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  #11  
Alt 18.03.10, 21:46
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beitr?ge: 4.170
Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Hi Lambert
Bevor man diesen Effekt hier versteht
http://de.wikipedia.org/wiki/Aharonov-Bohm-Effekt
(ich verstehe ihn nicht) muss man erstmal verstehen was ein Vektorpotential ist :
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorpotential
Und um diese Seite zu verstehen muss man erstmal wissen, was denn mit diesen ganzen Operatorsymbolen gemeint ist. Und dazu traegt auch bei, dass man wenigstens weiss wie diese gebildet werden. Und auch in etwa interpretieren kann. Das hab ich zunaechst versucht.
rot ist leider am unuebersichtlichsten zu bilden.
(Nicht zu verwechseln mit Rot, der Sprungrotation)
Und auf der Seite zum Vektorpotetial stehen auch Gleichungen, Zusammenhaenge, die man nur verstehen kannm wenn man weiss, dass es zwischen diesen Operatoren mathematische Zusammenhaenge gibt. Folgenen Link finde ich daher besonders hilfreich :
http://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator
Von der Seite dort will ich noch einen Screenshot machen, denn diese Aequivalenzen sind eines der maechtigsten Hilfsmittel die uns zur Verfuegung stehen. Das ist geballte Mathematik konzentriert auf operationelle Zusammenhaenge :



Alleine mit dieser Seite kann jeder! in einigen Minuten aus den Maxwellgleichungen die (Wellen) Telegraphengleichung der Elektrodynamik herleiten. Man sollte sich diese Tabelle eigentlich uebers Bett haengen :-)
Rot rot ist grad div minus Laplace zum Sprachumfang gehoeren.

Bevor man sich mit Wirbelfelder und Vektorpotentialen befasst sollte man zudem erstmal skalare Potentiale betrachten :
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/eich/node1.html
Das ist schwierig genug.

Und ich wuerde zunaechst noch einen Schritt zurueckschrauben.
Denn unter B und E Feld kann man sich im Grunde nicht wirklich viel vorstellen.

Zu den Maxwellgleichungen gibt es ein sehr anschauliches klassisches Analogon. Das sind die Grundgleichungen der Akustik. Diese werden aber meist nicht ueber rot,div,grad formuliert. Ein formeller Unterschied besteht darin, dass in der E-Dynamik zwei verktorielle Feldgroessen vorhommen. B und E. In der Akustik eine vektorielle und eine skalare. Schnelle v und Wechseldichte rho
Darauf basiert auch der longitudinale und transversale Charakter.
Kaum jemand praktiziert dies, aber die akustischen Grundgleichungen lassen sich ebenfalls operationell ueber rot,grad,div darstellen.
Als Maxwellgleichungen der linearen Akustik.

div(p)=-Rho0*dv/dt
rot(v)=0
grad(v)=-1/Rho0*drho/dt
p=c^2*rho
(c=Schallgeschwindigkeit)

Damit laesst sich ebenfalls rein formell sehr schnell die akustische Wellengleichung herleiten. Und ebenso laesst sich diese einfacher loesen wenn man ein skalares Potential, das Geschwindigkeitspotential verwendet :
http://de.wikipedia.org/wiki/Geschwindigkeitspotential φ
Zitat:
Das Geschwindigkeitspotential φ führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen in der Fluiddynamik ein. Damit vereinfachen sich die Rechnungen und außerdem gewinnt man ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential in der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen Potential, bzw. dem Gravitationspotential.
In der Akustik gilt dann v=-grad(φ)
Dies erfuellt die Wirbelfreiheit rot(v)=0, denn wie Bett-Tabelle zeigt gilt immer rot(grad(φ))=0
mit :
φ=1/rho0*Integral p(t) dtau
p(t) ist mit der betrachteten Feldgroesse rho ueber eine Zustandsgleichung verknuepft.

