Phänomene in Zusammenhang mit Wasserwellen

[richy]

Hier gibt es noch eine ausfuehriche Erklaerung zum DRP Verfahren von TAM :
http://www.math.fsu.edu/~tam/Tam_IJCFD_04.pdf
(12 MB laed eine Weile)
Das ist wie erwaehnt eines der genauesten vielleicht sogar das momentan genauste Verfahren fuer hyperbolische nichtlineare Systeme. Es ist dabei nicht aufwendiger als traditionelle Verfahren. Alle Vorteile sind in den speziellen verwendeten Koeffizienten verankert.
Durchaus moeglich, dass sich das in manchen Kreisen dennoch noch nicht herumgesprochen hat und man dort noch mit Runge Kutta rumhantiert.
Meine Diplomarbeit war im Grunde eine detaillierte Einfuehrung in das DRP Verfahren anhand konkreter Beispiele von 1D und 2D Simulationen nichtlinearer Wellenausbreitung.
Inclusive Verfahren fuer die Behandlung geeigneter Randbedingungen, Quellenmodellierung, "Grid Zooming Transformation", Entwurfsprogramm fuer DRP Operatoren ...
Was haltet ihr von der Idee diese Einfuehrung mal in "gestreckter" Form auf meiner HP widerzugeben ?
Inclusive kleiner Java Applets zur Visualisierung. Besteht da ein Interesse ?
Wenn ja:In englisch oder deutsch ?

[Gandalf]

Zitat von Timm

Jetzt bin ich doch fündig geworden, Jogi.

Ich denke, die Veröffentlichung in "Physical Review Letters" bürgt schon für Qualität.

http://www.scinexx.de/wissen-aktuell...006-09-13.html

Daraus dieses Zitat:


Die gute alte Schrödingergleichung, ein bißchen perplex bin ich da schon, werde den Thread aber nicht zur Quantenmechanik verschieben. Toll wäre es natürlich, wenn dabei auch noch herauskäme, daß die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Schiffen in der Nähe von Killerwellen gegen Null geht.

@ Ihr Alle
Ist es denn so, daß die Schrödingergleichung das Werkzeug dafür ist, wie gehe ich mit einem auf nichtlineares Verhalten beruhendem Wellen-Phänomen um? Gibt es vielleicht weitere Beispiele? In der Akustik?

Gruß, Timm

ich kann mich erinnern mal ein altes Spektrum-Heft über genau das Thema in den Fingern gehabt zu haben...

[Timm]

Zitat von richy

Es gibt sehr viele Formen von Wellen. Oberflaechenwellen, Biegewellen, Torsionswellen, Schallwellen, in Festkoerpern, Fluessigkeiten, Gasen ...
Unterschiedlichster Feldkomponenten :
Longitudinal, Transversal ...
Formal hat die Wellengleichung aber immer den selben Charakter. Es ist ein hyperbolisches PDE System. Und in der Realitaet ist es immer nichtlinear.
Wie man mit nichtlinearen Wellen umgeht kann ich dir recht genau beschreiben, denn damit habe ich mich einige Jahre an der Uni beschaeftigt. Naechtelang :-)

Hi richy,

hab ganz herzlichen Dank, Du hast Dich meiner unscheinbaren kleinen Frage in überwältigender Weise angenommen und bist offensichtlich Spezialist für nichtlineare Wellen, was ich bisher nicht wußte. Einen Eindruck habe ich zumindest, bin aber völlig überfordert, auf Deine Ausführungen einzugehen. Die mathematischen Grundlagen fehlen mir völlig. Ich habe mich lediglich mal für Primzahlen interessiert, als die ersten Computer leistungsfähiger wurden und war überrascht für die Häufigkeit von Primzahldifferenzen eine ausgeprägte wellenförmige Signatur zu finden. Chaotische Primzahlverteilung, aber Systematik bei Differenzen? Erst viele Jahre später machte ich einen emeritierten Matheprof. ausfindig, der auf Primzahlen geforscht hatte und mein Thema kannte.

Diese nichtlineare Aufsteilung wird auch in Geraeten verwendet mit denen Koerpersteine zertruemmert werden. Das war auch der Bereich in dem ich taetig war.

und in dem ich schon mal Steinspender war.

Ich habe mir Deine "Kleine Berechnung zur Heim Theorie" angesehen, bin dann aber gleich steckengeblieben. Des öfteren habt Ihr hier schon über Heim diskutiert. Seine Theorie scheint höchst abstrakt zu sein. Gibt es denn irgendwo eine Kurzversion für Laien? Wie löst er das Singularitäten Problem?

