Phänomene in Zusammenhang mit Wasserwellen

[richy]

hI Timm

Vielen Dank fuer deine naehere Erklaerung zu der Haufigkeit von Primzahlen die eine vogegebene Differenz aufweisen sollen.
Jetzt kann ich mir schon mehr darunter vorstellen, aber so ganz ueberschaue ich die Zusammenhaenge noch nicht.
bin auch kein mathe profi.

Ist der Summensatz neu?

Sicherlich nicht, denn es gibt ja unzahlige Menschen, die sich seit Jahrhunderten mit Primzahlen beschaeftigen. Dazu auf sehr viel hoeherem Niveau. Ich bin nur zufaellig ueber die Fibonacci Zahlen daruebergestolpert.
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender fib Zahlen ist bekanntlich eine sehr gute Naeherung fuer den goldenen Schnitt. Meine Frage war nun, ob Zaehler und Nenner dieses Bruches zwangslaeufig immer groesser werden. Das waere nicht der Fall, wenn beide einen gemeinsamen Primteiler haetten. Dann koennte man den Bruch, die Naeherug kuerzen. Nun bin ich aber nicht so naiv zu glauben, dass ein solch "kuerzerer" Bruch seit Jahrhunderten uebersehen wurde.
Bleibt die Frage warum zwei, drei aufeinanderfolgende Fiboaccizahlen keine gemeinsamen Primteiler aufweisen. Und dies beantwortet der Satz ueber die Primfaktoren von Summen.
Der nichts weltbewegend Neues darstellt aber recht praktisch ist.
Und den ich auf meier hp uebrigends viel zu umstaendlich hergeleitet habe. Der Widerspruchsbeweis ist weitaus eleganter.

Interessant ist, dass immer wieder dieser Ausdruck des Prudukts aufeinanderfolgender primzahlen eine besondere rolle spielt.Fuer natuerliche Zahlen existiert hier die bezeichnung Fakultet. weisst du ob es eine offizielle Bezeichnung auch bei den Primzahlen gibt ? Ich habe das Produkt Primfakultaet genannt.

Habe ich das richtig verstanden. Primzahlen in diesem Abstand 2,6,30 .. weisen eine besondere Haufigkeit auf ? Und kannst du die besonderen Sachverhalte nochmal in Worten formulieren ?

Gibt es eine Schranke?

Nein.

Zur Häufigkeit von Primzahldifferenzen sehe ich keine Anwendung.

Es ist nur ein kleines Hilfsmittel, gerade zusammen mit der Primzahlfakultaet. Wie erwaehnt folgt sofort daraus, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Ich kann mir schon vorstellen, dass man es fuer kleinere Betrachtungen bei den Differenzen anwenden kann.
Viele Gruese

[richy]

Hier der damalige Thread zu Primzahlzwillingen zusammen mit regeli.
Die Definitionen am Anfang beziehen sich auf regelis Namensgebungen.
http://forum.quanten.de/read.php?f=1...47&t=41747&v=f
Es gibt noch weitere Threads dazu.
In ungefaehr weiss ich noch was ich damals gemacht habe. Muesste den Thread dennoch nochmals durchgehen. Das hat auf jeden Fall aber auch etwas mit deinem Thema zu tun.
Im Thread ist auch die von mir bereits angesprochene Spiegelung erwaehnt. Das ist ein Grund warum die Primzahlen zufaellig erscheinen. "Dass es keine negativen Primzahlen gibt" ist so zu verstehen, dass hier die Betragsfunktion auftritt. Das ist diese Spiegelung in den positiven Bereich, die eine regelmaessige Struktur der Primzahlen zerstoert. Das soll das dortige "Tapetenspiel" zeigen.(Wahrscheinlich hab ich damals gerade tapeziert :-)
Ebenso diese Abbildung :
Anmerkung p? odr p# soll Primzahlfakultaet bedeuten.

Was war damals der eigentliche Trick ?
Zunaechst basieren alle Ueberlegungen auf dem Summensatz.
Die weitere Ideen waren teilweise von regeli angeregt. Ich hab diese dann verallgemeinert.
Eine besteht darin in einer Primzahlfakultaet p? einen Faktor pn zu streichen pf=p?/pn und dessen Potenzen dann von pf abzuziehen. pf-pn^k.
(1/B deutet in der Skizze das "streichen" an, das natuerlich einer Division entspricht)

Vorueberlegung.
Es geht darum kontrolliert Primzahlen zu erzeugen. Dies funktioniert Mittels Summanden aus Teil Primfakultaeten wie bereits beschrieben. Jedoch nur bis zu einer Schranke (p+1)^k und damit nur fuer wenige Werte p.

