Raumkrümmung = Dichteänderungen des Raumes?

[Ich]

Zitat von Scibo

Frage: Warum sollte man die Raumzeitkrümmung _nicht_ als Dichteänderung des Raumes verstehen?

Das ist eigentlich ganz einfach beantwortet: Dichte ist ein einziger Parameter, und die ART braucht 10 Parameter an jedem Raumzeitpunkt, um zu funktionieren und mit den Experimenten übereinzustimmen. Eine Theorie mit nur einem Parameter kann die Natur nicht beschreiben.
Wenn man nur bestimmte Dinge in erster Näherung rechnen will, dann reicht ein Parameter aus, den man als Zeitdilatation oder Gravitationspotential bezeichnen kann. Der hat auch Ähnlichkeit mit einer Dichte. In der Originalarbeit Einsteins leitet er z.B. die Lichtablenlung über eine Art "Brechungsindex" des Raums her. Das geht. Aber eben nur als erste Näherung, und viele andere Dinge (wie z.B. Gravitationswellen - das sind Transversalwellen!) sind damit gar nicht beschreibbar.

[Scibo]

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[Ich]

Zitat von Scibo

A) Die Lichtgeschwindigkeit ist konstant. Stationärer Fall und Vakuum. Damit werden mMn 4 der 10 Freiheitsgrade (die mit der Zeit) aus den anderen herleitbar. Ich weiß nicht, ob das stimmt. Aber es erscheint mir richtig.

Nein. 10 Freiheitsgrade sind 10 Freiheitsgrade, und die sind alle prinzipiell unabhängig voneinander einstellbar. Keiner ist aus den anderen herleitbar.

B) Bleiben 6 Freiheitsgrade, die allein die Raumkrümmung (ohne Zeit) charakterisieren. Sind diese aus einem Dichtefeld eindeutig ableitbar? Meiner Meinung nach ja. Leider weiß ich auch das nicht sicher, es ist nur so ein Gefühl. Diese 6 Freiheitsgrade sind die Änderung der Länge in drei Raumrichtungen und die Änderung der Winkel zwischen drei Raumrichtungen.

Auch: Nein. Es sind 10 Freiheitsgrade, nicht 6.

Eine Analogie: Mit einer heatmap (je "röter" die Farbe, umso höher, je "blauer" die Farbe, umso tiefer) lässt sich die Topologie eines geografischen Gebietes gut darstellen. Dafür brauche ich genau einen Parameter an jedem Punkt, die jeweilige Höhe.

Genau. Und damit kommst du auch genau so weit, wie dich ein Skalarfeld trägt, nämlich bis zur Newtonschen Gravitation.
Die nächste Näherung zeigt dann aber schon ein geschwindigkeitsabhängiges Verhalten. Wenn man jetzt c=const. setzt, kommt man wie gesagt z.B. zu einer einparametrigen Näherung für die Lichtablenkung.

Der Clou: Dadurch, dass die heatmap ein Feld aus Höhenpunkten ist, beinhaltet sie mit dem Unterschied zu den Nachbarpunkten auch jeweils den metrischen Tensor an jedem Punkt.

Nein, auch die Komponenten des metrischen Tensors haben Ableitungen, und die beinhalten viel mehr Information als der Gradient eines Skalarfelds.

Ich kann das leider mathematisch noch nicht so zeigen, es sollte aber gehen... Davon bin ich überzeugt.

Oder hab ich doch irgendwo einen haarsträubenden Fehler?

Ja, mehrere. Mit deinen statischen Punktladungen lügst du dir in die Tasche, da funktioniert die einparametrige Näherung ausreichend gut. Wenn du deine Intuition wirklich testen willst, dann musst du an die Fälle gehen, wo deine Hypothese ganz offensichtlich nicht funktiniert, wie z.B. Gravitationswellen. Die sind reine Eigenschaften der Raumzeit, und sie tragen neben der Amplitude auch eine Richtungsinformation.
Du brauchst schon für Maxwell zusätzlich zum Skalarpotential noch ein Vektorpotential. Die ART erlaubt noch mehr Freiheiten. Wenn du dir sicher bist, dass dafür ein Skalar reicht, dann liegst du beweisbar falsch.