Anmerkung zur Zustandsgleichung :
Allgemein laesst sich diese aus der Stroemungsmechanik herleiten
sowie dem 1.ten Hauptsatz der Thermodynamik der spezifischen inneren Energie e einer Fluessigkeit sowie der spezifischen Entropie s.
p=rho^2*(de/drho)|s =p(rho,s)
Praktisch verwendet man in der nichtlinearen Akusik eine Taylorentwicklung z.B 2.ter Ordnung mit empirisch ermittelten Koeffizienten.
p=c^2*rho+c^2/Rh0*5/2*rho^2

Aus dem Geschwindigkeitspotential lassen sich somit beide akustischen Feldgroessen ermitteln.
v ueber Gradientenbildung
rho ueber die Zustandsgleichung

Das Prinzip ist somit :
Man nimmt eine uebergeordnete Potentialgroesse φ an und loest fuer diese die PDE, statt fuer die einzelnen Feldgroessen. Diese leitet man aus der Loesung ab.

Ich denke es ist eine ganz gute Uebung erstmal die linearen akustischen Grundgleichungen auf diese Weise durchzurechnen bevor man die Maxwellgleichungen oder gar diesen Bohm Effekt betrachtet.
Ist der Schnelle Gradient alleine ein mathematisches Hilfsmittel ?
Ich meine man kann sich schon etwas darunter vorstellen.
Bei der Rotation ist dies schon weitaus schwieriger.
ciao

Ge?ndert von richy (19.03.10 um 14:22 Uhr)
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  #12  
Alt 18.03.10, 22:18
Lambert Lambert ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Hallo Richy,

Das Experiment zeigt, dass ein in einem Zylinder gefangenes magnetisches Feld quantenmechanische Einflüsse hat auf einen Elektronenstrom draußen.

Meine Frage ist, ob das A-Bohm-Effekt nicht eher am Elektron liegt als am Vektorpotenzial. Ich denke, dass die Frage nicht direkt zu beantworten ist. Entweder ist die ursprüngliche Definition des Vektorpotenzials ungenügend, wie Nancy völlig zurecht anmerkt, oder aber - und das ist meine Meinung - hat
1) entweder der Vektorpotenzial "spuckhafte" Eigenschaften
2) die bekannten spuckhaften Eigenschaften des Elektrons sind schuldig
3) Beide haben einen "spuckhaften" Anteil

Spuckhaft immer nach AE, natürlich.

Ich neige zu 2.
Mehr kann ich beim besten Willen nicht dazu sagen.

Was meinst Du?

Gruß,
Lambert
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Wahrheit ist nur sich selbst verpflichtet

Ge?ndert von Lambert (18.03.10 um 22:27 Uhr)
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  #13  
Alt 18.03.10, 22:24
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Die Maxwellgleichungen sind unvollstaendig. Zudem linear. Gravitationsfeldgroessen sind darin nicht beruecksichtigt. Heims erweiterte Maxwellgleichungen beruecksichtigen diese.
Wenn sich damit der Effekt erklaeren liese waere das prima fuer Heim.
Meine Kenntnisse reichen leider nicht aus um dies zu ueberpruefen. Und wenn sich Heims Gleichungen bestaetigen wuerden, wuerde es soundso niemanden interessieren.
Dieses Ciba Geigi Forellen Experiment interessiert auch niemand mehr.
Dabei ist doch klar wie man dieses qualitativ ueber Heim erklaeren koennte.
Vergebliche Muehe also :-)
Ist natuerlich dennoch ein sehr interessanter Ansatzpunkt, ob Heim hier mehr leistet als Maxwell.
Gruesse

Ge?ndert von richy (18.03.10 um 22:39 Uhr)
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  #14  
Alt 18.03.10, 22:30
Lambert Lambert ist offline
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Die Maxwellgleichungen sind unvollstaendig. Zudem linear. Gravitationsfelder sind darin nicht beruecksichtigt. Heims erweiterte Maxwellgleichungen beruecksichtigen diese.
Wenn sich damit der Effekt erklaeren liese waere das prima fuer Heim.
Meine Kenntnisse reichen dafuer leider nicht aus. Und wenn sich Heims Gleichungen bestaetigen wuerden, wuerde es soundso niemanden interessieren.
Vergebliche Muehe also :-)
Ok, einverstanden, was der Linearität betrifft. Allerdings geht es hier gerade nicht um Gravitation. Aber ich verstehe Dich so, dass dadurch auch die Quantisierung der Gravitation eine Rolle spielen wird. Scheint mir interessant. Heim müsste nach meinem Dafürhalten dem imaginären Raum auch mehr Platz geben.