Gruß, Timm

[Timm]

Hi Gandalf,

ich erinnere mich dunkel an ein Spektrum Heft ,bei dem es um das Zustandekommen der Riffelung bei Sanddünen ging, aber Monsterwellen ??

Gruß, Timm

[richy]

Hi Timm
Mit nichtlinearer Wellenausbreitung habe ich mich in der Tat vor einigen Jahren intensiv beschaeftigt. Aber vom Schwerpunkt her nur mit US Wellen also Dichtewellen. Eine Oberflechenwelle ist wiederum noch schwieriger zu Handhaben. Ich weiss dennoch bis heute nicht was eine Welle nun wirklich ist :-) Neben der Aufsteilung gibt es hier vielleicht noch zu bemerken, dass eine konvergierende Welle niemals vollstaendig durch den Fokus laeuft. Der wirkt wie ein Filter und beugt die Wellenanteile entsprechend um den Fokus. Er stellt also keine Singularitaet dar wie man erwarten koennte.
Ob dies bei schwarzen Loechern evtl auch eine Rolle spielt waere vielleicht mal interessant fuer die RT zu untersuchen.
Heim vermeidet Singularitaeten uebrigends durch eine Quantisierung aller Groessen.

Zu Primzahlen hab ich zusammen mit regeli mal ein paar Ueberlegungen im Forum hier angestellt. Vielleicht erinnert er sich.
Meine Grundlage war dabei, dass die Summe zweier Zahlen, die keine gemeinsamen Primteiler aufweisen auch mit den Summanden keinen Primteiler gemeinsam hat.
Beweis am Beispiel von Fib Zahlen:
http://home.arcor.de/richardon/richy.../fibbeweis.txt
Damit kann man einiges anstellen. Z.B. folgt unmittelbar daraus, kann drei folgende Fib Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren aufweisen.
Oder man kann in einem kleinen Bereich Primzahlen vorhersagen :
http://home.arcor.de/richardon/richy...summensatz.htm
Oder einfacher als Euklid beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss.
http://home.arcor.de/richardon/richy...fib/euklid.htm
Mein Beweis ist sogar sehr viel einfacher als der von Euklid. Blos muss man dafuer halt den Primzahlsummensatz zunaechst beweisen. Das geht wahrschenlich auch schneller wie in meinem Beweis.
Letztendlich kann man ueber eine graphische Anschauung mit demPrimzahlsummensatz auch zeigen, warum es keine allgemeinen Gesetzmaessigkeiten fuer die Primzahlen gibt. Habe ich leider nicht dokumentiert.
Also Primzahlen ist etwas fuer ganz unbelehrbar hartgesottene :-)
ciao

[richy]

Der Primsummensatz gilt sicherlich auch fuer Differenzen. Vielleicht kannst du dir damit einiges erklaeren.

[Timm]

Zitat von richy

Der Primsummensatz gilt sicherlich auch fuer Differenzen. Vielleicht kannst du dir damit einiges erklaeren.

Nun entpuppst Du Dich auch noch als Experte für Primzahlen. Es wäre ganz interessant, ob man mit dem Primsummensatz auch zur relativen Häufigkeit von Primzahl Differenzen D kommt, fast sieht es danach aus.

Die Mathematiker Polya und Lehmer leiteten - vermutlich in der 1. Hälfte des 20.sten Jahrhunderts die Beziehung (p-1)/(p-2) ab, wobei p ein Primfaktor <> 2 von D ist.

Die Häufigkeit H einer Differenz D von Primzahl-Paaren ist das Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2). H gibt die Häufigkeit von D (mit Primfaktoren >2) im Vergleich zu D (mit Primfaktoren 2^n, mit n = 1, 2, 3, ... ) an.

Beispiele:

D ... Primf. <>2 ... Produkt (p-1)/(p-2) ... H

6 ...... 3 .......................... 2 ....................2
16 .................................................. .......1
42 .... 3*7 .................... 2*6/5 ...............2.4

Aus einer hinreichend großen Primzahlen Menge >> 42 ist die Differenz D = 42 zweier Primzahlen 2.4 mal häufiger als D = 8 oder D = 32.

Für die relativen Häufigkeiten H ergibt sich somit:

D / 2 / 4 / 6 / 8 / 10 / 12 / 14 / 16 / 18 / 20 / 22 / 24 / 26 / 28 / 30 ....

H 1.00 1.00 2.00 1.00 1.33 2.00 1.20 1.00 2.00 1.33 1.11 2.00 1.09 1.20 2.66 ....