[Scibo]

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[Ich]

Zitat von Scibo

Meine Frage nun: Wenn Skalarfelder per se die Raumkrümmung nicht erklären können (sondern nur die Newtonsche Gravitation) -
Inwiefern ist die Schwarzschildlösung dann mehr als ein Skalarfeld???
(Ich glaube, sie ist genau das: Ein Skalarfeld)

Die Schwarzschildlösung hat tatsächlich insgesamt nur einen Parameter, noch nicht einmal pro Punkt. Du musst noch nicht einmal ein Skalarfeld bemühen, um sie exakt festzulegen. Diese symmetrische Lösung hat nur einen Freiheitsgrad, das heißt aber nicht, dass man die anderen nie braucht. Sie ist aber dennoch ein Tensorfeld, auch wenn die Komponenten alle auf diesen einen Parameter zurückgehen. Und lass's dich nicht täuschen von der Symmetrie in den Koordinaten: Aus dem Wert des Potentials an einem Punkt folgt nur dann die Krümmung, wenn man zusätzlich die Radialkoordinate r (oder den Massenparameter) kennt und die Richtung von r.
Und ja, das relativistische Potential ist einen Schritt weiter als die Newtonsche Gravitation. Ich hatte gestern noch zwei Edits überlegt, um diesen Punkt noch zu erwähnen, fand das dann aber zu verwirrend. Wenn du mehr willst als die Schwarzschildlösung, kannst du solche Lösungen superponieren und hast eine gute postnewtonsche Näherung.

Aber deine Behauptung ist ja nicht, dass ein Potentialfeld in bestimmten Situationen eine hilfreiche Sache ist, sondern dass die gesamte ART nicht mehr braucht. Um dir vor Augen zu führen, dass das falsch ist, solltest du die offensichtlichen Beispiele dafür anschauen und nicht eine statische Lösung mit nur einem Parameter.

[Bernhard]

Zitat von Scibo

Inwiefern ist die Schwarzschildlösung dann mehr als ein Skalarfeld???

Die Schwarzschildlösung ist ein Tensorfeld. Diese Feldart kann aufgrund der zugehörigen Mathematik deutlich mehr Informationen als ein Skalarfeld enthalten. Ein Skalarfeld stellt eine Funktion der Koordinaten dar. Der metrische Tensor wird dagegen von zehn solchen Funktionen gebildet.

Um so Dinge wie Lichtablenkung, Periheldrehung von Planetenbahnen und Zeitdilatation von Uhren auf verschiedenen Gravitationspotentialen beschreiben zu können, kommt man praktisch alternativlos zu den Werkzeugen der Relativitätstheorie.

[Scibo]

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[Bernhard]

Zitat von Scibo

Ich verstehe nicht: Wieso ist die Schwarzschildlösung ein Tensorfeld, auch wenn sie nur von einem Parameter abhängt?

Schau dir bitte mal die erste Formel aus diesem WP-Abschnitt an: https://de.wikipedia.org/wiki/Schwar...#Linienelement

Man kann den ersten Teil dieser Gleichung auch wie folgt schreiben:

g = g_mu_nu dx^mu * dx^nu

g ist der metrische Tensor. Auch wenn dir das jetzt momentan nicht viel sagt, kannst du einfach davon ausgehen, dass man das so benennen darf. Wesentlich sind die Funktionen g_mu_nu. Die Indizes mu und nu (das sind kleine griechische Buchstaben) können dabei gemäß Definition die Werte 0, 1, 2 oder 3 annehmen. Findet man in einer Formel einen bestimmten Index (zB das mu) sowohl als tiefgestellten als auch als hochgestellten Index, so wird über die Werte 0, 1, 2, 3 summiert. Man nennt das die einsteinschen Summenkonvention: https://de.wikipedia.org/wiki/Einste..._Indexstellung , siehe bitte nur der letzte Abschnitt des Artikels.

Ausgeschrieben lautet obige Formel also:

g = g_00 * dx^0 * dx^0 + g_01 * dx^0 * dx^1 + ... + g_33 * dx^3 * dx^3

Der metrische Tensor setzt sich also aus einer Summe mit insgesamt 16 Summanden zusammen. Da nun zusätzlich g_mu_nu = g_nu_mu (zB g_01 = g_10) gilt, reduziert sich das auf 10 Summanden.

Jeder Summand besteht aus einer Funktion und dem Produkt zweier Koordinantendifferentiale. Was Letzteres genau bedeutet ist erstmal nicht so wichtig.

Wenn man der Einfachheit halber die Konstante c zum Koordinatendifferential rechnet, so gilt nun zB:

g_00 = 1 - rS/r

Die 00-Komponente des metrischen Tensors hängt in diesem Fall also nur von der Koordinate r ab. Ferner gibt es noch den bereits von 'Ich' erwähnten Parameter rS, der als konstanter Schwarzschildradius in diese Formel eingeht.

[Bernhard]

Zitat von Scibo

Das Dichtefeld ist somit äquivalent zum Tensorfeld.

Das ist ein "sattes" Missverständnis und wird so auch an keiner anerkannten Uni gelehrt.

[Scibo]

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