Wie auch immer: auch Heim wird einmal fair und heimmingslos auf Richtigkeit und auf Fehlerhaftigkeit geprüft, denn mathematische Physik muss die Zukunft sein. Was sonst?

Gruß,
lambert
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Ge?ndert von Lambert (18.03.10 um 22:32 Uhr)
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  #15  
Alt 18.03.10, 23:18
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Hi Lambert
Ich bin weit davon entfernt Heim verstanden zu haben. Der Raum bei Heim ist um 2 imaginaere Koordinaten erweitert.
Und falls diese tatsaechlich existieren, so sind sie zusammen mit der Zeit die Ursache unseres Unverstaendnisses bezueglich mancher Dinge.
Wie :
Moeglichkeiten, Entropie, Negentropie, Information, Organisation, Nichtlokalitaet, Irrealitaet, Gravitation, Graviton, Photon, E Feld, H Feld, Energie ...
sowie semantische Bewertung.
Das alles haengt mit diesen Koordinaten zusammen. Und ich taste mich hier auch nur milimeterweise vorwaerts.
Dieses Experiment waere natuerlich ein prima Test. Bisher besteht ein Test nur darin riesige Magnetfeldaenderungen zu erzeugen. Heim dachte sogar daran Quellen grosser Magnetfelder in die Luft zu sprengen

Ge?ndert von richy (18.03.10 um 23:23 Uhr)
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  #16  
Alt 19.03.10, 06:31
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Bevor man diesen Effekt hier versteht. muss man erstmal verstehen was ein Vektorpotential ist
Wenn man das Vektorpotential verstanden hat, geht es weiter zu Bohm-Aharonov. Doch zuvor das Einfachere.

Wenn die Quelle eines Feldes verschwindet, d.h. wenn

div B = 0

so ist dieses Feld als Wirbel eines Vektorpotentials darstellbar:

B = rot A bzw. B(r) = ∂/∂r x A(r)

(A ist das Vektorpotential von B)

Wie konstruiert man ein Magnetfeld? Aus einer gegebenen Stromdichte j und dem Vektorpotential A lässt sich die magnetische Induktion B bestimmen. Die magnetischen Feldlinien sind A = konstant. Der magnetische Fluß zwischen zwei beliebigen Punkten im Magnetfeld entspricht der Differenz zweier Vektorpotentiale. Bis auf ein additives Gradientenfeld ist A eindeutig bestimmt. Es lässt sich zu A immer ein Vektorpotential A' finden, so dass die Eichfreiheit gewährleistet ist.Der Vorteil - insbesondere für die theoretische Physik - liegt darin, dass sich das Vektorpotential eichen lässt. In der Elektrodynamik benutzt man gerne die Lorenz-Eichung (nach L.V. Lorenz, fälschlich oft H.A. Lorentz zugeschrieben).

Mit dem Vierervektor geschrieben:

∂_μ A^μ = 0

Mit dem d'Alembert-Operator:

A(r) = (4Pi/c)j

Damit ist eine relativistische Verallgemeinerung gegeben.

Gr. zg
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  #17  
Alt 19.03.10, 08:18
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Hi zeitgenosse

Zitat:
Wenn die Quelle eines Feldes verschwindet, d.h. wenn
div B = 0
so ist dieses Feld als Wirbel eines Vektorpotentials darstellbar:
Das geht auch aus der Tabelle hervor :
div(rot(B))=0

Zitat:
Bis auf ein additives Gradientenfeld ist A eindeutig bestimmt
Man eicht somit das Vektorpotential ueber das Gradientenfeld ?
Und steckt diese Eichung in den Maxwellgleichungen schon drin ?
Oder muss ich diese fuer jede Problemstellung neu ermitteln ?
Sorry lange her.
Noch eine Frage :
Ist dieser von Lambert genante Versuch denn nicht mit den Maxwellgleichungen erklaerbar ?
Viele Gruesse

Ge?ndert von richy (19.03.10 um 14:11 Uhr)
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  #18  
Alt 19.03.10, 10:46
Lambert Lambert ist offline
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Hi Richy,

wie Du schon geschrieben hast, sind die Maxwell Gleichungen Wellengleichungen. (@ zg: by the way: es hilft bei diesem Thema auch nicht, sie relativistisch zu gestalten).