Trägt man das gegeneinander auf, erhält man für H eine gezackte Welle mit den Maxima bei den von mir so genannten Superdifferenzen SD, also bei jenen Differenzen, deren Teiler fortlaufende Primzahlen sind. Ich habe die Vorhersage von (p-1)/(p-2) für die ersten 10^7 Primzahlen überprüft und fand eine Genauigkeit von besser 1%.

Interessant, aber vielleicht trivial ist die Frage, wohin die SH sich bewegen.

SD / Log(SD) / Faktoren / Zahl der Faktoren / SH

6 ---- 0.7782 ---- 1*2*3 ----- 3 --- 2
30 --- 1.4771 --- 1*2*3*5 ---- 4 -- 2.6667
210 -- 2.3222 -- 1*2*3*5*7 -- 5 -- 3.2
.
----- 8.3485 -----*19*23 -- 10^1 - 4.5894
----- 217 ------- *523 ----- 10^2 -- 8.5160
----- 3389 ------ *7907 ----- 10^3 -- 12.1230
----- 45332 ---- * 104723 -- 10^4 - 15.5972
----- 563914 --- * 1299689 -- 10^5 - 18.9914
----- 6722801 -- *15485857 - 10^6 - 22.3329

SH, Superhäufigkeit, ist die Häufigkeit der Superdifferenzen SD. Die gigantische Differenz mit 10^6 Primfaktoren (letzter Faktor ist 15485857) ist 22.3329 mal häufiger als die Differenz 2, 4, 8, ... . . Dies alles unter der Annahme unbegrenzter Gültigkeit von (p-1)/(p-2), denn darauf beruht die Berechnung von SH.

Die SH wachsen natürlich viel langsamer, wie die Zahl der Faktoren. Ich habe mich gefragt, ob SH irgendwann konvergiert, oder gegen Unendlich geht. Trägt man SD gegn die Zahl der Faktoren 10^x (gleiche Abstände für 10^1, 10^2, ... ) auf, so findet man erstaunlicherweise eine nahezu lineare Abhängigkeit. Vermutlich kann ein Mathematiker diese Frage relativ einfach beantworten. Zu den Logarithmen habe ich gegriffen, weil ich mit diesen riesigen Zahlen anders nicht umzugehen wußte. Ich bin gespannt, wie Du das siehst.

Gruß, Timm

P.S. Weshalb ich damals den Faktor 1 dazu nahm, kann ich nicht mehr nachvollziehen.
Falls Dich die Ableitung von (p-1)/(p-2) interessiert, kann ich sie Dir per PM schicken. Hier geht das wahrscheinlich zu weit.

[richy]

Hi Timm

Mittels Widerspruch laesst sich dieser Satz ueber Primfaktoren von Summen auch ganz trivial beweisen.
Gegeben seien die natuerlichen Zahlen a und b sowie deren Summe s=a+b
Voraussetzung :
a und b sollen keinen gemeinsamen Primfaktor aufweisen
Annahme :
s habe einen gemeinsamen Primfaktor k mit a oder b
Dann laesst sich s schreiben als s=k*S (wobei S=s/k und ganzzahlig ist)
Sei a die Zahl mit dem Primfaktor k entsprechend a=k*A

Dann laesst sich aber b schreiben als b=s-a oder b=k*S-k*A=k*(S-A)
Un damit enthielte auch b den Primfaktor k
Das widerspricht aber der Annahme, daher kann c weder mit a noch b einen gemeinsamen Primfaktor aufweisen, wenn auch a und b keinen gemeinsamen Primfaktor aufweisen.

Wie sieht es aus wenn a und b den/die gemeinsamen Primfaktor/en p aufweisen ?
a+b=p*A+p*B=c
c=p*(A+B)
Dann muss natuerlich auch c den/die Primfaktor/en aufweisen , also gilt :
a+b=p*A+p*B=c=p*C
Fuer die restlichen Primfaktoren
A+B=C
Es soll gelten a<>b
A und B koennen nun keine gemeinsamen Primfaktoren aufweisen und damit wegen dem Summensatz keinen gemeinsamen mit C
Vielleicht etwas voreilig aber :

Vermutung
Die Summe zweier unterschiedlicher Zahlen enthaelt stets einen Primfaktor, den es vorher in den Summanden nicht gab. Fuer Summanden mit einfachen Primfaktoren trifft dies immer zu. Wahrscheinlich auch bei mehrfachen Primfaktoren, also der Form p^i. Es koennte aber durchaus sein, dass ich spezielle Faell noch nicht beruecksichtigt habe. Dazu mache ich aber einen neuen Thread auf.

