22:35
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Standard AW: Heureka oder Helau ?

Ich mach dann mal weiter :

Die Verhulst Gleichung y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k))
laesst sich durch die Substitution
z(k)=1-2*y(k) auf eine einfachere Form zurueckfuehren :

****************************
z(k+1) = 1/2*a*(z(k)-1)*(z(k)+1)+1
****************************

Fuer a=4 fuehrt die Aequivalenz
arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)| zur analytischen Loesung

Diese Aequivalenz wuerde ich gerne noch herleiten und fuer spezielle Werte von r=1+Wurzel(n) die Gleichung angeben. Vielleicht hat ja jemand eine Idee. Wobei nach Wolfram gezeigt wurde dass mit diesem Loesungsansatz keine weitere Loesung mehr herleitbar ist. Rumraten macht daher eher wenig Sinn.

Ge?ndert von richy (06.10.10 um 23:48 Uhr)
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  #13  
Alt 07.10.10, 19:55
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Standard AW: Heureka oder Helau ?

Herleitung der Gleichung

arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)|

aus der Gleichung


(Diese kann man sich auch aus den Ableitungen herleiten oder der Gaussschen Zahlenebene: z=cos(u))

Rechte Seite
2*arccos(z)=-i*2*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
Im ln() entspricht der Faktor 2 gleich dem Quadrat des Arguments :
2*arccos(z)=-i*ln( (z+i*wurzel(1-z^2))^2 )
2*arccos(z)=-i*ln( z^2 + i*2*z*wurzel(1-z^2) -(1+z^2) )
2*arccos(z)=
-i*ln( 2*z^2-1 + i*2*z*wurzel(1-z^2) )
*************************************************

Linke Seite
Einsetzen des Arguments 2*z^2-1 in den Logarithmus
arccos(2*z^2-1)=-i*ln(z+i*wurzel(1-z^2))
arccos(2*z^2-1)=-i*ln( (2*z^2-1) + i*wurzel(1-(2*z^2-1)^2))
Der Ausdruck 2*z^2-1 stimmt bereits ueberein, so dass nur noch das Argument der Wurzel betrachtet werden muss :
1-(2*z^2-1)^2)=
1-(4*z^4-4*z^2+1)=
4*(-z^4+z^2)=
z^2*2^2*(1-z^2)
Den Faktor vor der Summe kann man aus der Wurzel ziehen und man erhaelt :
arccos(2*z^2-1)=
-i*ln( 2*z^2-1 + i*2*z*wurzel(1-z^2)
*************************************************

Linke und rechte Seite sind somit gleich und die Gueltigkeit im interessierenden Bereich gezeigt.

Ge?ndert von richy (04.11.11 um 02:58 Uhr)
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  #14  
Alt 08.10.10, 02:13
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Standard AW: Heureka oder Helau ?

Einige Werte der 2-4 zentrierten Gleichung :



Fuer a=1+Wurzel(n), n=1..9
ergibt sich allgemein :

z(k + 1) = 1/2*(1+Wurzel(n))*z(k)^2 + 1/2*(1-Wurzel(n))

rationale Faktoren
n=0, a=1,
z(k + 1) = 1/2*z(k)^2+1/2

n=1, a=2, geloest
z(k + 1) = z(k)^2

n=4, a=3
z(k + 1) = 3/2*z(k)^2 -1/2


n=9, a=4, geloest
z(k + 1) = 2*z(k)^2 -1


besonderer irrationaler Faktor

n=5, a=1+Wurzel(5)
z(k + 1) = PHI*z(k)^2 + Phi (Phi<0)

a=3 (auch a=1) duerfte ein noch besserer Kandidat sein als a=1+Wurzel(5)

Ge?ndert von richy (08.10.10 um 05:04 Uhr)
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  #15  
Alt 08.10.10, 05:04
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Standard AW: Heureka oder Helau ?

Zwischengedanke :
**************
Laesst sich eine andere Substitution z=p-q*y finden fuer die das lineare Glied verschwindet ?

Eine kleine allgemeine Substitutionsrechnung
y1:=a*y*(1-y);
y:=1/q*(p-z);
p1:=solve(1/q*(p-z1)=y1,z1);
collect(p1,z^2);

fuehrt auf die Bedingung :
(-2*a*p+a*q)/q=0
die lediglich erfuellt ist fuer q=2*p
Setzt man die Bedingung ein, erhaelt man :

z[k+1]=1/2*a/p*z^2 - 1/2*(-2*p^2+a*p^2)/p
Wie laesst sich die Konstante eliminieren ?
-1/2*(-2*p^2+a*p^2)/p=0
hat lediglich die Loesung a=2

=> Es gibt keine weitere lineare Substitution die lineares Glied und Konstante eliminiert ausser 2

Zwischengedanke 2 :
***************
Laesst sich lediglich die Konstante eliminieren ?

-(-p*q+a*p*q-a*p^2)/q=0

hat die Loesung :

p =q*(a-1)/a
***********
(das ist q mal dem Hauptattraktor der Gleichung)

setzt man die Bedingung ein ergibt dies Gleichungen :

a/q*z^2-(q*a-2*q)/q*z
******************

mit dem besonders einfachen Fall fuer q=a
**********
z^2-(a-2)*z
**********
die Substitution hierfuer war :
y=1/a*(a-1-z)
z=(a-1) - a*y

Interessant ist auch
y=1/a*(a-1-exp(z))
dies fuehrt auf
ln(-a*exp(z)+2*exp(z)+exp(2*z))
(damit hat man die 2 te Substitution gleich mit eingebaut)

Ge?ndert von richy (08.10.10 um 16:09 Uhr)
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  #16  
Alt 23.01.11, 23:14
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Standard AW: Heureka oder Helau ?

Mit einer zusaetzlichen Loesung der Verhulst Gleichung kann ich im Moment leider immer noch nicht dienen. Ich habe einige meiner Ueberlegungen daher in Audio Material umgesetzt. Meine diesbezuegliche Erwartungshaltung war eher gering. Das Konzept der Interpretation der verketteten Polynome als Zeitfunktionen klingt als Audiofile nicht uebel :

Die Verhulst Gleichung laesst sich diesbezueglich in zweierlei Form verwenden.

1)
Man bildet die Funktion ueber die Kenntnis der Loesungen fuer r=2 und r=4 in einen Bildbereich ab, so dass man fuer den Audobereich einen idealen Sinus / Rechteck erhaelt.

2) Man wendet diese Transformation nicht an und erhaelt ein frequenzmoduliertes Signal.
Fuer a=4 z.B eine Tecno Basedrum. Verhulst haette dazu nur seine Gleichung in der beschriebenen Vorgehensweise ins Audio Format unmwandeln muessen. Dann haette er eine Tecno Basedrum aus den 90er Jahren 1990 erhalten.

Frage :
Kann man Algorithmen zur Klangerzeugung als Patent anmelden ?

Ge?ndert von richy (25.01.11 um 03:26 Uhr)
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