Abgleich meines Wissens

[Marcus Ulpius]

Ich hoffe nur ich habe mir später nichts vorzuwerfen. ;-)

[Eyk van Bommel]

So da bin ich wieder

Ich hoffe nur ich habe mir später nichts vorzuwerfen. ;-)

Das habe ich mich das letzte Mal nach meinem "Ja-ich will" – auf dem Standesamt gefragt

Aber ich hoffe ich habe es richtig Aufgefasst.

Produkt null – Flache Raumzeit
Produkt ungleich Null - innere Krümmung der Raumzeit

Dazu muss man dann aber nicht studiert haben

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Mir ist noch nicht klar, was die äußere Krümmung ohne eine höhere Dimension für eine Rolle spielt? Bzw. ob eine äußere Krümmung aufgrund einer inneren Krümmung auch bei Annahme einer höhren Dimension immer in diese "reicht". Oder bleibt die äußere Krümmung in "seiner" Dimension. bzw. kann bleiben.

Der Zylinder in deinem Beispiel krümmt sich ja in die 3 Dimension. Aber anscheinend muss sich der Zylinder nicht in die 3 Dimension krümmen? Zumindest nicht infolge einer inneren Krümmung?

Mir ist auch nicht klar, inwiefern die innere Krümmung irgendeine Aussage über die Form der äußeren Krümmung geben kann? A ohne höhere Dimension und B) mit höherer Dimension.

Oder anders:

Wobei sich jede innere Krümmung in einer äußeren, aber nicht jede äußere in einer inneren Krümmung widerspiegelt.

Widerspiegeln- wie stark?

Gruß
EVB

[Marcus Ulpius]

Zitat von Eyk van Bommel

Dazu muss man dann aber nicht studiert haben

Warum fragst Du dann?

Du hast offensichtlich die bereits gegebenen Antworten nur oberflächlich gelesen ...

Zitat von Marcus Ulpius

Das Produkt der Hauptkrümmungen (= Gaußsche Krümmung bzw. (Schnitt)Krümmung riemannscher Mannigfaltigkeiten) lässt sich dagegen auch rein aus der jeweiligen Metrik selbst ermitteln (= inneren Geometrie - deshalb auch "innere Krümmungen" genannt) ohne hierfür etwas über die äußere Geometrie der Mannigfaltigkeit wissen zu müssen.

... oder lässt zumindest die erforderliche Eigeninitiative vermissen.

Bloßes Googlen nach den Stichworten "Gaußsche Krümmung" und "Schnittkrümmung" hätten Dich nämlich beispielsweise umgehend zu einigen weiterführenden Ergebnisse geführt (exemplarisch http://de.wikipedia.org/wiki/Schnitt..._Kr.C3.BCmmung - Vergleiche dort unter anderem auch die bei den Beispielen aufgeführten Werte "Riemann" mit "Gauß").

Im Augenblick bestätigst Du Solkars Einschätzung auf breiter Linie.

Schönes WE
Marcus

[Eyk van Bommel]

Ich bin wohl unbedarft in ein Thema getreten, das man nicht durch eine einfache Betrachtung begreifen kann.

Im Allgemeinen wird der mathematische Beweis z.B. für „das Produkt von Zahlen ist Null, wenn eine der Zahlen Null ist“ erst im Studium durchgenommen (Studium +- nötig)

Ohne mathematische Beweisführung wird man mit dieser Tatsache schon viel früher konfrontiert (kein studium nötig).

Um sich für dieses Thema zu interessieren zu können scheint das zweite vorgehen (akzeptieren wie es ist) nicht zu reichen. Keiner dieser Links bearbeitet dieses Thema in der fürmich nötigen "Flachheit". Die erzeugen alle eine innere Krümmung (zumindet in meinen Hirnwindungen)

Da ich mir es beruflich und privat derzeit nicht leisten kann, mich in das Thema "Topologie/Geometrie" auf die von euch gewünschte Tiefe einzulassen, werde ich das Thema für mich wohl hier abschließen müssen und den Vorschlag mir ein populärwissenschaftliches Buch zu kaufen annehmen.

[Bauhof]

Zitat von Eyk van Bommel

Ich bin wohl unbedarft in ein Thema getreten, das man nicht durch eine einfache Betrachtung begreifen kann.

