Bedingte Wahrscheinlichkeiten

[Kai]

Guten Abend!
Ich habe folgendes Anliegen:
Ich verstehe eine Aufgabe nicht ganz:

Ein Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge S={a,b,c,d,e} und die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
x | a | b | c | d | e |
P(x)| 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,1 |

Sind die Ereignisse A={c;d} und B={a;d} voneinander abhängig?


Ich habe folgenden Ansatz "erarbeitet":
P(A)=P(B)=0,5
Mein Problem ist jetzt: Wie kommt man auf P(A und B)?
Im Lösungsbuch steht: P(A und B)=0,3 P(B|A)=0,6

Kann sein, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen kann.
Danke im Voraus.
Gruß Kai

[regeli]

Hi Kai ! Wer schafft es zuerst ? www.matheboard.de

und/oder Wikipedia .


Habe bei Minesweeper letzten Beitrag abgerundet, nur zur Inforfmation,
etwas umformuliert.
Gruss regeli

Also : Es gibt zwei Formeln : Für unabhängige Ereignisse gilt P(A und B) = P(A) mal P(B).

Für abhängige Ereignisse wird vorausgesetzt , dass A bereits eingetreten ist , ansonsten könnte
ja irgendeine Teilmenge mit zwei Elementen den Anfang bilden und die Formeln währen kompli-
zierter.
Diese Situation ( A bereits eingetreten) wird mit B/A bezeichnet ---> P(B/A) .Dies geht an
die Stelle von P(B).Ereignis B ist abhängig .

Der Formelzusammenhang lautet nun :

P(AundB) = P(A) mal P(B/A) Die Lösungszahlen eingesetzt würden für P(A) = 0,5 die richtige
Umrechnung ergeben. Es fehlt die direkte Bestimmung eines der Lösungswerte.

Damit ist noch keine Entscheidung gefallen. Wahrscheinlich muss P(B/A) noch direkt bestimmt
werden, wobei der Slash kein Bruchstrich ist und eigentlich durch einen senkrechten Trennungs-
strich dargestellt wird.

[regeli]

Hi Kai ! Bin jetzt hier : http://www.matheprisma.de

Soviel steht fest : Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse stellt man
durch Einsetzen der Werte in die Produktregel fest.
Dein Produkt wäre bei P(A)=P(B)=0,5 ---> 0,25 . ????

Gruss regeli

[richy]

Hi
Ich hab an dieser Aufgabe auch schon rumgeknobelt.
Viel kann ich nicht dazu beitragen. Ausser, dass man hier vielleicht mit der Regel von Bayes ein Stueck weiter kommen koennte :
http://wikiludia.mathematik.uni-muen...s%27sche_Regel
P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)

Und sind die Ereignisse statistisch unabhaengig, so wuerde gelten
P(A|B)=P(A)
P(B|A)=P(B)

Was ist mit P(a;d) gemeint ? Die Schreibweise habe ich nur bei mehrdimensionalen Verteilungen gefunden.
P(a;d)=P(a oder d) = P(a)+P(d) ?

[Kai]

Guten Tag!
Ich muss mich für mein Fehlen hier entschuldigen (Internetprobleme...).
Ich ging davon aus, dass P(a;d)=P(a)+P(d) ist.
Ich fand diese Aufgabe ziemlich verwirrend, weil ich nicht weiß, wie man nun auf P(A^B) kommt.
Darüberhinaus kenne ich das Experiment an sich nicht; man kann also nicht einschätzen,ob das Ganze hier abhängig bzw. unabhängig ist...

Ich denke mal, dass hier folgendes gilt:
P(A|B)=P(A)
Beweisen kann ich das leider nicht...
Der Rest würde sich dann ergeben.

Gruß Kai

P.S.: Scheint so, als könnte man diese Aufgabe in die unabhängige Variante einteilen...

[richy]

P(A und B) ist wie regeli bemerkte statistisch unabhangig P(A)*P(B)
Aber :
Wenn in einer Urne 10 rote Wurfel sind und 10 blaue Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit das ich einen Wuerfel ziehe 0.5
Und die Wahrscheinlichkeit dass ich ein rotes Objekt ziehe 0.5
Die Wahrscheinlichkeit dass ich einen Wuerfel und ein rotes Objekt ziehe bleibt dennoch 0.5 und ist nicht 0.5*0.5
a...e scheinen mir solche zusammenhaengenden Merkmale zu sein. Kein eindimensionaler Versuch.
Aus der Aufgabenstellung geht nicht hervor wie diese Merkmale zu verstehen sind.