Es geht aber auch anders. Ich streiche einen Primfaktor (regeli hat lediglich durch 2 dividiert) Und diesen ziehe ich von der verbleibenden Primfakultaet ab. Man kann auch addieren, aber dann erreicht man irgendwann garantiert die obere Schranke. Bei einer Substraktion ist es guenstiger, denn das Ergebnis wird irgendwann negativ und dessen Betrag kann eine kleine Primzahl unterhalb der Schranke sein. Wobei sich im obigen Thread zeigte, dass die Ausbeute leider gering ist.
Ebenso kann ich Potenzen p^k verwenden, die den Zahlenwert aendern, aber natuerlich nicht den zugrundeliegenden Primfaktor. Natuerlich lassen sich auch mehrere Zahlen streichen und als Summand verwenden.
Inclusive Potenz. Man hat somit sehr viele freie Parameter.

Das ist die Grundlage des "Spiels"
Muss das nochmals wieder genauer ueberdenken.
War eine recht interessante Sache damals.
Vielleicht helfen bei deiner Ueberlegung die Mersenne Primzahlen weiter ?

[Timm]

Zitat von richy

Interessant ist, dass immer wieder dieser Ausdruck des Prudukts aufeinanderfolgender primzahlen eine besondere rolle spielt.Fuer natuerliche Zahlen existiert hier die bezeichnung Fakultet. weisst du ob es eine offizielle Bezeichnung auch bei den Primzahlen gibt ? Ich habe das Produkt Primfakultaet genannt.

Hi richy,

mir ist die Bezeichnung Primfakultät noch nie untergekommen, ich finde sie aber sehr einleuchtend und praktisch. Die "besondere Rolle" kann ich nur bestätigen, in Bezug auf meine Untersuchung. Du wirst gleich sehen.

Habe ich das richtig verstanden. Primzahlen in diesem Abstand 2, 6, 30 .. weisen eine besondere Haufigkeit auf ? Und kannst du die besonderen Sachverhalte nochmal in Worten formulieren ?

Ich versuche es gerne, wenn es Dich interessiert.
Am häufigsten sind Primzahl-Paare, deren Differenzen Primfakultäten sind. Differenzen D, die nur den Primfaktor 2 enthalten, 2^n mit n=1,2,3 ... , sind vergleichsweise selten aber alle gleich häufig und dienen als Basis zur Bestimmung der Häufigkeit H. Findet man x Paare mit D=2, so enthält die gleiche Primzahlenmenge 2,66*x Paare mit D=30, 3,2*x Paare mit D=210 ... . Die Häufigkeit H von D=30 ergibt sich also als Zahl der Paare mit D=30 geteilt durch Zahl der Paare mit D=2. H der Differenz 30 ist somit = 2,66.

Theoretische Häufigkeit der Superdifferenz SD=210 mit (p-1)/(p-2): Für p=3, 5, 7 erhält man 2, 4/3, 6/5. Das Produkt der Quotienten (p-1)/p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2. Die Superhäufigkeit SH der SD 210 (= 2*3*5*7) ist also 3,2. Jede Differenz enthält natürlich den Primfaktor 2. In H, bzw. SH geht die 2 aber nicht ein, da sie Vergleichsbasis ist. Anders gesagt ist H von D=2 trivialerweise =1.

Vergleich gefundener mit theoretischen Häufigkeiten
Herangezogen wurden alle Primzahlpaare der ersten 10^5 Primzahlen und mit einem kleinen Programm die Zahl Z der Paare pro Differenz D ermittelt.

....................gefunden.................theor etisch nach (p-1)/(p-2)
D ......... Z ......... H=Z/10250......... H ......... Primfaktoren
2 ......... 10250 ..... 1 .................... 1 .......... 2
4 ......... 10214 ..... 0,996 .............. 1 ........ 2*2
6=SD ... 20472 ..... 1,997=SH ....... 2 .........2*3
8 ......... 10336 ..... 1,008 ............... 1 ..... 2*2*2
.
18 ....... 20515 ..... 2,001 .............. 2 ...... 2*3*3
20 ....... 13687 ..... 1,335 ............ 1.33 ... 2*2*5
.
28 ....... 12253 ..... 1,195 ............. 1,2 ..... 2*2*7
30=SD.. 27434 ..... 2,676=SH ..... 2,66 ... 2*3*5
60 ....... 27312 ..... 2,664 ............ 2,66 .. 2*2*3*5
.
210=SD ............... 3,192=SH ..... 3,2 .... 2*3*5*7
2310=SD ............. 3,543=SH ..... 3,55 .. 2*3*5*7*11

Die Übereinstimmung H gefunden / H theoretisch ist erstaunlich.
Verglichen mit den SD erkennt man eine starke Abflachung der SH. Dennoch könnten, wie schon beschrieben, die SH gegen unendlich gehen.

Ich habe diesen alten Kram jetzt mal interessehalber aufgeschrieben, aber das heißt natürlich nicht, Du sollst Dich damit beschäftigen, es sei denn Du hast Spaß daran.

Übrigens findet sich in dem Wälzer "The new Book of Prime Number Records" weder etwas über den Primzahl Summensatz noch über (p-1)/(p-2).

Gruß, Timm