Hallo Eyk van Bommel,

das ist eine klärende Aussage, die ich lobenswert finde. Es ist gut, wenn man weiß, auf welcher Ebene sich der Diskussionspartner befindet, denn dann kann man sich besser der "Flachheit" anpassen. Bei früheren Diskussionen mit dir über die SRT habe ich dich deswegen falsch eingeschätzt. Ich dachte du wärst ein uneinsichtiger "Besserwisser". Das denke ich jetzt nicht mehr.

Zitat von Eyk van Bommel

Da ich mir es beruflich und privat derzeit nicht leisten kann, mich in das Thema "Topologie/Geometrie" auf die von euch gewünschte Tiefe einzulassen, werde ich das Thema für mich wohl hier abschließen müssen und den Vorschlag mir ein populärwissenschaftliches Buch zu kaufen annehmen.

Ich habe mich mit diesem Thema vor langer Zeit mal beschäftigt, ich muss es erst wieder mal auffrischen, um dir mit einfachen Worten und der nötigen "Flachheit" deine Fragen zu beantworten. Ich melde mich zu gegebener Zeit wieder zu diesem Thema.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Solkar]

Zitat von Eyk van Bommel

Im Allgemeinen wird der mathematische Beweis z.B. für „das Produkt von Zahlen ist Null, wenn eine der Zahlen Null ist“ erst im Studium durchgenommen (Studium +- nötig)

Ohne mathematische Beweisführung wird man mit dieser Tatsache schon viel früher konfrontiert (kein studium nötig).

Zitat von Eyk van Bommel

Da ich mir es beruflich und privat derzeit nicht leisten kann, mich in das Thema "Topologie/Geometrie" auf die von euch gewünschte Tiefe einzulassen

Keine Sorge, Eyk - die notwendige Tiefe lässt sich ohne Dein Zutun bestimmt schneller erreichen;
z.B. so

Gaußsche Krümmung des Flamm-Paraboloids

oder so

Ansatz zur Berechnung der Schnittkrümmungen der Schwarzschild-Metrik

sieht das nämlich aus, wenn man den Dingen auf den Grund geht.

Viel Spass beim Selbststudium!


Beste Grüsse, Solkar

[Eyk van Bommel]

Hallo Bauhof,

Ich dachte du wärst ein uneinsichtiger "Besserwisser".

Ich kann dir nicht sagen, ob du richtig jetzt richtig liegst oder richtig gelegen hast.

Das denke ich jetzt nicht mehr.

Ich hoffe du hast jetzt die richtige Meinung von mir und wirst diese nicht so schnell wieder wechseln müssen.

Gruß
EVB

[Marcus Ulpius]

Hallo EVB,

dann versuchen wir es noch einmal - komprimiert zusammengefasst:

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Gaußsche Krümmung an einem Punkt p einer regulären Fläche im R³:

K(p) = k_1 * k_2 = 1/r_1 * 1/r_2

K: Gaußsche Krümmung
k_1: Hauptkrümmung 1
k_2: Hauptkrümmung 2
r_1: Hauptkrümmungsradius 1
r_2: Hauptkrümmungsradius 2

1 Wenn K(p)>0 liegt eine elliptische innere Krümmung am betrachteten Punkt vor ("elliptischer Punkt")
2 Wenn K(p)<0 liegt eine hyperbolische innere Krümmung am betrachteten Punkt vor ("hyperbolischer Punkt")
3 Wenn K(p)=0 liegt keine innere Krümmung am betrachteten Punkt vor
a. Wenn eine der beiden Hauptkrümmungen Null und die andere ungleich Null ist spricht man von einem parabolischen Punkt,
b. wenn beide Hauptkrümmungen Null sind von einem Flachpunkt.
(Die Fälle 3a. und 3b. lassen sich auf Basis der inneren Geometrie nicht unterscheiden - Das hatten wir schon)

Evtl. sagt Dir auch der Begriff "Krümmungskreis" etwas:
Im elliptischen Fall liegen die Mittelpunkte der Kreise auf der selben Seite der betrachteten Fläche, im hyperbolischen Fall liegen sie sich gegenüber.

