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  #11  
Alt 10.09.09, 21:00
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Pyramiden und mehr

Hi
Ich habe mich noch ein bischen weiter mit Kettenbruechen beschaeftigt. Fuer konstante Koeffizienten ergeben sich recht einfache Verhaeltnisse. Man kann man sogar eine explizite K(n) angeben, welchen Wert der Kettenbruch (auch fuer nichtganzzahlige n) liefert. Diese Funktion K(n) interessiert mich besonders, um zu sehen was Mueller denn hier im Grunde anschreibt.

Sind die Koeffizienten nicht konstant wird es ausserordentlich schwierig. Bei Global Scaling ist dies der Fall.
Man kann hier einfach einige Ergebnisse akzeptieren. Sehr viel weiter bin ich bisher nicht gekommen. Mehr duerfte fuer die Global Scaling Teilnehmer auch nicht drin sein. Es ist ein recht heftiges Thema, das Mueller hier auftischt. Allerdings bietet die Ueberfuehrung in Potenzreihen eine Loesungsmethode

Mein Weg :
Einfache Dartstellung von Kettenbruechen ueber Differenzengleichungen.
***********************************************
Vorbemerkung :
Im allgemeinen interessiert an einem Kettenbruch gegen welchen Wert er fuer k->oo konvergiert. Die Loesung der hier hergeleiteten Differenzengleichungen wuerde mehr leisten, da eine geschlossene Darstellung als Funktion K(k) moeglich waere.
Umgekehrt ist nur daher auch nur fuer einfachste Faelle eine Loesung zu erwarten.
Fuer einen einfachen Typ kann man K(k) jedoch geschlossen angeben .Die Methode dafuer ist sehr einfach :

Kettenbruch mit konstanten Koeffizienten.
*******************************
Man loese die Differenzengleichung :
g(k+1)=a+1/g(k)

Das ist eine Differenzengleichung erster Ordnung mit konstantem Koeffizient a. Setzt man den Ausdruck der rechten Seite a+1/g(k) in g(k) ein, so sieht man, dass die Iteration einen sich entwickenden Kettenbruch K(k) darstellt.
Siehe auch :
http://home.arcor.de/richardon/richy...tic/sofort.htm
Man koennte den Grenzwert auch berechnen, indem man einfach
g(k+1)-g(k)=0 setzt. Fuer a=1 waere dies bekanntlicherweise der goldenen Schnitt.

Gibt es auch eine geschlosene Loesung fuer g(k) ?
MAPLE verweigert hier seine Arbeit :-), da die Gleichung nichtlinear ist. Betrachtet man Zaehler und Nenner von g(k) getrennt, g(k)=Z(n)/N(n), so sieht man durch sukzessives einsetzen, dass diese wie ewartet einer Fibonacci Reihe folgen.
Hier hatte ich dies schon einmal konkret gerechnet :
http://www.quanten.de/forum/showthre...Transformation
Ueber eine Substitution geht dies allerdings sehr viel schneller :-)

Die Reihe ist analytisch als Fib(k) beschreibbar und damit auch der Kettenbruch Fib(k+1)/Fib(k) !

Daher :
Trick um die DZGL g(k+1)=a+1/g(k) zu loesen :
Umwandeln in eine DZGL 2 ter Ordnung ueber Substitution :

Zitat:
g(k+1)=a+1/g(k)

SUBSTITUTION:
g(k+1)=F(k+1)/F(k)
***************
=> g(k)=F(k)/F(k-1)

F(k+1)/F(k)=a+ F(k-1)/F(k)
1) F(k+1)=a*F(k)+ F(k-1)
********************
Kann man diese DZGL loesen (und das kann man natuerlich, da sie linear ist), so ist auch der Kettenbruch g(k) analytisch angebbar.

Ueber die Substitution sieht man uebrigends sehr schoen den Zusammenhang zwischen goldenem Schnitt und Fib Zahlen.