Wir haben bei dem Experiment nämlich mit einem Quantenproblem zu tun. Nun ist das Quantum aber nicht das EM-Feld, sondern das Elektron.

Ich bin - nach einer Nacht schlafen - immer mehr zu der Überzeugung geraten, dass das Thema durch das Quantenverhalten des Elektrons verstanden werden muss.

Damit würde die Definition des Vektorpotentials durch dieses Experiment nicht berührt werden.

Gruß,
Lambert
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  #19  
Alt 19.03.10, 11:35
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Zitat:
Zitat von Lambert Beitrag anzeigen
Damit würde die Definition des Vektorpotentials durch dieses Experiment nicht berührt werden.
Zum Aharonov-Bohm Effekt (Einfluß des Vektorpotentials auf die Phase der Wellenfunktion):

Es gibt Physiker, die den Aharonov-Bohm Effekt als mathematische Erfindung betrachten.

Pof. Bruhn meint dazu:

Zitat:
Wirksam für die Phasenverschiebung ist allein der magnetische Fluss B.
Andererseits soll Möllenstedt (1961) den Effekt experimentell nachgewiesen haben. Neuere Messungen stammen von Tonomura (1987).

Ein Elektronenstrahl wird mit Hilfe eines elektrostatischen Biprismas so abgelenkt, als käme er aus zwei räumlich getrennten Quellen. Die Strahlen umlaufen dabei ein zylindrisches Magnetfeld (z.B. von einem Fe-Whisker, einem extrem langen und dünnen Einkristall), um danach auf einem Schirm zur Interferenz gebracht zu werden. Bei Änderung des eingeschlossenen Magnetflusses verschieben sich die Interferenzstreifen, selbst dann, wenn die Elektronenbahnen das Magnetfeld gar nicht tangieren.

Gemäss Theorie verursacht das für die beiden Teilstrahlen unterschiedliche Vektorpotential diese Phasenverschiebung.

In Analogia zum Magnetismus ist auch ein als Aharonov-Casher-Effekt benannter Potentialeffekt bekannt, bei welchem ein ungeladener Teilchenstrahl mit einem von Null verschiedenen magnetischen Moment in Wechselwirkung mit dem elektrischen Potential eines geraden, geladenen Drahtes tritt, der senkrecht zur Trajektorie des Teilchenstrahls verläuft. Auch hierbei sollen die Teilchen eine Phasenverschiebung erfahren, abhängig davon, in welcher Richtung sie den Draht umlaufen.

Dieser Effekt wurde von Cimmino et al. (1989) an einem Neutronenstrahl nachgewiesen.

Gr. zg
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  #20  
Alt 19.03.10, 13:20
Benutzerbild von eigenvector
eigenvector eigenvector ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 02.12.2009
Beitr?ge: 160
Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Also soweit ich die Sache verstanden habe, gibt es zum Aharonov-Bohm-Effekt zwei mögliche Interpretationen.

Zum einen kann man davon ausgehen, dass das Vektorpotential eine physikalische Existenz besitzt, so dass Elektronen mit diesem wechselwirken können.

Oder aber man geht davon aus, dass der magnetische Fluss, der ja unzweifelhaft eine physikalische Existenz besitzt, die entscheidende Größe ist. Dann muss man sich aber damit abfinden, dass die Quantentheorie nicht-lokal ist.

Ich finde letzteres überzeugender. Das ist auch die Erklärung, wie ich sie in meiner Quantentheorie-VL gehört habe.
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