Hier noch ein einfacher Spezialfall:
s=p^i+p^k, k>i
s=p^i*(1+p^(k-i))
1+p^(k-i) kann nicht den Primfaktor p aufweisen.
Daher tritt in deieser Summe ein neuer Primfaktor auf

Noch ein Fall
s=k*p^i+p^k, k>i
s=p^i*(k+p^(k-i))
Nun kann die Summe weder k noch p als Primfaktor aufweisen
Also muss wiederum ein neuer Primfaktor "erscheinen"

,,,

Ich kann dinen Ausfuehrungen leider nicht so ganz folgen.
Was ist SH ?

Falls Dich die Ableitung von (p-1)/(p-2) interessiert, kann ich sie Dir per PM schicken. Hier geht das wahrscheinlich zu weit.

Ja sehr gerne !
Mal auf die Schnelle. p soll eine Primzahl (p>2) sein nicht ?
Wenn ich fuer p die Prizahlfakultaet p1*p2*p3 ... einsetze so kann (p-1) und (p-2) nicht die Primfaktoren p1,p2,p3 aufweisen.
p/(p-2) laesst sich dann nicht kuerzen. Ebenso -1/(p-2)
Der Nenner bleibt somit erhalten. Hmm p-1 und p-2 muessten dann (nur in dem Fall) auch verschiedene Primfaktoren aufweisen. Damit kann (p-1)/(p-2) in dem Fall keine natuerliche Zahl sein.
Stimmt das ?
Kann man daraus schon mehr folgern ?

Mist hab grad keine Zeit. Bis spaeter ..

[Timm]

Zitat von richy

Mal auf die Schnelle. p soll eine Primzahl (p>2) sein nicht ?
Wenn ich fuer p die Prizahlfakultaet p1*p2*p3 ... einsetze so kann (p-1) und (p-2) nicht die Primfaktoren p1,p2,p3 aufweisen.
p/(p-2) laesst sich dann nicht kuerzen. Ebenso -1/(p-2)
Der Nenner bleibt somit erhalten. Hmm p-1 und p-2 muessten dann (nur in dem Fall) auch verschiedene Primfaktoren aufweisen. Damit kann (p-1)/(p-2) in dem Fall keine natuerliche Zahl sein.

Hi richy,

habe gerade per Änderung meinen Beitrag vom 27.9.09 mit zusätzlichen Erläuterungen und Beispielen hoffentlich verständlicher gemacht. Das war zu knapp, tut mir leid.

Deinen Primfaktoren - Summensatz und Beweis d. Widerlegung schaue ich mir an,

muß weg,

Gruß, Timm

[Timm]

Zitat von richy

Mittels Widerspruch laesst sich dieser Satz ueber Primfaktoren von Summen auch ganz trivial beweisen.
Gegeben seien die natuerlichen Zahlen a und b sowie deren Summe s=a+b
Voraussetzung :
a und b sollen keinen gemeinsamen Primfaktor aufweisen
Annahme :
s habe einen gemeinsamen Primfaktor k mit a oder b
Dann laesst sich s schreiben als s=k*S (wobei S=s/k und ganzzahlig ist)
Sei a die Zahl mit dem Primfaktor k entsprechend a=k*A

Dann laesst sich aber b schreiben als b=s-a oder b=k*S-k*A=k*(S-A)
Un damit enthielte auch b den Primfaktor k
Das widerspricht aber der Annahme, daher kann c weder mit a noch b einen gemeinsamen Primfaktor aufweisen, wenn auch a und b keinen gemeinsamen Primfaktor aufweisen.

Hi richy,

verstanden,

ich hatte es so versucht:

s = a + b

Enthielte s einen gemeinsamen i-ten Primfaktor pi mit a oder b, so ist z.B. s = p2*p5 = p1*p2 + p3*p4. Daraus folgt p2 = p3*p4/(p5-p1), was aber nicht sein kann, weil dann p2 keine Primzahl wäre. Gilt wohl streng nur, wenn die p der rechten Seite <> 2 sind, dann ist der Zähler im Gegensatz zum Nenner ungerade. Na, Dein Beweis scheint mir aber allgemeiner gefaßt. Aus b = k*S - k*A erhält man k = b/(S-A), was vermutlich ebenfalls keine Primzahl ist.

Ist der Summensatz neu? Gibt es eine Schranke? Ich kann keine erkennen. Zur Häufigkeit von Primzahldifferenzen sehe ich keine Anwendung.

Das Buch "The new Book of Prime Number Records" von Paulo Ribenboim ist eine wahre Fundgrube, für mich leider über weite Strecken zu schwierig, aber für Dich vielleicht interessant.

Gruß, Timm