Die Loesung von 1) ist ein etwas unhandlicherer Ausdruck, so dass ich diese hier nicht anschreibe. Fuer k element R ist die Funktion komplexwertig und beschreibt eine Spirale um das Konvergenzzentrum.
Man kann die Naeherungen von Binet zur Vereinfachung verwenden.
Ebenso studieren, warum Kettenbrueche nur schwer zu addieren sind.
(Multiplikation duerfte einfacher sein)
ciao

Ge?ndert von richy (10.09.09 um 21:03 Uhr)
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  #12  
Alt 10.09.09, 21:21
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Standard AW: Pyramiden und mehr

Die Loesung der modifizierten Fib Reihe hatte ich schon mal hier angegeben :
http://www.quanten.de/forum/showthre...Transformation
Wobei aus der Fib Transformation bekanntlicherweise nicht sehr viel wurde :-)

Ausser recht langen Ausdruecken gibt es bisher wenig Schwierigkeiten.
Dies aendert sich aber wenn man zu Kettenbruechen mit nichtkonstanten Koeffizienten uebergeht, also z.B. der Form
g(k+1)=r(k)+s(k)/g(k)
****************
Ueber Substitution :
F(k+1)=r(k)*F(k) + s(k)*F(k-1)
************************
Tja wenn man hier eine allgemeine Loesung finden koennte waere man the "little Master of Kettenbruch" :-)


ciao

Ge?ndert von richy (11.09.09 um 17:01 Uhr)
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  #13  
Alt 10.09.09, 22:37
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Standard AW: Pyramiden und mehr

Weils so nett aussieht:
Komplexwertige Loesung der Gleichung g(k+1)=1+1/g(k), g(0)=1
also geschlossene Loesung dieses wichtigen Kettenbruches. Fuer n element N ist die Loesung reell
=g(k)
Sehr schoen sieht man die Werte 1, 1+1=2, 1+1/2=3/2, 1+2/3=5/3 ...

Ge?ndert von richy (11.09.09 um 00:54 Uhr)
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  #14  
Alt 11.09.09, 00:51
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Standard AW: Pyramiden und mehr

in memoriam Leonhard Euler


... ist ein Werbeslogang des Global Scaling "Institutes".
Ich habe mich ueber den Spruch schon etwas aufgeregt, denn man kann Herrn Euler schlecht fragen, ob er mit diesem "Institut" in Verbindung gebracht werden moechte.
Zudem habe ich nie recht verstanden wie denn der Zusammenhang zwischen Euler und Global Scaling sein soll.
Anscheinend sollen Eulers Arbeiten zu Kettenbruechen diesen Zusammenhang darstellen.
Nach meiner Einschaetzung kennt sich auch Dr. Mueller recht gut in diesem interessanten Gebiet aus. (Alleine seine physikalischen Schlussfolgerungen sind meiner Ansicht nach recht zweifelhaft.
D.h. das sind sie auf jeden Fall.)

Immerhin. Es ist wahrscheinlich weniger bekannt welche Leistungen Euler in diesem eher exotischen Bereich der Mathematik vollbrachte.
Damit kann man Global Scaling zu Gute halten auf diese Leistungen von Euler aufmerksam zu machen.
Bezueglich Kettenbruechen mit nichtkonstanten Koeffizienten tappe ich momentan noch so ziemlich im Dunkeln. Mein Bestreben geht dahin Kettenbrueche, oder allgemein verkettete Ausdruecke ueber Differenzengleichungen zu beschreiben. Diese sind dann nichtlinear und gehoeren damit zu den schwierigsten mathematischen Ausdruecken ueberhaupt. Man denke nur an die logistische Abbildung.

Immerhin kann man sich im linearen Fall oder einfachen speziellen Faellen der Z-Transformation bedienen.
Im nichtlinearen Fall hilft diese schematische Vorgehensweise, die letztendlich auf der La Place Transformation beruht aber kaum weiter.

Um so mehr kann ich nur noch ueber die von Euler erarbeiteten Zusammenhaenge staunen. Oder ebenso die von Srinivasa Ramanujan.

Jeder von diesen Herrschaften erarbeitete Grenzwert stellt auch den Grenzwert der Loesung einer nichtlinearen Differenzengleichung dar.
Klar, dazu muss man die DZGL nicht explizit loesen, sondern kann auch versuchen den entsprechenden Attraktor zu bestimmen.

ciao

Ge?ndert von richy (11.09.09 um 18:39 Uhr)
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