Die Regel von Bayes drueck dies dann so aus
P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)
1 =P(A)/P(B)
P(a)=P(B)

In der Aufgabe ist es nun so, dass d in beiden Faellen auftritt.
A={c;d} und B={a;d}
Dieses d leifert doch schon die Loesung. Denn wenn ich nach B= a oder d frage und es tritt tatsaechlich d auf. Dann ist die Wahrscheinlichkeit von A = c oder d gleich eins.
Fuer den Fall ist P(A) mit P(B) vollstaendig korreliert.
Tritt d auf, dann gilt P(A|B)=1. Und d tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 auf.
Jetzt keonnen a und c tun und lassen was sie wollen. Vollstaendig oder garnicht korreliert sein.
An der vollstaendigen Korrelation ueber d mit der Wahrscheinlichkeit 0.3 koennen sie nichts aendern.
Sie koennen hochstens die Korrelation senken. Aber nicht auf 0, denn d tritt ja auf.
Meiner Meinung nach muessen A und B daher korreliert sein.

Nur wie man das ausrechnen soll weiss ich im Moment auch nicht.

[regeli]

Hi ! Das Problem ist doch nicht die Aufgabe sondern , das >Basis-
wissen<von Kai. Z.B. über Urnen oder Omega oder,oder,oder

Er bewegt sich nicht , er wartet , dass einer ihm die Lösung aufschreibt.

Die mengentheoretische Aussage für A und B ist der Durchschnitt
von A und B . Und das wäre d. ?

Jedenfalls ist das Urnenmodell relevant. Allerdings , wenn ich einen
Würfel gezogen habe , müßte ich ihn wohl zurück in die Urne tun.?

Mir macht es Spaß so etwas zum Stöbern in diversen Seiten zu nutzen.



Jedenfalls gibt es 15 Elemente {a,a} , {a,b} , {a,c } usw.

und wenn man die Elemente vertauscht nochmals 15 Teilmengen.
{b,a}, {c,a} .. , was zusammen 30 ergibt .

Spaß beiseite : Kai scheint der einzige Schüler ohne Ferien zu sein.

Gruß regeli

[richy]

Jedenfalls ist das Urnenmodell relevant.

Das bezweifle ich. Wie soll bei einem einfachen Urnenexperiment eine statistische Abhaengigkeit entstehen ?
Aus der Aufgabenstellung geht fuer mich nicht hervor was hier konkret gemeint ist.

[Kai]

Guten Tag!

Jedenfalls ist das Urnenmodell relevant.

Das bezweifle ich auch...
In dem Urnenmodell sind schließlich Angaben, mit denen man einen Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen kann.
In diesem Beispiel fehlen eigentlich Hand und Fuß.
Darüberhinaus kann sich meistens schon P(A|B) bzw. P(B|A) aus dem Kontext erschließen.
Aber hier ist das nur mit irgendwelchen Rechnungen, die ich (noch) nicht kenne oder kenne, aber nicht anwende, zu lösen.
Gruß Kai

[regeli]

Hi Kai ! Habe herausgefunden , dass in Klasse 8 ein Schwerpunkt
für die Behandlung von Wahrscheinlichkeit im Fach Mathematik liegt.

http://www.klassenarbeiten.de

Ich würde meinen , dass Dein Ansatz P(A) = P(B) = 0,5 ? jeweils
ein >oder< Ereignis ist , also heißt , dass die Wahrscheinlichkeit,
dass eines von zwei Ereignissen bei A eintritt 0,5 ist, ebenso bei
B .

A= {b,d} ---> für b =0,2 und d = 0,3 gilt die Summe 0,5 = P(b oder d)

Zusammen ist die Wahrscheinlichkeit für a oder c oder d = 0,7
und für die anderen Ereignisse 1-0,7 =0,3 = b oder e = 0,2 + 0,1.


Sollen aber beide auftreten und so A erfüllen , dann muss dafür die
Wahrscheinlichkeit wesentlich geringer sein (Ereignis tritt deutlich seltener
ein) Wenn A das Auftreten beider Elemente sein muß und in B ebenfalls ,ist
damit gemeint .

Für das Auftreten des ersten Ereignisses würde demnach 0,7 gelten und
0,3 dafür , dass keines von den drei Ereignissen eintrit oder.

Leider habe ich wegen Baumfällarbeiten kaum Zeit vor dem Wochenende.

Gruss regeli