Exemplarisch hierzu aus wiki:



---

Schnittkrümmung an einem Punkt p (Rahmenparameter siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Schnitt...r.C3.BCmmung):



K(σ) = K(σ_v,σ_ω): Schnittkrümmung

---

K(p) = K(σ) (Hintergründe/Rahmenparameter einer Gleichsetzung z.B. hier knapp erläutert: http://de.wikipedia.org/wiki/Riemann...tkr.C3.BCmmung)

-> z.B. weist die Oberfläche einer Kugel mit Radius R die gaußsche Krümmung K(p) = 1/r² auf (Gauß), eine n-Sphäre mit Radius R die Schnittkrümmung K(σ) = 1/R² (Riemann) ...

Genau diese Übereinstimmung zeigen Dir auch Solkars Berechnungen zum Flammschen Paraboloid (Schwarzschildmetrik):

Zitat von solkar

K = - R_S / 2r³

Zitat von solkar

K(∂_r,∂_φ) = - R_S / 2r³

Mittels des oben angesprochenen Krümmungskreis-Gedankens kannst Du seine Ergebnisse einer negativen Krümmung aber auch ohne tiefschürfendere mathematische Kenntnisse nachvollziehen: Du hast an jedem Punkt einen Schmiegekreis, der die Krümmung des Trichters zwischen Zentrum und der flachen Minkowski-Metrik außen repräsentiert (= Ergebnis eines senkrechten Schnitts durch den Flamm-Trichter), auf dem im Inneren der andere Schmiegekreis senkrecht steht, der im übertragenen Sinne "das Loch" beschreibt (= Ergebnis eines senkrechten Schnitts durch den Flamm-Trichter) -> Die Mittelpunkte der Krümmungskreise liegen nicht auf derselben Seite der betrachteten Fläche/Mannigfaltigkeit -> Es liegt eine hyperbolische Krümmung vor.

Und nun beantworte bitte diese Frage

Zitat von Marcus Ulpius

Warum eigentlich "Donut-förmig" und nicht einfach "eine flache Ebene"?

damit ich sehen kann ob / was Du verstanden hast.

wkr
Marcus

P.S.: Eine Bitte für die Zukunft:
Mische bitte nicht hemmungslos korrekte Feststellungen, wilde Spekulationen und Rückfragen durcheinander.
Konzentriere Dich stattdessen lieber je Beitrag auf den Punkt, der Dir in dem Moment am Wichtigsten erscheint (Stelle z.B. EINE wohlüberlegte Fragen statt fünf, die zwar alle ähnlich klingen aber unterschiedliche Nuancen aufweisen).
Rom wurde schließlich auch nicht an einem Tag erbaut.

[Bauhof]

Zitat von Marcus Ulpius

P.S.: Eine Bitte für die Zukunft: Mische bitte nicht hemmungslos korrekte Feststellungen, wilde Spekulationen und Rückfragen durcheinander. Konzentriere Dich stattdessen lieber je Beitrag auf den Punkt, der Dir in dem Moment am Wichtigsten erscheint (Stelle z.B. EINE wohlüberlegte Fragen statt fünf, die zwar alle ähnlich klingen aber unterschiedliche Nuancen aufweisen).Rom wurde schließlich auch nicht an einem Tag erbaut.

Hallo Marcus Ulpius,

genau das möchte ich Eyk van Bommel auch empfehlen.

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S.
Deine Frage: 'Warum eigentlich "Donut-förmig" und nicht einfach "eine flache Ebene"?' verstehe ich leider nicht.

[Marcus Ulpius]

Zitat von Marcus Ulpius

... der im übertragenen Sinne "das Loch" beschreibt (= Ergebnis eines senkrechten Schnitts durch den Flamm-Trichter)

Da hatte sich zu meinem Bedauern Copy&Paste-Fehler eingeschlichen: Das muß an dieser Stelle natürlich (wenn schon) "waagrechter" und nicht "senkrechter" Schnitt heißen.

Zitat von Bauhof

P.S.
Deine Frage: 'Warum eigentlich "Donut-förmig" und nicht einfach "eine flache Ebene"?' verstehe ich leider nicht.

Ich hatte sie schon in Beitrag 29 gestellt und hier lediglich nochmals aufgegriffen.
Erscheint sie denn im dortigen Kontext bereits unverständlich?
Dann bessere ich gerne nach.

wkr
Marcus